(整理)第10章弹性力学空间问题

1、精品文档第十章弹性力学空间问题知识点空间柱坐标系空间轴对称问题的基本方程空间球对称问题的基本方程布西内斯科解分布载荷作用区域外的沉陷弹性球体变形分析热应力的弹性力学分析方法坝体热应力质点的运动速度与瞬时应力膨胀波与畸变波柱坐标基本方程球坐标的基本方程位移表示的平衡微分方程乐普位移函数载荷作用区域内的沉陷球体接触压力分析受热厚壁管道弹性应力波及波动方程应力波的相向运动一、内容介绍对于弹性力学空间问题以及一些专门问题，其求解是相当复杂的。本章的主要任务是介绍弹性力学的一些专题问题。通过学习，一方面探讨弹性力学空间问题求解的方法，这对于引导大家今后解决某些复杂的空间问题，将会有所帮助。另一方面，介绍

2、的弹性力学专题均为目前工程上普遍应用的一些基本问题，这些专题的讨论有助于其它课程基本问题的学习，例如土建工程的地基基础沉陷、机械工程的齿轮接触应力等。本章首先介绍空间极坐标和球坐标问题的基本方程。然后讨论布希涅斯克问题，就是半无限空间作用集中力的应力和沉陷。通过布希涅斯克问题的求解，进一步推导半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷、以及弹性接触问题。另一方面，本章将介绍弹性波、热应力等问题的基本概念。二、重点1、空间极坐标和球坐标问题；2、布希涅斯克问题；3、半无限空间作用均匀分布力的应力和沉陷；弹性接触问题；4、弹性波；5、热应力。10.1柱坐标表示的弹性力学基本方程学习思路:对于弹性力学问题

3、，坐标系的选择本身与问题的求解无关。但是，对于某些问题，特别是空间问题，不同的坐标系对于问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。某些坐标系可以使得一些特殊问题的边界条件描述简化。因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。例如对于弹性力学的轴对称或者球对称问题，如果应用直角坐标问题可能得不到解答，而分别采用柱坐标和球坐标求解将更为方便。本节讨论有关空间柱坐标形式的基本方程。特别是关于空间轴对称问题的基本方程。学习要点：1、空间柱坐标系；2、柱坐标基本方程；3、空间轴对称问题的基本方程。1、空间柱坐标系在直角坐标系下，空间任意一点M的位置是用3个坐标（x,y,z）表示的，而在柱坐标系下，

4、空间一点M的位置坐标用（p，申，z）表示。直角坐标与柱坐标的关系为:x=pcos申，y=psin申，z=zu，u，wpqa，c，c，T，T，Tpqpqqp，丫，丫，丫pqpqqp柱坐标下的位移分量为柱坐标下的应力分量为柱坐标下的应变分量为以下讨论柱坐标系的弹性力学基本方程。2、柱坐标基本方程1、平衡微分方程2、几何方程3、物理方程其中3、空间轴对称问题的基本方程对于轴对称问题，即物体的几何形状，边界条件和约束条件等外界因素均对称于某一坐标轴，例如z轴时，则根据变形的对称性，有叫=叫,9忆），二w=w（p.z）根据几何方程，则y#厂y“=o，而根据本构方程，则。其余应变分量和应力分量仅是坐标p,

5、z的函数，而与坐标申无关。因此，基本方程可以简化为1、平衡微分方程2、几何方程3、本构方程吠总点叫）,10.2球坐标表示的弹性力学基本方程学习思路:对于弹性力学问题，坐标系的选择本身与问题的求解无关，但是坐标系的选择与问题的基本方程、特别是边界条件的描述关系密切。因此，坐标系的选取直接影响问题求解的难易程度。对于球体、特别是球对称问题，采用球坐标求解将更为方便。这些问题如果应用直角坐标问题可能得不到解答。本节讨论空间球坐标系的基本方程表达形式。对于空间球对称问题的基本方程表达形式作专门的探讨。学习要点：1、球坐标的基本方程；2、空间球对称问题的基本方程1、球坐标的基本方程在球坐标系下，空间一点

6、M的位置是用3个坐标（R,e,申）表示。直角坐标与球坐标的关系为工二Rsm&cos(py=7?sinsmz=RcosO如果分别采用艮补%、%表示柱坐标下的位移分量；采用砂土砂兀护工宣申和氐丘，為，气丘应必护，心卩分别表示柱坐标下的1、2、3、1or.1歸而55F严询吨汀037?Rd&平衡微分方程-+-+-+(一b)(毗&+3匸朋+F&=037?Rd&RsinO加26跖用3仏13抵，1Scr1_+_+t+3r,+2珀cot0+K二0BRRd&Rsin&d(pR吨duduLidRRRRd&-us.IS話-询几何方程Rsin&3qfcos?a(p-17。0讴_l-y)qalz07-TtlE利用关系式

