重庆中考复习第24题专题练习

1、24.直角梯形 ABCD 中，AB / CD , / 0=90 , AB=BC , M 为 BC 边上一点.(1)若/ DMC=45 ,求证：AD=AM .(2)若/ DAM=45 , AB=7 , CD=4 ,求 BM 的值.解答：(1)证明：作 AF LCD交延长线于点 F. . / DMC=45 , / C=90CM=CD ,又/ B=/C=/AFD=90 , AB=BC ,，四边形 ABCE 为正方形，BC=CF ,BM=DF ,在 RtAABM 和 RtAFD 中，AB=AE , / B= / AFD=90 , BM=DE , .ABM AED ,，AD=AM .(2)解：把RtAA

2、BM绕点A顺时针旋转90 ,使AB与AE重合，得 RtAAFN ./ DAM=45 ,/ BAM+ / DAF=45 ,由旋转知/ BAM= / NAF ,/ DAF+ / NAF=45 ,即/ DAM= / DAN ,由旋转知 AM=AN , .ADM ADN ,，DM=DN ,设 BM=x , AB=BC=CE=7 , CM=7-x 又 CD=4 , DE=3 , BM=EN=x ,MD=DN=3+x ,在 RtACDM 中，(7-x) 2+42= (3+x) 2,解得：邨，BM 的值为 U .44答：BM的值为13.4点评：本题主要考查对直角梯形，全等三角形的性质和判定，正方形的性质和判

3、定，勾股定理，垂线，旋转的性质，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度.24 (2010巴蜀中学中考数学模拟)24.已知：AC是矩形ABCD的对角线，延长 CB至E,使CE=CA , F是AE的中点，连接 DF、CF分别交AB于G、H点(1)求证：FG=FH ;(2)若/ E=60 ,且AE=8时，求梯形 AECD的面积.证明：连接 BF ,ABCD为矩形AB BC AB AD AD=BC.ABE为直角三角形 F 是 AE 的中点AF=BF=BE . . / FAB= / FBA . . / DAF= / CBF(AD = BCiDAF =CEFAF = BF

4、DAF CBF / ADF= / BCF/ FDC= / FCD / FGH= / FHG . . FG=FH ;(2)解：AC=CE /E=60.ACE 为等边三角形CE=AE=8 / AB BCBC=BE= s=4根据勾股定理 ab= 4v3梯形AECD的面积= 拉(AD+CE)xC!?=+ 8)x475=如门24、已知梯形 ABCD 中，AB / CD , BDAC 于 E, AD=BC , AC=AB , DF LAB 于 F, AC、DF 相交于 DF 的24、在直角梯形 ABCD 中，AB/DC, AB BC, /A=60, AB = 2CD, E、F 分别为 AB、AD 的中点，

5、连结EF、 EC、 BF、 CF.(1)求证： BEFA CDF ;(2)若CD = 2,求四边形BCFE的面积.24.已知，矩形 ABC邛，延长 BC至E,使BE=BD F为DE的中点，连结 AF、CF.求证：(1) / ADF=/ BCF; (2) AFCF.证明：二.四边形ABCD为矩形AD=BC TOC o 1-5 h z / ADC= / BCD= / DCE= 90 0 .2分在RtADCE中,F为斜边DE中点FC=FD/ 1= / 2 .4 分 ./ ADC+ / 1 = Z BCD+ Z2即：/ ADF= /BCF .5 分.方法一:连结BF6 分在 ADF和 BCF中，AD

6、= BCADF =/BCF、FD =FC TOC o 1-5 h z ADFA BCF .7 分，/3=/58分又 BD=BE,F为DE中点 BFXDEE9 分 ./ BFD= 90gp：Z 3+7 4=90/ 4+/5=90 即/ AFC= 90 二.FC .10分方法二：连ZAC交BD于点G连ZFG.6分四边形ABCD为矩形.8分AC=BD,G 为 AC,BD 中点 TOC o 1-5 h z 一.1 _又. F为DE中点，FG=_BE 9分21 1 BE=BD FG= BE= BD = _ AC. . / AFC= 90 /.AFFC .10分2224.如图正方形 ABCD中，E为AD边

