2009年gct入学资格考试数学精解

1、2年入学资格学基础能力试题参考与1. 【】 D【】本题主要考查了一元二次函数的图像（开口方向与对称轴方程）。b解法1由题中的图可知抛物线的开口向上且对称轴为 x 2 ，在4 个选项中只有2ay x2 4x 5符合题意。故正确为 D 。解法2从题中的图可以看出 f (1) f (5) 0 ，在4 个选项中只有 y x2 4x 5符合题意。故正确为 D 。2. 【】 B【】本题主要考查了简单代数式与等差数列的平均值或前n 项和公式。 2009 22010 2008 1(2009 1)(2009 1) 1 (41)2 1681(1 3 5 7 9 11 13)2 (1 13) 7 2492为 B 。

2、故正确3. 【】 B【】本题主要考查了面积计算方法中的常用方法（割补法）及圆的面积计算公式。解法1如下图(a) 所示，将图中左上角的曲边三角形补到右下角时，阴影部分的面积是两个半径分别为 a2 b2 与b 的 1 圆的面积之差，即4 (a2 b2 ) b2 a2444故正确为 B 。解法2所求面积为圆弧CC 及线段CD ， BD ， CB 围成的面积（第一部分）减去圆弧 DD 及线段 BD， BC ， CD 所围成的面积（第二部分）。如图(b) 所示，连 AC ， AC 。第一部分面积为扇形 ACC 的面积加上两个直角三角形的面积。因CAC 90 ，故第一部分面积为 (a2 b2 ) 21 a

3、b 。第二部分为长方形 ABCD42的面积加上扇形 ADD 的面积，其面积为ab b2 。所求面积为4 (a2 b2 ) 21 ab (ab b2 ) a24424为 B 。故正确4. 【】 D【】本题主要考查了奇偶数的概念。前100 个正整数中有50 个偶数，其中一位数字的有4 个，即2 ，4 ，6 ，8 ；两位数字的有45个，即10 ，12 ，14 ，98 ；三位数字的有1个，即100 。将它们按要求排成一行共有97 位，所以从第98 位开始依次是102104 ，故第101个数码是1。为 D 。故正确5. 【】C【】本题主要考查了函数的图形表示法及函数周期性的概念。因 f (x) 是周期为

4、3 的周期函数，根据周期函数的概念可知(1) ，(0) 。从图中可以看出 f (1) 1 ， f (0) 1 ， f (1) 2 。所以(1) 。(1) 2 (1) 2(0) f (1)1 2故正确为C 。6. 【】 A【】本题主要考查了等比数列、等差数列的概念和基本的代数公式及简单的变形方法。解法1设两个正数分别是a ， b ，根据题设可知a b 2 15ab 122所以a b(a b)2 (a b)2 4ab 900 576 324 18故正确为 A 。解法2由a b 2 15ab 122得b2 30b 144 (b 24)(b 6) 0 ，进一步得a 6a 24或b 24b 6所以 a

5、b故正确 18。为 A 。7. 【】 D【】本题主要考查了运动中的简单相遇问题。设两地距离是 x 千米，根据题意可知甲车到达相遇地点所用的时间是x 50 350乙车到达相遇地点所用的时间是2x 50 340由x 502x 503 35040解出 x 225 。故正确为 D 。8. 【】 D【】本题主要考查了特殊三角形的概念与特殊角的三角函数值。解法1在等腰ABC 中，当 AB AC 3 时，BC 3 时。这时sin A 3 13，22233223 。从而当 BC 3 时， A 的取值范围应是(所以 A , ) 。故正确为 D 。A 的取值范围可以接近 ，而选项 A ，B ，解法2本题利用排除法

6、最简单。根据题意C 都做不到这一点，故正确9. 【】 B为 D 。【】本题主要考查了二项式展开系数的性质。7k k nk解法1由题中的图可知，第8 行的数字之和应是(a b)7 C a b的展开系数之和，7k 07 7即C 27 128 。kk 0故正确为 B 。解法2本题也可以根据图中的规律，得到第8 行中的数字是1，7 ，21，35 35 ，21，7 ，1，它们的和是128 。故正确为 B 。10. 【】 B【】本题主要考查了复数的基本概念（虚数、模）与简单运算（加法、除法）。由于 z 1 1 1 i ， z 2i2 5i3 2 5i ，所以z z3 4i 5 。1212i故正确为 B 。

