概率与统计总结(共20页)

1、小学(xioxu)“统计(tngj)与概率”教学(jio xu)的研究一、“统计与概率”内容的教育价值现在我们的生活已经使每一个学生都感觉到，我们生活在一个数据的世界里，每一天从早晨到晚上所面对的大量的信息，有很大一部分是用数据来表现的，我们希望孩子从小的时候，面对这样一个数据的世界，应该能理解数据中是有信息的，信息是可以加工和提取的，信息是能够为人服务的。信息的加工的方法的好，或者是不好，可能会得出是有利或者是不利的信息，当然这是根据人的统计方向来决定的。从小学设立这种课程最重要的不是学了更多数据统计的方法，也不是把那些概念做成像知识点那样训练，最重要的是通过给孩子定性的数据的分析的感觉，模

2、拟这种过程，让孩子体会到数据是有信息的，信息是可以通过我们加工提炼出来的、为我们的生活和学习服务的。通过统计概率的学习，可以帮助学生来形成一种统计的观念和随机的思想。二、统计与概率教学中的困惑以下列举教师在教学中的困惑：1从低年级开始，现在所有的实验教材都已经加强了统计与概率的内容，老师在教学过程当中稍不留意就出现一个问题就是越位的现象。本来二年级要达到的目标一年级就完成了。教师对统计与概率的教学要求到底到什么程度上，还不是很清楚。?统计与概率内容不同阶段的要求。 2一方面，统计与概率的最大特点是应用性非常广泛，也有很多新颖的例子；另一方面，出现在教学过程当中的例子还是不够实际，对孩子的吸引力

3、不够大。学生(xu sheng)感兴趣的统计与概率学习或应用的例子。 3教师都认同应该让学生经历统计(tngj)的过程,但感觉课堂上挺热闹,也不知道是否培养了学生的统计观念?什么(shn me)是统计观念？如何在统计过程中发展学生的统计观念？教师如何指导统计过程。4在概率实验时，有时会出现频率与概率差别比较大的情况，学生糊涂了，老师也不知如何处理？?教师如何指导学生做概率实验；是否要做概率实验。5到底什么是统计，什么是概率？干吗把这两个内容放在一起？?对统计、概率、统计与概率之间联系的理解。6不少老师不愿意在统计过程上功夫，而是马上进入到统计图的制作和回答问题、平均数等的计算，因为前者在考试一

4、般不好考，这怎么办？?考试评价问题。虽然有很多困惑，就这些困惑跟新课程开始的时候困惑确实是不太一样了，那时候可能老师们更多关注要不要花那么长时间去经历这个过程，现在老师们开始关注更深刻的问题了，怎么让学生愿意经历这个过程？学生在这个过程中有没有收获？包括我们怎么去评价这个过程？包括到底什么是统计与概率，课程的整体设计等更深层次的问题。二、统计(tngj)对于统计与概率(gil)，在小学阶段无需质疑，“统计(tngj)”的分量应该是大于概率。所以我们首先来看统计。1“平均数”教学的讨论吴正宪老师曾经对平均数一课的反思：平均数教学，我原来也教过而且教的非常好，怎么教的呢？无非就是出示例题，然后分析

5、一下条件和结论，引导学生开始列式计算，通过列式就总结出一些规律：平均数等于总数除以总份数。数量关系来了以后，吴老师用了这么一个词：就像一根救命稻草一样，就可以反复的练习了。有一次她上完课以后，老师们握着她的手说：说吴老师说像您这样上课，学生学的太扎实了，考试成绩准保高。但是，吴正宪老师不满足于此，很善于反思。有一次她做了一个测试，想看看我们学生成绩那么高，我们来看看孩子对平均数理解不理解：说某一个公司招工，告诉月平均工资是800元，有一位员工，在开工资的时候只拿到600块钱，这个员工就不服，不是说平均工资是800元嘛？那么请问学生，这个员工如果去状告这个老板的话，会不会赢？对于这个问题，全班的