7、上的中点，过 A作AF，BE ,交 CD边于F, M是AD边上一点，且有BM =DM +CD. 求证：点F是CD边的中点； 求证：/ MBC=2/ABE.24.证明：二.正方形 ABCD .1+/ 2=90中 AD=AB , / ADC= / BAD=90AF BE .3+/2=90，/1 = /32 分在4ADF和4BAE中2必AD =BA| /ADC =. BAD . ADF BAEDF=AE AE=DE= 1AD AD=AB2DF=CF= 1AB.点F是CD边的中点5分2连结BF,并延长交 AD的延长线于点 N.正方形 ABCD 中 AD / BC ，/4=/N在4NDF 和4BCF 中

8、 4 =N /6 =/7DF =CFNDF BCF .-.DN=CB6 分.正方形 ABCD 中 AD=BC=CD . . DN=CD BM=DM+CDBM=DM+DN=MN 7 分，/5=/N=/4 即/MBC=2/48 分A(1)求证：CF=CG ;(2)连接 DE,若 BE=4CE , CD=2 ,求 DE 的长.(1)证明：连接 AC, DC / AB , AB=BC , ，/1=/CAB, / CAB= / 2 , ，/1=/2; -/ ADC= / AEC=90AC=AC , ADC AAEC , . CD=CE ;-/ FDC= / GEC=90 , / 3=Z4, FDCGEC

9、, . CF=CG .(2)解：由(1)知，CE=CD=2 , BE=4CE=8 , . AB=BC=CE+BE=10 ,在 RtAABE 中，AE= VAB2-B-E2 =6 ,在 RtAACE 中，AC= 山= 法一：由(1)知， ADCA AEC , CD=CE , AD=AE ,C、A分别是DE垂直平分线上的点，. .DE LAC, DE=2EH ;在 RtAEC 中，yAEG - jAB-C-E = AC EH总耳GE _ 6然2 _ 3VI53 棚EH= AC 2VT0 5 ,DE=2EH= 23 = 5 .法二：在 Rt AEC 中，/ 2+ Z 6=90 ,在 Rt AEH 中

10、，/ 5+7 6=90 ,，/2=/5;AD=AE , AB=BC , . . /DE A 理二空 门.6Ho5= / 7, / CAB= Z2, / 7= / CAB , ADE BAC ;AC BC ,即 2V10 10 ,. 5点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件； 解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.25. (2010年江苏盐城)如图1所示，在直角梯形 ABCD中，AD / BC, ABXBC, / DCB=75o,以 CD

11、为一边的等边 DCE的另一顶点E在腰AB上.(1)求/ AED的度数；(2)求证：AB=BC;(3)如图2所示，若F为线段CD上点，/ FBC=30o.求DF的化FC(1),-BCD=75o ,ADC=105o(由等边 DCE可知：/ CDE =600, 由 ABXBC, AD/ BC 可得：/AD / BC1分)故/ ADE =45oDAB=90o ,/ AED=45o (3 分)(2)方法一：由(1)知：/AED=45o, a AD=AE,故点A在线段DE的垂直平分线上.由4DCE是等边三角形得：CD=CE,故点C也在线段DE的垂直平分线上.AC就是线段DE的垂直平分线，即AC IDE (

12、5分)连接 AC, =/AED =45o,/ BAC=45o,又 ABBC .BA=BC.(7 分)方法:过D点作DFLBC,交BC于点可证得： DFCACBE 贝U DF=BC 从而：AB=CB (3) . /FBC=30o, ./ABF=60o连接AF, BF、AD的延长线相交于点G,（ 4分）A（6 分）（7分）vZ FBC=30o, / DCB=75o,/ BFC=75o,故 BC=BF BDE图1 F CG由(2)知：BA=BC,故 BA=BF,/ ABF=60o,又. AD / BC, ABXBC, .FG =FA= FB ./ FAG=/G=30o(10 分)ZG=ZFBC=30

