2020-2021学年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(理科)及答案解析

1、四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1已知i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则复数z所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知U=x|y=：1口岂玄，M=y|y=2x,xm1,则M=()A.1,2)B.(0,+)C.2,+)D.(0,13执行如图所示程序框图，则输岀的口为()于|A.4B.6C.7D.84.“x0,使a+xb”是“ab”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件-护2。5已知xe-1,1,ye0,2,|点P（x,y）落在区助工一？尸10内的概率为（s

2、-Fy-2=(4,t)共线且方向相同，则实数t=12若_七、严的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为13某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示.销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据分析，这个经营部定价在元/桶才能获得最大利润.14在平面直角坐标系xOy中，点A(0,1),B(0,4).若直线2x-y+m=0上存在点P,使得PA=*PB,则实数m的取值范围是a_|k_a|,15已知函数f(x)=，其中常数a0,给岀下列结论：f(x)是只上的奇函数；

3、当a4时，f(x-a2)df(x)对任意的xeR恒成立；f(x)的图象关于x=a和x=-a对称；若对X占(-8,-2),mx2e(-,-1),使得f(xi)f(x2)=1,|a,1).其中正确的结论有(写岀所有正确结论的序号)三、解答题：本大题共6个小题，共75分.16体育课上，李老师对初三(1)班50名学生进行跳绳测试现测得他们的成绩(单位：个)全部介于20到70之间，将这些成绩数据进行分组(第一组：(20,30，第二组：(30,40,，第五组：(60,70),并绘制成如图所示的频率分布直方图.(I)求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；(n)从成绩在第一组和第五组的同学中随机

4、抽岀3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为求的分布列及数学期望.17已知在厶ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c且满足b=acosC+csinA.求A的大小；若cosB=W，BC=5,ED=,求CD的长.51an+l18已知各项均为正数的数列a的前n项和为S满足S=()2(neN*).nnn2求数列a的通项公式；n1设T为数列的前n项和，若Tw入a对neN*恒成立，求实数入的最小值.n廿1nn+119.如图，图为图空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形在图中，设平面BEF与平面ABCD相交于直线L求证：1丄平面CDE；在图中，线段DE上是否存在点M,使得直线MC与平面BE

5、F所成的角的正弦值等于#?若存在,求岀点M的位置；若不存在，请说明理由.220已知椭圆E：乡且一图+=1(ab0)的离心率为半，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段b长为2.(I)求椭圆E的方程；(U)直iy=kx+1与椭圆E交于A,B两点，以AB为直径的圆与y轴正半轴交于点C.是否存在实数k,使得ABC的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求岀k的值；若不存在，请说明理由.21设函数g(x)=lnx，f(x)=g入x+(1-入)a-入g(x),其中a,入是正常数，且0入1.(I)求函数f(x)的最值；(U)对于任意的正数m,是否存在正数x,使不等式|-1|m成立？并说明理由；0辺(皿)设入0

6、,入0,且入+入=1,证明：对于任意正数a,a都有a入ia入2W入a+入a.121212121122四川省绵阳市高考数学三诊试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1已知i为虚数单位，复数z满足z(1+i)=i，则复数z所对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义.【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得岀.【解答】解：z(1+i)=i.z(1+i)(1-i)=i1-i)，则复数z所对应的点中寺)在第一象限.故选：A.2.已知U=x|y=j1口誉尹,M=y|y=2x,xm1,则uM=()A.1,

7、2)B.(0,+)C.2,+)D.(0,1【考点】补集及其运算.【分析】分别求岀关于U,M的范围，从而求岀M的补集即可.【解答】解：U=x|y=；l呂：=x|xm1,M=y|y=2x,xd1=y|yd2,则UM=1,2),故选：A.3执行如图所示程序框图，则输岀的口为()【考点】程序框图.【分析】模拟程序框图的运行过程，依次写岀每次循环得到的S,n的值，当S=3时，满足条件SM3,退岀循环，输岀n的值为8.【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，n=1执行循环体后，S=1,n=2不满足条件Sm3，执行循环体后，S=log2，n=3不满足条件SM3,执行循环体后，S=2，n=4不满足条件Sm3，执