6、正确率只有28，学生显然没有明白平均数是什么？它的意义是什么？所以，吴老师说她经过了痛苦的反思，症结是什么？症结不在于孩子症结在于教师。她用这段话描述她的心情：我们天真的以为孩子只要掌握了这个数量关系就能够解决平均数的所有的问题，或者平均数的实际问题了。所以她提出一个问题：我们的桩，到底该打在哪？是打在对数量关系的反复的演练上，还是对平均数的价值、平均数的意义的理解上？正是这个思考，吴老师就进行了钻研，形成了一节我们认为还是很具有借鉴意义的一节平均数的课（见拓展资源）。进一步，我们还想对平均数教学(jio xu)提出一些思考，看下面的一个案例：案例：在教学平均数时，课前教师以组为单位统计(tn

7、gj)了这个班同学一分钟踢毽子的情况，并从中引用了以下两组数据在课上讨论：第三(d sn)小组：25、23、34、30、47、25、26第五小组：25、31、40、33、29、31然后提出问题：请你来评判一下，哪个小组踢的好？我们以为学生肯定会想到用第三小组平均数和第五小组的平均数来比较，然而学生却出现了很多想法，下面列举出来：（1）我可以比较两个队中踢的最高的，也就是拿第三小组最多的那个和第五小组踢最多的去比，所以第三个小组踢得好。（2）比较总数，这个观点很容易就被其他同学反对，觉得不公平。（3）我可以一个一个的比，把最高的比完了，比第二高的。就是第三小组的第一名和第五小组的第一名俩俩比，然

8、后第二名两两比，就是一个一个的对应的去比。（4）既然人数不一样，就把第五小组再增加一个或者是把第三小组去掉一个。（5）跟前面那个一个(y )一个比差不多，比完了以后发现第三小组只有前两名比第五小组的好，其他的都不如第五小组的好。（6）当然(dngrn)其中也有一部分孩子提到要用总数除以每个组的人数，也就是用平均数来比孩子们的想法还是挺多的，而且似乎都挺有道理的，但是在平均数这节课上到底该怎么办？所以，提出(t ch)以下三个问题作为老师们的思考：问题1：学生这么多方法都有道理吗？问题2：有老师说这节课的目标还是要讲平均数，而且平均数确实在统计中是非常重要的一个统计量，孩子也不存在困难，那么我们

9、是不是有必要来花那么长时间，反而会冲淡了对平均数的理解，也就是你对这节课的教学目标的一个理解？换句话说就是这节课的教学目标的定位到底是什么？问题3：假设你的学生确实有这些想法，我们怎么办？怎么让他心悦诚服的进入到对平均数的学习？说到平均数，我就特别想提到一个案例：平均数、中位数、众数的学习。这节课出现了一个有趣的现象：我们总觉得平均数简单，但是学生是不是真的理解了平均数？所以我还是想把这个案例说一说。案例五年级一节中位数和众数的案例，老师同样是呈现(chngxin)了一个情境，有一些很极端的数据：某公司(n s)工作人员月工资表经理副经理员工1员工2员工3员工4员工5员工6员工7员工8员工9月

10、工资/元30002000900800750650600600600600500显然经理和副经理的钱比较(bjio)多，剩下的人都在一千块钱以下。如果你去贴一个招聘广告来说一下你们这个公司的工资的平均水平，你准备怎么说？孩子很自然用平均数，算出来是1000。有的学生一看觉得不行，说只有经理和副经理比一千块钱多，其余所有的人都比一千块钱少，不能够真实的反映这个公司的工资水平。老师就提出一个问题：你们觉得平均数不行，你能不能换一个数来反映工资的平均水平？前几个孩子的想法都是一样的，他们很自然的就把经理、副经理那个极端值去掉，剩下的人求平均数，好像是666.66，约等于667这个结果。老师提出那我们用

11、这个数来代表它的平均水平行不行？这时候很多孩子就提到这么一个问题，为什么不能用667？学生说，你想谁发工资发667块钱，发667块钱太不符合实际，从实际这个角度我不会取这个数的，老师也觉得挺有道理。当时我觉得孩子的想法好像有道理，但是也觉得有点别扭，现在不知道你们发现没有，平均数不见得非要发这个钱，只要反映平均水平就可以了。平均数是667 ， 不是所有人都要拿667，所以它不是真实要发的那个数。因此，我就在思考，为什么在三年级反复强调的孩子似乎都已经明白的问题（平均数不一定是实际发生的数据），反而到五年级处理一个实际问题的时候它暴露出来。这就说明人的认识的阶段性或者复杂性，不是说什么东西学会了