13、o, /DFG = /CFB, FB=FG.-.BCFAGDF .DF=CF,即点 F DF /.b1（11 分）是线段CD的中点.AB=BF=FA,DFEB 图2(12 分)24. (2009-2010 西师附中九上期末) 如图，梯形 ABCD 中，AB / CD , ADXCD, AC=AB , / DAC=30 度.点 E、F 是梯形 ABCD 外的两点，且/ EAB= / FCB , / ABC= / FBE , / CEB=30 .(1)求证：BE=BF ;(2)若CE=5, BF=4 ,求线段AE的长.EDA(1)证明：二.梯形 ABCD 中，AB/CD, AD LCD, ./ D

14、AB=90 ,且 / DAC=30 ,丁. / BAC=60 . AB=AC , . ABC 为等边三角形.AB=BC ,又/ ABC= / FBE , . / ABE= / CBF ,AB = CB在AABE和ACBF中得日尸.abe/XCBF, .BE=BF;(2)连接 EF.由(1)知 ABC 为等边三角形，；/ABC=60 .又 = / ABC= / FBE ,/ FBE=60 , BE=BF, EBF 为等边三角形, / BEF=60 , EF=BF , / CEB=30 , / CEF=90 ,在 RtACEF 中，CF2=CE2+EF2=CE2+BF2, CE=5 , BF=4

15、, . CF= E .又由(1) AABE CBF 知，AE=CF , .AE=屈.24.如图，P为正方形ABCD边BC上任一点，BG，AP于点G ,在AP的延长线上取点E,使AG=GE , 连接BE, CE.（1）求证：BE=BC ;BN+DNAN ；(2)(2) / CBE的平分线交AE于N点，连接DN ,求证:(3)若正方形的边长为2,当P点为BC的中点时，请直接写出CE的长为(1)证明：: BG，AP,AG=GE , ；BG 垂直平分线段 AE ,AB=BE ,在正方形 ABCD 中，AB=BC, .BE=BC ;(2)证明：VAB=BE , . . / BAG= / BEG , v

16、BG AP , / ABC=90 , . . / BAG= / PBG= / BEG , . BN 为/CBE 的平分线，./ EBN=/CBN, . / PBG+/ CBN= / EBN+/ BEG ,即 / BNG= / NGB=45 ,. BNG是等腰直角三角形，BN= V2 GN ,连接 CN、AC,则/CNE=2 (/EBN+/BEG) =90,又/ ADC=90 ,A、D、C、N 四点共圆， 丁. / CND= / CAD=45 ,/ AND=45 ,过D作DM LAE于点M,则4DNM为等腰直角三角形， .DN= 能 DM, DAM+/ADM=90 , / DAM+/ BAG=9

17、 0 ,/ ADM= / BAG ,在 AABG 和 DAM 中，f iADM= BAG iAMD iAGBABGADAM (AAS) , A AG=DM ,.BN+DN= V2gn+ V2ag= V2 (GN+AG)=例 AN; 2x1 2V5(3)根据勾股定理，AP= 4炉+由同=停+秒=V5 , . BG= V5 = T ,. BP=PC, /BGP=/CNP=90 , .BPGACNP (AAS) , .CN=BG , . CE=0 CN=钝 2V5 2VT0 x 5 = 5 .如图，AC是正方形ABCD的对角线，点 O是AC的中点，点Q是AB上一点，连接CQ, DPICQ 于点 E,

18、交 BC 于点 P,连接 OP, OQ;求证:(1)4BCQ04CDP; (2)OP=OQ. (2010重庆，24, 10分) 已知：如图，在直角梯形 ABCD中，AD / BC, /ABC=90 .点E是DC的中点, 过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点 M.点F在线段ME上，且满足 CF = AD, MF= MA.(1)若/ MFC = 120 ,求证：AM = 2MB;，。1(2)求证：/ MPB = 90 Z FCM .【分析】在 RtNAMB中要证AM = 2MB 一般要考虑到30的角所对的直角边等于斜边的一半，所以本题的 关键就在于证明/ BAM= 30 ,如果能证出/ MAD 120就好了，而/ MFC = 120 ,所以需要证明：/AM*NFMC,然后分别求出各角，即可得出结论.【答案】(1)连接MD ,点E是DC的中点，ME, DCM