8、行循环体后，S=log，n=5不满足条件Sm3，执行循环体后，S=log7，n=6不满足条件Sm3，执行循环体后，S=log；,n=7不满足条件Sm3，执行循环体后，S=log=3,n=8此时，满足条件SM3，退岀循环，输岀n的值为8.故选：D.4.勺x0,使a+xb”是“a0,使a+xb”与“a0,使a+xb”o“a0,使a+xb”是“ab”成立的充要条件.故选：C.2k-y+205已知xw-1,1,yw0,2,则点P(x,y)落在区助工一2沪10内的概率为(s-Fy-20“x2沪4内”的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解.s+y-20.V【解答】解：不等式组表示的区域

9、如图所示，阴影部分的面积为则所求概率为召.故选BJ|2r+2=0J卜J6.甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决岀第1名至第5名（没有重复名次）.已知甲、乙均未得到第1名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有（）A.27种B.48种C.54种D.72种【考点】计数原理的应用.【分析】由题意可知，第一名从丙、丁和戊中产生，最后一名从甲和（丙、丁和戊其中2名）产生，其它名次任意排，根据分步计数原理可得.【解答】解：由题意可知，第一名从丙、丁和戊中产生，最后一名从甲和（丙、丁和戊其中2名）产生，其它名次任意排，故有AiAiA3=54种,333故选：C.7若函数f(x)同时满足以下

10、三个性质；f(x)的最小正周期为n；对任意的XeR,都有f(x-*)乜兀7T=f(-x)；f(x)在(，)上是减函数则f(x)的解析式可能是()兀A.f(x)=cos(x+)B.f(x)=sin2x-cos2xC.f(x)=sinxcosxD.f(x)=sin2x+cos2x【考点】正弦函数的图象.【分析】由三角函数的图象和性质，结合题意的三个性质，逐个排查即可.【解答】解：根据题意，函数应满足：f(x)的最小正周期为n；对任意的XeR,都有f(X-令)+f(-X)=O,兀兀7T用X+替换式中的x可得f(x-)+f(-x-)=0,即函数的图象关于点(-专，0)对称；乜兀兀f(x)在(，丁)上是

11、减函数；对于A,f(x)=cos(x+*)的周期为T=2n，不符合，故不满足题意;对于B,f(x)=sin2x-cos2x=Jsin(2x-W)，不符合，故不满足题意；对于C,f(x)=sinxcosx导sin2x，不符合，故不满足题意;对于D,f(x)=sin2x+cos2x=Jjjsin(2x+】),符合，满足题意.故选：D.【考点】二面角的平面角及求法.8在长方体ABCD-AiBiCiDi中，AB=BC2AA1,P、Q分别是棱CD、CC上的动点，如图当BQ+QD的长)【分析】根据BQ+QD1的长度取得最小值时，利用函数数学求岀Q是CC1的中点，建立坐标系求岀平面的法向量，利用向量法结合函

12、数的单调性进行求解即可.【解答】解：设AA1=1，则AB=BC=JI设CQ=x，则CQ=1-x,则BQ=jec2+Cq2=姑兴,QD討口2+5护=&1_门昭,则BQ+QDjUz+g+dd壬卩+2=4匕_丽+伽近迁+寸（黑_十（Q一迈）设M（x,0），N（0,-血），K（1,血），则BQ+QDi齢异+一（！-x）5沪上-U）Sig：即:上1）盯（Q-.：?）2的几何意义是|MN|+|MK|的距离，则当三点M,N,K共线时，BQ+QD1的长度取得最小值，此时严吕上二也伍得x斗，即Q是CC的中点，i建立以D1为坐标原点，D1A1,D1C1,D1D分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:则Q(0,近，