12、它就一定是会了，它有一个不稳定性，所以说统计它看起来简单，实际难就难在面对一个真实的问题的时候，你怎么来解决问题。进一步，案例中的教学内容是中位数，那么什么是中位数？什么是众数？为什么我们有了平均数以后还要再引进另外两个来刻划平均水平？它们之间有没有联系？举一个最简单的例子，去掉极端值的想法，一堆数据最高值最低值去掉，又剩一堆数据再把最高值最低值去掉，不断的去掉，剩下的不就是中位数吗，所以所有的孩子的想法，其实跟中位数还是有联系的，学生有一种对极端值的敏感，关键老师怎么去引导(yndo)。因此，提出下面两个问题：问题(wnt)1：作为老师，对于(duy)这个问题您打算怎么引导学生？问题2：中位

13、数、众数、平均数它们各自的意义以及的联系是什么？2“统计图”教学的研讨（1）如何读图的讨论小学阶段还有一个非常(fichng)重要的内容，就是统计图。现在实验教材，基本上从一年级就有统计图，到六年级还有统计图。于是老师们就有了疑问，从一年级咱们就读图，到六年级还读图，说来说去似乎都是“从图中你发现了什么(shn me)信息”，到底我们应该从哪些角度来分析(fnx)统计图呢？就这个问题，我们采访了一些数学的专业工作者和中学老师和小学老师，给了如下的一个统计图：一年级、五年级学生睡眠情况统计图面对上面的统计图，看看他们都关注什么？看了他们的回答，对我们还是非常有启发的。比如张思明老师，他是这么读图

14、的：首先，是关注图中最大的差别，这个图中最大的差别就是中眠和深眠，尤其深眠差别是最大的，很让人关注。然后，他就想这个差别是不是反映了真实情况，为什么会有这样的差别，合理不合理。一想到这个合理不合理，就要看一看刚才那个图中定义的深眠、中眠指的是什么。他发现深眠是从来不醒，中眠呢是有很大的声音才醒，就提出个疑问，这个统计图的目的是什么？目的好像是调查学生的睡眠质量，如果只有非常大的声音才醒，他认为也是睡眠质量比较高的表现，所以两项应该合并。但是合并以后发现五年级反倒比一年级要多了，睡眠质量更高了，但咱们总觉得孩子小的时候睡眠质量高一些。这时候，无非有两种情况，一是我们原来的生活经验有误，还有一种就

15、是他提到是不是这个统计的数据本身有点问题，能不能进一步收集一下人均的睡眠时间去衡量睡眠质量。第二个采访的老师呢是东北师范大学的史宁中校长，他是我们国家一位非常有名的统计学家。他在观察这个(zh ge)图的时候，很有意思，他首先就问到了你的目标是什么？所以他简单的论述一下，如果是来刻划数量之间比较的话，我们用条形统计图；如果是刻划一种变化的话用折线；如果是刻划部分与整体的关系的时候，用扇形统计图。实际上这就是我们小学说的三种统计图的特点，当然他不是说有了统计图之后讲这个特点，而是首先就是询问统计的目的，就是你刻划的角度是什么，再思考到底用什么图。给出了统计图，他比较关心的是一个变化情况。还有一个

16、特别有意思的现象，就是史校长拿到这个图很快就发现了一年级是19人，五年级是20个人，人数并不相等。我觉得挺奇怪，就问他怎么这么快就关注到了人数的不同。他说，这个条形统计图的纵坐标是绝对数量，那么绝对数量进行比较的时候，我自然就要思考总的人数，而如果你刻划的是相对数量，就是百分比的话呢，我就不用思考这方面的问题了。史校长的话让我思考教学中的一个很有意思的事情，就是我们在讲统计图的时候老师会帮助学生去分析，（这一条多少？那一条多少？一共有多少？）似乎合计有多少是一种程序化的让学生去算算，很少从这个角度来思考，就是我们需要考虑总人数。所以学生能很快的说出总数(zngsh)，但是他不能够在实际问题中想

