抛物线的焦点弦

1、有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线y 2 = 2px (p0)的焦点F作一条直线L和此抛物线相交于A(x , y )、B(x , y )两点1122结论 1： AB =气 + x2 + pAB = aF+bF =(x1 + p + (x2 + p) = x1+x 2 + p结论2：若直线L的倾斜角为9，则弦长|AB| = -2sin2 9八 兀证：(1)若9=-时，直线L的斜率不存在，此时AB为抛物线的通径.|AB| = 2 p :.结论得证(2)若9 y时,设直线L的方程为：y = (X-p)tan9即x = y-cot9 + p 代入抛物线方程得y2 2py - cot9 - p2 = 0

2、 由韦达定理yy =-p2, y + y = 2pcot91 212由弦长公式得| AB| = 1 + cot2 9y - y I = 2p (1 + cot 2 9)=2 psin 2 9结论3：过焦点的弦中通径长最小sin29 2p|AB|的最小值为2p，即过焦点的弦长中通径长最短.sin2 9结论4：S 2 2ABAB=普(为定值)AOABAOBS 0 AF2=1 |OF| - |BF| - sin9 + 1 |OF| - |AF| - sin92 2111=1 |OF|.AF| + |BF|)sin9 = 1 |OF| - |AB| sin9 = 1 -2 2 2里. sin 9=二s

3、in 2 92 sin 9S 2P 3AOAB =AB8,P 2结论 5： (1) y2 =-P2 (2) x1x2=亍y 2y 2l正 * * * X = 1, X = 2,. . X X12 p 22 p 1 2(y1 y2)2 = P24 P 2 和结论6：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M为AB的中点，过A点作准线的垂线AA1,过B点作准线的垂线BB1, 过M点作准线的垂线MM1,由梯形的中位线性质和抛物线的定义知Mm 1| =AF + BF AB22-故结论得证结论 7：连接 A1F B1 F 则 A1F B1FAA = AF,. /AA F = ZAFA / AA / OF

4、 :. ZAA F = ZA FO :. ZA FO = ZA FA11111111同理 ZB FO = ZB FB :. ZA FB = 90A F B F111111结论 8： (1) AM1 BM1(2) M1F AB(3) M 1 F|2 = |AFHBF|设AM1与A1F相交于H , M1B与FB1相交于Q则M Q, F , H四点共圆|AMJ2 + M 1 B|2 = 4|M 1 M|2证：由结论(6)知M1在以AB为直径的圆上. AM1 BM1 AA1 FB1为直角三角形，M1是斜边A1 B1的中点/. ZA1FB1 = 90所以 M1, Q, F,H 四点共圆，|AM1|2 +

5、 |M1B|2 = |AB|= (af| + BF I)=(AAI +|BB|) =G|MM 11)= 4| MM 1|1(2) B, O, A1三点共线1I21 结论9：(1) A、O、B1三点共线设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于X轴设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于X轴 AM = M F :. ZM FA = ZM A F ZAA F = ZAFA 111111111 TOC o 1-5 h z 证：因为k = L =业=弛,k =业j = -2，而yy = - p2AX y 2 yoBi- p p1 22 p2=k 所以三点共线。同理可征(2) (3

6、) (4)oB 1112结论10：+= FA |FB| p证：过A点作AR垂直X轴于点R,过B点作BS垂直X轴于点S,设准线与x轴交点为E,因为直线L的倾斜角为。则 |孩| = |ef|+fR = P + |af| cosO = |af| a afp1 cosO11一cosOAFP1 + cos OP112-+ =FA |FB| p结论11：|af AE(1)线段段平分角ZPEQ 一=|BF| |BE(3) Kae + Kbe = 0(4)当O =-时AE 1 BE ,当O -时AE不垂直于BE22证:. BB IIEF / AA A一,空=理. |bf| = b b I, FA = A a|

7、 a fA11 1EA1 BE=BB,EA a a ZAA E = ZBB E = 90 A AA EA相似于AB EB ZA EA=/B EB111111aF |aeBf =京 ZAEF+ ZA1EA=ZBEF+ ZB1EB =90 A ZAEF=ZBEF即EF平分角 ZPEQ直线AE和直线BE关于X轴对称A Kae+Kbe=0兀.当O=-时，AF=EF=FBaZAEB=90当O-时，设直线L的方程为y =2k x-P将其代入方程y2 = 2pxI 2)得k2x2 - p(k2 + 2)x + k丁 = 0设 A(x.,y.),B(x”y.)则 x1pt + 2)k2*与假设AE 1BE则K

8、ae K =-1BE即12( n、 k X -PI1 2 J-k(x -PI 2 2 J1X2-P (x+ X 化2一1)+ 巴 L+ 1)= 0 .巴 J + 1)=2 1242k 2.-2 = 0不可能.假设错误结论得证结论12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD贝 IABI + ICDI = 2p推广与深化:深化1：性质5中，把弦AB过焦点改为AB过对称轴上一点E（a,0），则有12 =-2pa .证：设 AB 方程为 my=X-a，代入= 2PX .得：y2-2pmy-2ap = 0，二）约=-2?3 .IFRI 1 = 深化2：性质12中的条件改为焦点弦AB不垂直于x轴，AB

9、的中垂线交x轴于点R,则IABI 2 TOC o 1-5 h z ，P、y = tga（x ）证明：设AB的倾斜角为a，直线AB的方程为：2，一 ，一P2、tg2a(x2 - px +) = 2px代入y2 = 2px 得：3 i p v 丫，p2x2 一 x(p + 2pctg2a) += 0即：4由性质1得I AB I= X + x2 + p = 2p + 2pctg2a = ：pIFM I=I又设AB的中点为M，则cos aI=I pctg2a Icos aifei= -LfmL =i pctg2aI=I cos a Icos2 a sin 2 aIFRI 1 = IABI 2. 深化3

10、：过抛物线的焦点F作n条弦A1B1、A2B2、AnBn，且它们等分周角2丸，则有_1（1）i=iIAiFI - IFBi| 为定值;工（2） i=iIAiBi| 为定值.证明：（1）设抛物线方程为1 cos0，ZA1FX -a兀2兀n 1、ZA2Fx = a + , ZA3Fx = a +,WA Fx = a +兀1 一 cos a1 cos（兀 + a） 1 cos2 asin2 a所以 IA1FI -IFBP2P2,兀、 sin2（a + ）nn 1 、sin2 （a +兀）n同理 IA2FI - IFB2IP2IA FI-IFB IP2 _._/.、_/ .2兀n 一 1、n易矢 sin2 a + sin2（a + ）sin2（a +） + sin2（a +兀）=IA FI-IFBi（2）V.IA1B1I兀n 1,sin2 a sin 2 （a + ）sin 2 （a +兀） n-=+ + . +n=I p2I=1 cos asin2 a2PP2P22p21 cos（兀 + a）2p1 cos2 a sin2 a ,2PIAnBn In 1 、sin 2 （a +兀）n2Pn 1 、 sin 2 （a +