7、11. 【】C【】主要考查了平面直线的基本概念及简单的位置关系。解法1如下图所示，过原点及直线 y 2x 4 与 y 2 的交点(3, 2) 的直线l1 的斜率 2 ，过原点且与直线 y 2x 8 平行的直线l 的斜率k 2 。当直线 y kx 介于l 和lk之1221232间，即 k 2 ，直线与所给图像有三个不同交点。3故正确为C 。y=2x+423用排除法。取k 0 ，解法2， 2 直接将选项 A ， B ， D 排除。12. 【】 D【】本题主要考查了投影的概念及图形对称性、勾股定理和正方形的面积。解法1作如下图所示的辅助线，显然所得的小直角三角形与直角DMN 及BPQ 全等。设小直角

8、三角形的两条直角边的长度分别为 a ， b ，则5b 10 ， 5a 2b 10 ，所以b 2 ，a 656 36 4 136。从而 a2 b2，所求面积之和是 252566。5为 D 。故正确过Q 作线段QR 垂直 DA 交 DA 于 R 。设 DM a ， DN b ，设 MN c ，则解法 2DMDNMNc a2 b2 ，由图，DMN RNQ ，故，NQ 5c ，。又 MNRNRQNQ所以 RQ 5b 10 ， RN 5a ，容易解得b 2 。又5a 2b 10 ，所以a 6 。从而56 6 2 1625个小正方形的面积为 S 6c2 6 22 32。 5 故正确为 D 。13. 【】

9、A【】本题主要考查了等可能事件的概率乘法公式和分步求积的计数原理。解法1根据题意，从甲、乙两盒中各任取一个零件配在一起，共有200 240 种情况，其08 3 。中有160 180 种是 A 型螺栓。所以要求的概率是 p故正确为 A 。045解法2本题也可以利用独立事件的概率乘法公式直接求得08 30245p 为 A 。故正确14. 【】 A【】本题主要考查了四面体（三棱锥）的体积公式及相似三角形的性质。根据题意，每个角去掉的仍是四面体，且每条棱的长是原来四面体对应棱的一半，所以去 1 311掉的体积是原来的4 倍，从而剩余部分的体积是 64 32 。222为 A 。】C故正确15. 【】本题

10、主要考查了双曲线的基本概念（焦点、顶点、实轴）和简单计算（焦点坐标）。解法1根据题意，本题可用特殊值代入法进行求解。取 a 3 ， b 4 ，则右焦点为(5, 0) 。再取双曲线右支上的一点 P (5,) ，则以 PF 为52直径的圆的圆心坐标为(5, ) 。以实轴为直径的圆的圆心坐标为(0, 0) ，所以两圆的距离是3168 8 283 32 2 3 52， 3 这与两圆的半径之和相同，所以两圆外切。故正确解法 2为C 。，因为 2a ，设以 PF2 为直径的圆半径为 r ，圆心为M 。PF1PF2以实轴为直径的圆，其半径为a ，圆心为O 。两个圆的圆心连线为OM 。因为OM 是F1PF2的

11、中位线，所以y112( PF22 2a) r aOMPF1即知两圆外切。故正确为C 。F1解法3设点 P 的坐标为 P(x, y) ，PF2 的中点 ex a ， 故两 个圆的 半径和 为为 M 。 根据 双曲线 的焦半 径公式 PF2， x c 2ex aex as r1 r2 a 。又两个圆的圆心距离为d OM，222x2y2c利用e 和 1容易计算d 2 s2 0 ，由此可以推出d s ，所以两个圆外切。a2b2a故正确为C 。16. 【】 B【】本题主要考查如何求函数的极限。解法1利用法则。(x -1)limlim (x -1)lim 1 1故正确为 B 。sin x 1以及无穷小量的

12、等价代换定理。解法2利用重要极限limxx01)1)(x 1)lim ( lim 1(x 1)x1故正确为 B 。17. 【】 B【】本题主要考查分段函数表示绝对值函数、简单函数的图形及求函数的交点。x 2x f (x) 的定义域为 x 0 。当 x 0 时x 2x 2 与x 可知x 的草图如下所示，显然，f (x) 的由最小值点是 y 2 x 与 y x 在0, 2 上交点的横坐标。 y x 4 0 y 2 x即(x 4)(x 1) 0 ，因此有 x 10, 2 ， f (1) 1 1是 f (x) 的最小值。为 B 。故正确 因 y x 是单调递增函数， f (x) 的最小值点一定是 x