17、到需要去计算总数，尤其不会像史校长那么敏感，所以我想史校长对我们两个方面的启发：（1）要解决的问题(wnt)是什么，你统计的目标是什么？（2）对统计图的一个敏感。华应龙老师(losh)在回答“在培养学生分析数据(shj)的过程中，有没有哪些做法”的时候，他的一个做法就是说，比较关注对于名字和横轴纵轴的讨论。具体的，教学时一般先不呈现统计图的名字，比如上例，先给出两个图，就给几个条，不给名字，也不给横轴、纵轴表示什么，然后问学生假设这是一年级的情况，这是五年级的情况，你们比较一下觉得有什么差别？孩子开始会说这个(zh ge)条比那个条大，但是很快孩子就感觉到这个条比这个条大代表了什么含义？就是这

18、个图表示的是什么，统计图应该有的名字。通过教学，学生意识到将来在读图的时候，应该关注它的名字，因为它反映了这个数据要体现什么。有时候，华老师会故意把两个图的单位搞的差别很大，学生觉得不可能发生这个事情，然后发现是单位长度不一样。学生意识到不仅要读图的名字，还需要图图的横轴、纵轴。华老师的做法对我们教学启发挺大，这样可能更能引起学生对横轴纵轴表示什么、单位长度是什么、通过名字反映出来这个图表示的是什么自觉的去关注，而不是作为一个程序，我要看这些。华老师他还强调一个，就是可以鼓励学生思考有没有更好的图去比较两个年级，也就是引导学生学习复式条形统计图角度。几位老师的培养学生阅读统计图的一些方法，或者

19、说从哪些(nxi)角度可以来看图是不是能为我们特别是中高年级的统计图教学提供一些启发？因此提出下面的问题：几位老师对统计图的分析，对我们统计图的教学有什么启发？（2）收集数据教学(jio xu)的讨论下面我们(w men)就进入到一个课例（清华大学附属小学 安华），是关于一年级的统计图的教学。这个课例主要的内容是让学生了解一下条形统计图，会从条形统计图中获取一些信息，比如说谁多谁少等等。那么安老师开始设立了这么一个情境，就是我有4部动画片，想要统计一下班里人最喜欢看的那个动画片是什么，然后人数是什么？学生讨论得出是用举手方法来统计比较好。突然有学生说起立比举手好，老师这地方也挺机智的，就询问学

20、生们你们谁觉得哪个好？大多数同学们都认为起立好，那最终就采取“起立”的方法统计数据了。然后呢，统计过后又出现问题了，我们一起来看一看这个片断。 课例：安华老师的一年级统计图教学。安华老师这个过程跟咱们日常教学还不太一样，尤其是当收集数据过程中出现问题的时候（通过统计算合计后的总人数，与班里实际(shj)的总人数不相等。他们这个班是32个人，结果统计(tngj)完总人数变成了35个人，有人重复多站了），一般老师处理好像就是问问刚才谁没站起来、或者站了多次，然后修改一次数据。最多是再重新起立一次，而安华老师的处理，好像跟咱们是不太一样的，在这里我们提出一个问题：安华老师的处理有什么不同？这种不同是

21、否(sh fu)有价值？问题1：遇到统计合计后的总人数与班级实际总人数不同的时候，您会如何处理？安华老师的处理有什么不同？这种不同是否有价值？老师们普遍感觉统计图的学习各个年级的教学要求不容易划清楚。实际上，如果把统计图的学习仅仅定位在制作一个统计图，确实这个要求不太容易划清楚。比如，一格代表多个单位的条形统计图，课程标准安排在第二学段，而很多学生在第一学段就能学会。如果你把统计图的学习定位于画一个统计图，确实不同年级不容易区分，那么除了画图以外，除了简单的阅读图以外，统计图的学习中还有哪些重要的内容？我想这是我们思考的第二个问题。问题2：除了画图以外，除了简单的阅读图以外，统计图的学习中还有

