《回归分析的基本思想及其初步应用》培训课件.ppt

1、1.1回归分析的基本思想及其初步应用高中数学选修1-2选修1-2统计案例引入线性回归模型ybxae了解模型中随机误差项e产生的原因了解相关指数 R2 和模型拟合的效果之间的关系了解残差图的作用利用线性回归模型解决一类非线性回归问题正确理解分析方法与结果 比必修3中“回归”增加的内容数学统计画散点图了解最小二乘法的思想求回归直线方程ybxa用回归直线方程解决应用问题 .两个变量间的相关关系 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系（正相关、负相关） 相关关系与函数关系的异同点： 相关关系函数相同点不同点对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析 均是

2、指两个变量的关系 非确定关系 确定的关系一、复习回顾：复习回顾 .研究两个变量间的相关关系的方法和步骤（）、画散点图，并判断二者之间是否有线性关系； （）、 预报和决策。（）、建立并求出回归直线方程； 其中 3.求线性回归方程的步骤:复习回顾(1)计算平均数(2)计算 与 的积,求(3)计算(4)将上述有关结果代入公式，求b、a， 写出回归直线方程 例1 从某大学中随机选取名女大学生，其身高和体重数据如表所示：编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm

3、的女大学生的体重。（）、画散点图，并判断二者之间是否有线性关系； （）、建立并求出回归直线方程； （）、 预报和决策。练习: 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用 y（万元），有如下的统计资料。使用年限x 23456维修费用y 2.23.85.56.57.0若由资料知,y对x呈线性相关关系。试求：（1）线性回归方程 ；（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？解：（1）由已知数据制成表格。12345合计23456202.23.85.56.57.0254.411.422.032.542.0112.34916253690所以有（2）当x=10时，4、思考： 、身高为172cm的女大学生

4、的体重一定是60.316kg吗？ 、为什么根据得到的一次函数求出的结论不一定是实际值？产生误差的原因是什么？二、新课： 、从散点图中可以看出，样本点散布在某一条直线的附近，而不是一条直线，所以不能用一次函数y=bx+a来描述它们之间的关系。这时我们可以用下列回归模型y=bx+a+e来表示。我们把自变量x称作解释变量，因变量y称作预报变量，e称作随机误差 、函数模型y=bx+a与线性回归模型y=bx+a+e的关系：(1)、线性回归模型y=bx+a与我们熟悉的一次函数模型的不同之处是增加了随机误差e，因为变量y的值由自变量x和随机误差e共同确定。即自变量x只解释部分y的变化。(2)、当线性回归模型

5、：y=bx+a+e理想化时，即所在的遗传因素一样、所有的生活方式一样、所有的测量都没有误差，此时e=0，线性回归模型就变成了函数模型。因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式。 、在实际应用中，我们用回归方程中的 来估计线性回归模型 中的 ，由于 ，所以也是一个估计值。对于样本点而言，它们的随机误差分别为：其估计值为：称估计值 为相应点 的残差 、当我们求出回归直线方程后，可以通过残差来判断模型拟合程度的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。从两个方面说明：(1)、残差图（以例为例）对照女大学生的身高和体重的原始数据，结合求

6、出的回归直线方程，求出相应的残差数据编号身高165165157170175165155170体重4857505464614359残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382根据表格中的数据，以样本编号为横坐标，残差值为纵坐标，做出散点图（这样的散点图称作残差图）、若残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用模型较好，且带状区的宽度越窄，说明拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。、若个别点的残差较大，要考虑采集样本的过程中是否有人为错误。(2)、相关指数R2越大，模型的拟合效果越好 、建立回归模型的基本步骤：(1)、确定研究对象，明确哪个变量是解

7、释变量，哪个变量是预报变量；(2)、画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系）；(3)、确定回归模型，按一定的规则求出回归方程；(4)、得出结果后进行残差分析。例 一个车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据列于表中：编号10零件数x/个102030405060708090100加工时间y/分626875818995102108115122(1)、建立零件为解释变量，加工时间为预报变量的回归模型，并计算残差。(2)、你认为这个模型能较好地刻化画零件数和加工时间的关系吗？（）、画散点图； 建立并求出回归直线方程； 可