13、斗)，血，0),设P(0,t,1),owtw任IM=(_VS，o,鲁)，9=(-V5,t_V!i),则平面PQD1的法向量为龍=（1,0,0）,设平面BPQ的法向量为n=（x,y,z）,当1=时，二面角B1-PQ-D1的为直二面角，此时二面角Bi-PQ-Di的余弦值为0,当0wt巨时,_V2K+yz=0.-Tsk-H(t-72)y+z=0nBjQ二0r,则Fl1P二0，令x=.W,则y=一,z=4,N二应工y=录IV2-1即h=(i2,g,4),m*n则cos|ni|nI设面角B1-PQ-D1的余弦值cose,2+16+孑为减函数,则当t=0时，函数取得最大值cos6=S+2-.20=10故二

14、面角B1-PQ-D1的余弦值的取值范围为0,欝,故选：B.9设M,N是抛物线y2=4x上分别位于x轴两侧的两个动点，且丽6也0,过点A（4,0）作MN的垂线与抛物线交于点P、Q两点，则四边形MPNQ面积的最小值为（）A.80B.100C.120D.160【考点】抛物线的简单性质.【分析】设直线MN的方程为x=my+t,代人抛物线方程，利用韦达定理，结師卜可=0，可求t的值，即可求岀|MN|关于m的表达式，同理求岀|PQ|关于m的表达式，于是S=|MN|PQ|，利用换元法求岀S的最小值.【解答】解：设直线MN方程为x=my+t,s=rr7+t联立方程组“，消元得：y2-4my-4t=0,l.y=

15、4x22设M（3一，y）,N,y）,则y+y=4m,yy=-4t.12121222丽五=0,.+yy=0,即yy=0（舍）或yy=-16.121212|MN|=:1+mJ；2-4丁丫2=11十口父；/PQ丄MN,且PQ经过点A（4,0）,直线PQ的方程为x=-1y+4.iri_1.玄一_y+44联立方程组m，消元得：y2+兰y-16=0.9ITl.V=4kq设Pgy3),Qq,y4),则炉4=专，y3y4=-161令m2+=t，则t2,irTS=&,g2（4t+1=&；4忙十25rK34S（t）在2,+）上是增函数,.当t=2时，S取得最小值&.第沉牡卜戏x姑34=80.故选：A.11:rP7

16、/w基0N10该试题已被管理员删除二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11已知向量a=（t，1）与b=（4,t）共线且方向相同，则实数t=2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】利用向量共线的坐标表示列式求得t值，结合向量同向进行取舍得答案.【解答】解：7=（t，1）&（4，t）.?与冬共线，上-4=0,解得t=2.又吕与5同向，t=2.故答案为：2.12若【3/x-)11的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为-540.【考点】二项式系数的性质.【分析】依据二项式系数和为2n,列岀方程求岀n,利用二项展开式的通项公式求岀常数项.【解答】解：若的展开式中各项系数

17、之和为2n=64,解得n=6,则展开式的常数项为识心云讥一丄亍3=-540,故答案为：-540.13某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示.销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据分析，这个经营部定价在元/桶才能获得最大利润.【考点】函数的最值及其几何意义.【分析】通过表格可知销售单价每增加1元、日均销售量减少40桶，进而列岀表达式，利用二次函数的简单性质即得结论.【解答】解：设每桶水的价格为(6+X)元，公司日利润y元，则：y=(6+x-5)-200,=-4

18、0X2+440 x+280(0 x13),.-400,当x=-舟厂5.5时函数y有最大值，因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大,故答案为：11.5.14在平面直角坐标系xOy中，点A(0,1),B(0,4).若直线2x-y+m=0上存在点P,使得PA=PB,则实数m的取值范围是一-兰m0,给岀下列结论：f(x，是R上的奇函数；当a4时，f(x-a2)df(x，对任意的xeR恒成立；f(x，的图象关于x=a和x=-a对称；若对Hxie(-,-2),ax2e(-g,-1),使得Ux/HxJT,则ae(,1).其中正确的结论有(写岀所有正确结论的序号)【考点】分段函数的应用.【分析】利用奇