22、哪些重要的内容？三、概率（一）学生对概率实验(shyn)数据的看法概率(gil)教学，现在老师们都指导学生做一些实验，在实验过程中，学生就会出现一些困惑，怎么来帮助学生消除这些困惑呢？他们到底有什么想法和困惑呢？先我们来看一看学生对一个实验数据的讨论。案例 教师首先鼓励学生猜想，一个均匀的硬币随机抛出后，正面朝上的可能是多少。所有的学生都认为是1/2。教师接着提出(t ch)问题，那么抛10次硬币，正好5次正面朝上的可能性大不大，大部分学生都认为比较大。接着，教师就呈现了下面一组学生做实验的数据：实验总次数正面朝上的次数反面朝上的次数105510551091104610731064106410

23、641064104610371028学生的一些想法和困惑是：（1）我们猜想的是5正5反，结果却出现了9正1反，这是为什么？（有的学生认为(rnwi)是投的手法不同：没投时如果是正面朝上，落下就是正面朝上；没投时如果是反面朝上，落下就是反面朝上。）（2）我觉得10次中出现5次的概率应该挺大的，现在(xinzi)看12次中只有2次，不知是由于不确定造成的还是我的想法有错误？（3）一个学生认为实验次数不能太少，如果把所有组的数据(shj)加起来，正面朝上的次数和反面朝上的差不多，所以1/2还是有意义的。（4）不是说实验次数越多，越接近1/2吗，我怎么觉得就取前两组的数据和，正好是1/2，再加后面的反

24、而不是1/2了？（5）这些都是不确定因素造成的。把上面的困惑总结以下，提出以下问题：（1）掷10次硬币，正好5次正面朝上的可能性到底有多大？如果能精确算出来更好，如果算不出来的话，请老师们猜想一下是会特别大像80，还是50，还是说比50小，还是说比10还要小？（2）既然是1/2，那么一会是9正1反，一会又1正9反，那么怎么来理解1/2呢？ （二）是否需要做概率实验老师们在概率教学中，有一个比较大的争论：在教学概率时，我们到底要不要做概率实验？是不是一年一年每次都要做。下面我们先看一些老师的不同看法。从刚才老师们的讨论当中可以(ky)看出,不做或少做实验(shyn)的老师,主要是基于这样(zhy

25、ng)几个原因：(1)实验中，频率和概率之间的确是有一些差距的,可能就会造成孩子实验完之后反而有些糊涂了。比如，像上面学生的讨论，本来所有学生都猜想1/2，实验后反而产生了一些困惑。(2)第二学段的一个目标是用分数去刻划一些事件发生可能性的大小。由于学生对频率和概率的混淆，实验之后由于频率的不确定性，学生反而认为概率也是不确定的了。（3）从二年级就开始做可能性实验，比如摸球，一直到五年级都在摸，有的孩子就觉得兴趣越来越淡薄了，因为摸之前他已经能猜测到了。坚持是做实验的老师也是有理由的：（1）在实验过程当中，孩子能够不断的去体会事情发生的不确定性。（2）做实验可以改变孩子当初的一些误解。比如袋中

26、中有一些红色有一些白色，有的孩子可能认为，我这次摸到了白色下次就应该摸到红色，其实这是他对这随机现象的一种误解。孩子在实验的过程当中，他会不断的去修正自己的这种误解。（3）做实验的教育价值。比如有的学生为了得到“1/2“，或者有的学生故意想摸到可能性小的球，所以他们经常在摸球时偷看。如果教师能正确处理这些情况，反而能培养学生求实求真的态度。看了老师们的讨论，我觉得也挺有启发的，确实不是简单的要做或不做实验的问题，我们可能就要思考，比如说我们要做实验怎么(zn me)来保证数据的随机性；包括孩子确实出现了混淆的时候，教师如何引导学生。所以，这个讨论不是简单的得出要做还是不做，而是由此来引发对概率