13、1，而不是 x 4 。f (x) 的分段表达式为注2 x ,x 0,1 (0,1)x 4, )f (x 2 ,yy=2 xy=xy=x 20124x18. 【】 A【】本题主要考查函数单调性的判断及定积分的性质。因在(0, ) 内 g (x) 0 ，所以 g(x) 在(0, ) 内单调增加。又t (0, ) 时有t ，因222 而，当t 0,， g(t) g(sin t)，从而g(t) dt g(sin t) dt 成立。22故正确2 xx为 A 。111注 当 0 x 1 时，有g(t) dt g(sin t) dt 成立；当1 x 时，有 g(t) dt 2xxx1g(sint ) dt。

14、x19. 【】 Dsin x 1，极限运算法则及无穷小量阶的比较。【】本题主要考查重要极限limxx0由题设lim x g(x) 1及limsin x 0 有limx g(x) 0 ，从而lim g(x) 0 。解法1sin xlim g(x)x0 x0g(x)x0 x g(x) xx0 lim x g(x) x 1 1 0 x0 sin xsin x 故正确为 D 。解法2利用排除法。由题设lim x g(x) 1及limsin x 0 有limx g(x) 0 ，从而lim g(x) 0 。sin xx0 x0 x0 x0lim g(x) 的存在与 g(x) 在 x 0 点是否有定义无关，

15、因此，无法考查 g(x) 在 x 0 点的连x0续性和可导性，由此排除 A ， B ， C 。故正确为 D 。解法3特殊函数代入法。取 g(x) x2 ，它满足题设条件，显然，它在 x 0 点可导，排除C 。又取 g(它在 x 0 点没有定义，因此它不连续，而且还不可导，排除 A ， B 。，为 D 。故正确20. 【】C【】本题主要考查定积分的换x及变上限求导法则。du dt ，且当u 0 时，t x ；当u x 时，t 0 。在uf (x u) du 中令 x u t ，则0于是x0 uf x uu 0t x0 x t f tf (t) dt tf (t) dt ，0故xxxf (t) d

16、t tf (t) dt x ln 200对上式再关于 x 求导，得 1 2 x，即f (t) dt 1 ，xxf (t) dt xf (x) xf (x) 2 x00 1 2 x1x1在f (t) dt 中令 x 1，得f (t) dt 。200故正确21. 【为C 。】 A【】本题主要考查高阶导数、导数的四则运算以及抽象复合函数的求导法则。由题知 f (x) f 2 (x)，故 f (x) 2 f (x) f (x) 2 f 3 (x) ，进而f (x) 6 f 2 (x) f (x) 6 f 4 (x) 。所以 f (0) 6 f 4 (0) 6 。故正确为 A 。】 D22. 【】本题主

17、要考查矩阵的运算（转置、乘法、逆矩阵）与解线性方程组。解法1设 1 1a13 a31 a1222a2122A (a ) aa ，则 AT aaaa23 32 ij2112 a aaaaa 3133 1333 3223因 AT A E ，所以 A1 AT 。由 AA1 E 得， AAT E 。由 AAT E 1，所以a 0 ， a 0 。由 AT A E，1 a2 a2，121312131 a2 a2 1，所以a 0 ， a 0 。因此21312131 100 AT00aa32 22aa33 23方程 AX b 两边AT ，得 AT AX ATb ，从而 1 1 100X ATb 0 0 0 a

18、a32 22 0 0 0aa33 23解法2用特殊矩阵代入法。 10 010A 00 1 0它满足题设条件 AT A E ，显然 A1 A 。方程 AX b 两边A1 ，得 10 1 1010X A1b 00 0 0 。 01 0 0 为 D 。故正确23. 【】C【】本题主要考查行列式的性质。在a1 x a2 x a3 xb1 x b2 x b3 xc1 x c2 x c3 xf (x) 中，将第一列乘1分别加到第二、三列上得a1 x a2 x a3 xb1 x b2 x b3 xc1 x c2 x c3 xa1 x a2 x a3 xb1 a1 b2 a2 b3 a3c1 a1 c2 a2 c3 a3f (x) b1 a1 b2 a2 b3 a3c1 a1 c2 a2 c3 a31b1 a1 x 1 b2 a21b3 a3c1 a1 c2 a2 c3 a3a1 a2 a3当1b1 a11 b2 a21b3 a3c1 a1 c2 a2 c3 a3 0时， f (x) 是常数，它没有零点；当1b1 a11 b2 a21b3 a3c1 a1 c2 a2 c3 a3 0时， f (x)