8、知变量之间具有线性关系编号10残差0.39-0.290.03-0.650.67-0.010.31-0.37-0.050.27残差数据如下表：（）、画残差图； 由图可知，残差点分布较均匀，即用上述回归模型拟合数据效果很好，但需请注意，第4、第5个样本点残差较大，需确认采集样本时是否有人为错误。例 在一段时间内，某种商品的价格x(元)和需求量y(件)之间的一组数据为：价格x/个1416182022需求量y/分5650434137求出y对x的回归方程，并说明拟合效果。（）、画散点图； 可知变量之间具有线性关系建立并求出回归直线方程； 对于y对x的回归直线方程； 列表： 1.2-0.1-2.40.31

9、10.64.6-2.4-4.4-8.4所以： 相关指数： 因为0.964很接近1，所以该模型的拟合效果很好。 练习: 关于x和y ，有如下的统计资料。x 24568y 3040605070对于x 、y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：甲：乙：试比较哪一个模型拟合效果更好？、利用残差图和相关指数都能够评价回归模型的拟合效果，它们各有自己的特点：(1)、利用残差图可以直观展示拟合效果，而且还可以发现样本数据中的可疑数据。 说明：(2)、相关指数是指把对拟合的评价转化为数值大小的判断，易于量化处理并且能在数量上表现解释变量对于预报变量变化的贡献率。2、在使用回归方程进行预报时要注意：(1)

10、、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体； 说明：(4)、不能期望回归方程得到的预报值就是预报的精确值。(2)、我们建立的回归方程一般具有时间性；(3)、样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；案例 一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中：（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？ 温度xoC21232527293235产卵数y/个711212466115325非线性回归问题假设线性回归方程为 ：=bx+a选 模 型由计算器得：线性回归方程为y=19.87x-463.73 相关指

11、数R2=r20.8642=0.7464估计参数 解：选取气温为解释变量x，产卵数 为预报变量y。选变量所以，二次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。探索新知画散点图050100150200250300350036912151821242730333639方案1分析和预测当x=28时，y =19.8728-463.73 93一元线性模型奇怪？结合数据可以看出，随着自变量的增加，因变量也随之增加，气温为28是估计产卵数应该低于66，但是从推算的结果来看93比66多了27个，是什么原因造成的 ?模型不好？编号残差53.4617.72-12.02-48.78-46.5-57.1193.28残

12、差数据如下表：画残差图； y=bx2+a 变换 y=bt+a非线性关系 线性关系方案2问题选用y=bx2+a ，还是y=bx2+cx+a ？问题3 产卵数气温问题2如何求a、b ？合作探究 t=x2二次函数模型方案2解答平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a温度21232527293235温度的平方t44152962572984110241225产卵数y/个711212466115325作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.543，相关指数R2=0.802将t=x2代入

13、线性回归方程得： y=0.367x2 -202.543当x=28时，y=0.367282-202.5485，且R2=0.802，所以，二次函数模型中温度解释了80.2%的产卵数变化。t问题 变换 y=bx+a非线性关系 线性关系问题如何选取指数函数的底?产卵数气温指数函数模型方案3合作探究对数方案3解答温度xoC21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784产卵数y/个711212466115325xz当x=28oC 时，y 44 ，指数回归模型中温度解释了98.5%的产卵数的变化由计算器得：z关于x的线性回归方程为 对数变换：在 中两边取常用对数得令 ，则 就转换为z=bx+a.相关指数R2=0.98最好的模型是哪个? 产卵数气温产卵数气温线性模型二次函数模型指数函数模型比一比函数模型相关指数R2线性回归模型0.7464二次函数模型0.80指数函数模型0.98最好的模型是哪个?练习：为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下：天数x/天 1 2 34 56繁殖个数y/个 6 12 25 49 95190 （1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些 数据的散