27、更深层次的思考。所以提出几个问题：问题(wnt)1：从您这个角度来说，您认为需不需要做概率实验(shyn)？说明理由。问题2：在做概率实验中，您有什么经验？比如刚才提到了您是不是设计了一些学生感兴趣的实验？当出现频率概率相差很大的时候，您是如何引导学生讨论的？问题3：频率和概率有什么差别和联系？四、评价以上我们初步的对统计概率有了一个研讨，最后我们来谈评价。前面，孙老师也提到了，说老师不是不愿意经历过程，也不是不愿意花那么长时间，但确实现在的考试就是简单的画一个统计图，回答几个问题；或者算算概率，确实很简单不需要花那么长时间。那么在这部分评价中，有没有可以借鉴的经验呢？我们这次的培训还有一个目

28、标，就是把素材积累起来，为更多的老师进行统计和评价统计提供一些好的素材，所以下面我们来看看一些评价试题，看看对我们有没有启发。案例(n l)1给统计图起名字下面(xi mian)是一个画好的统计图。请观察(gunch)这个图回答以下的问题：(1)你认为这个图可能用来表示什么？ (2)按你的想法给这个图起名。 (3)写下根据这个统计图你所想到的任何事情。我觉得这个题出的很有意思，它不是简单的给孩子提供一个图让他去通过图能够发现哪些信息，而是反过来让孩子去根据这个图所表达的情况给图起个名字，然后再看这个图能够反映什么问题。这道题既培养了学生读图的能力，又能很好的将图与生活实际联系起来了。案例2北京

29、大学附属实验小学毕业考试从国家课程标准面对评价的这一块的要求，表述是这样的：评价主要目的是为了了解学生的数学学习过程，它除了要激励学生的学习，还要有改进教师教学的作用。因此我们在尝试着这样的一种变化，就是毕业考试除了做一个闭卷的专门的笔答的考试之外，还有一个内容就是考察孩子的数学综合实践活动的能力（包括统计活动），就是要求他们自己去选一些题目，这个题目可以从跟课本结合的或者是社会上的热点，或者是身边的一些与数学有关的数学与体育呀、数学与交通啊数学与生物啊等等各个方面，从这里面去选一个课题，然后建一个小组，制定计划，选择指导教师，调整计划，中间去实施统计、去整理数据、去分析数据，最后形成自己的一

30、个结论。而且我们还要求他们用多媒体的方式，把这个课题的研究过程以及最终的结论呈现给大家，这样从方方面面比如说合作能力、与陌生人打交道这种能力、包括设计问卷啊、访谈、收集数据重组数据支撑他的结论这些方方面面能力都得到了锻炼。我们也成立了一个专门的评价小组，就是把学生的这些课题研究资料都收集在一起，然后由六年级毕业班的老师组成一个评价小组，中间有这个指导教师、有最终评价小组的签字。根据孩子的这种选题的价值是否有明确的表述、意义是否合适、题目大小是否合适，包括他们实施的过程分工的情况、合作的情况以及最后课题的这种呈现的方式做一个综合性的评价，有优秀的等级、有通过的等级。由于是初次的这样一种尝试，我们

31、留给孩子时间大概是三个月，就是在下学期六年级毕业之前三个月时间来完成(wn chng)，我们只设了优秀和通过这样两个等级，从保护孩子的积极性这个角度来考虑的，没有不通过的等级。总的来看效果还是不错的，孩子们完成的课题都非常丰富。有从身边课题选起的，比如说校园里的树，因为北大附小的树特别多，但是关于树木的这种分布、种类、树龄、直径等等这些情况又没有人能真的说清楚，所以孩子们选择了这样一个课题，实际上也帮学校完成了一件很有意义的事。他们的结论里面有哪些树的健康状况需要关注了，树龄在多少以上的、直径在多少以上的有多少棵，然后珍惜的古树有多少等非常珍贵的资料，作为一个礼物留给母校了。当然也有一些(yxi)课题比如说有一个小组选择的是我给台风起名字，因为大家都知道台风的名字每次都起的怪怪的，各种各样稀奇古怪的名字都有，那么想通过这样方式来反映一种创新，或者是一种定义的这样一种能力，但是后来发现这个课题的结论并不是很清楚，但是他们中间的访谈、问卷，包括对以往的几号台风的这些数据的收集整理还是非常清楚非常完整的，所以我