19、函数的定义进行判断；函数在(-s,-a),(a,+-)上单调递减，在(-a,a)上单调递增，即可判断；f(x，是R上的奇函数，f(x，的图象关于x=0对称，故不正确；取a=1,得岀f(xi)f(x2)=1不恒成立.【解答】解：设xO,f(x)=|x+a|-a,f(-x)=a-|-a-x|=a-|x+a|=-f(x),同理，设x0,则-x0,nn-1nn-1na+a0nn-1a-a=2,nn-1数列a是以1为首项，2为公差的等差数列,na=2n-1n111屯日卄：22n1即bb对neN*恒成立,n+1n即数列叫为单调递减数列，最大值为bt=y,.止即入的最小值为寺19.如图，图为图空间图形的主视

20、图和侧视图，其中侧视图为正方形在图中，设平面BEF与平面ABCD相交于直线L求证：1丄平面CDE；在图中，线段DE上是否存在点M，使得直线MC与平面BEF所成的角的正弦值等于#?若存在,求岀点M的位置；若不存在，请说明理由.图国【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定.【分析】(I)根据主视图和侧视图可得AD丄DE，AD丄DC，故而AD丄平面CDE，根据AD平面BCEF可得ADI，故I丄平面CDE.(II)以以D为原点，以DA，DC，DE为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，设M(0,0，m),求岀平面BEF的法向量7和辰的坐标令|cos|=解岀m，即可判断M的位置.5【解答】证明：(I

21、)由侧视图可知四边形ADEF是正方形，.ADEF,又tEFu面BEF,AD面BEF,.AD面BEF又tADu平面ABCD,面ABCDA面BEF=I,由主视图可知,AD丄CD,由侧视图可知DE丄AD,ADu平面CDE,CDu平面CDE,ADACD=D,AD丄面CDE,I丄面CDE.(II)以D为原点，以DA,DC,DE为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系,则A(1,0,0)、B(1,1,0)、C(0,2,0)、E(0,0,1)、F(1,0,1).设M(0,0,m)(0wmw1),则礼二2,-m),EF=(1,0,0LBF=(Q,-1,1)设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z),则门也F二0,

22、门*13卩=0,fK=0-工、，令z=1,得门二1,1).LiFC=2-m,h：i|=i2,|MCl=.-a+rp.2解得或m=6(舍).当M为DE的靠近E的三等分点时直线MC与平面BEF所成的角的正弦值等于芈.20已知椭圆E:=1(ab0)的离心率为耳，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段ab长为2.(I、求椭圆E的方程；(U)直iy=kx+1与椭圆E交于A,B两点，以AB为直径的圆与y轴正半轴交于点C.是否存在实数k,使得ABC的内切圆的圆心在y轴上？若存在，求岀k的值；若不存在，请说明理由.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(I)由椭圆E：与X-=1(ab0)的离心率为耳，过焦点且垂

23、直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2,求岀a,b,由此能求岀椭圆方程.yb0)的离心率为耳,ab上.a2=2c2,过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的线段长为2,.一=1,.a2=b2+C2,.a2=4,b2=2,且22TOC o 1-5 h z椭圆E的方程为.=1.42(n)依题意知BC丄AC,且乙BCO=乙ACO=45,于是直线BC的斜率k=1,直线AC的斜率k=-1.BCAC设A(x,y),B(x,y),C(0,y),11220设A(x1,y1),B(x2,y2),C(0,y0),则k=1,応二=-1,BC葢2乩監i联立，得x+x=k(x-x),1221联立口，得(1+2k2)x2+4kx-2=0,Ixz+2y=4，将式平方