7、asin申=psin屮，则上式成为相比和公式较，可见最大沉陷是载荷圆边界沉陷的兀/2倍。由公式可以看到，最大沉陷不仅与载荷集度q成正比，而且还与载荷圆的半径成正比。半无限体表面作用分布载荷的应力分量同样可以使用叠加法求解。10.5赫兹接触问题学习思路:1881年，赫兹(hertz,H.R)首先研究了弹性球体的接触问题。本节以弹性球体的接触介绍接触问题的基本概念。由于球体的接触区域对于弹性球体是局部，因此，弹性球体的接触问题可以以半无限平面分布载荷解为基础，分析接触区域的局部变形。这里的问题是球体接触压力是未知函数，因此必须首先根据球体的变形确定未知接触压力。赫兹认为接触区域(半径为a的圆)的压

8、力与接触区域半球面的纵坐标成正比。根据这一假设和球体变形分析，可以确定接触压力分布函数和接触区域。进一步的讨论可以确定球体的接触应力和变形。学习要点：1、弹性球体变形分析；2、球体接触压力分析。1、弹性球体变形分析设弹性球体的半径分别为A1和A2,变形前两球体在O点接触（相切）两个球体在其中心均受集中力F的作用，变形后球体在半径为a的圆形区域接触。接触区域内任意一点与中心的距离为p,并且球体在p的沉陷分别为5，匚2，则其中戸二由于接触区域对于弹性球体是局部，因此p远小球体的半径A1和A2,因此可以采用半无限平面解答分析接触局部变形。对于两球体距离接触面足够远的任意两点A1和A2,由于相互压缩而

9、相互接近的距离为6，相对位移分别为w1和w2,则眄+%=5-pp2如果将球体接触面看作弹性半无限体作用圆形区域分布载荷问题，A1和A2为球体接触面上的点，则位移为其中,E1,V1和E2,v2分别为球体R1,R2的弹性模量和泊松比。则叫+叫冷（耳+耳JJ沁昨二-0/2、球体接触压力分析应该注意的是，这里接触压力q是未知函数，因此，首先必须确定圆形区域的接触分布载荷。赫兹认为接触区域的接触压力与接触区域半球面的纵坐标成正比。根据这一假设和球体变形分析，可以确定接触压力分布函数和接触区域，有q（p、二辻翻_b血+其中q为接触区域中心的压力，psin屮为接触区域内部任意一点与接触区域max中心的距离。

10、如图所示因为s长度mn为。s长度mn中点的压力为q（p），所以因此，A详（2亍4&JJg（）（kd常=因此回代可得圆形接触区域的半径为*疔尺限气I比1亦V4（/?（/?2）/：!Ez最大接触压力为如果E=E=E，片=v2=0.3，则畑ER-历堺耐芒心呂呵R；朕圆形接触区域的半径为=1.11S|ME询卡球体接触为根据上述分析，也可以进一步求解球体的接触应力分布。10.6弹性力学热应力问题学习思路:弹性体由于环境温度的变化而导致膨胀和收缩，并且伴随产生应力，这种由于温度改变出现的应力称为温度应力，或者热应力。对于某些在温度变化环境下工作的工程结构，热应力是不容忽视的。本节将通过简例扼要说明热应力的

11、弹性力学分析方法。对于热应力问题，平衡微分方程和几何方程是相同的，不同的是物理方程。通过受热厚壁管道和坝体热应力分析，介绍热应力问题分析和求解的基本方法。学习要点：1、热应力的弹性力学分析方法；2、受热厚壁管道；3、热弹性势函数和管道热应力；4、楔形体坝体；5、坝体热应力。1、热应力的弹性力学分析方法对于各向同性弹性体，在均匀温度下受热将发生膨胀，如果变形前的三个坐标方向尺寸相同，均为l,变形后各个方向的伸长均为ol,（X称为线膨胀系数。如果温度变化为T，则各个坐标方向的线应变为如果弹性体所处的环境温度是随着时间和空间变化的，称为温度场。在直角坐标系，温度场是时间和坐标的函数，有T=T（x，y

12、，z，t）。如果温度场不随时间变化（据二），称为定常温度场，即热源强度W=0o否则均为非定常温度场。温度场是一种数量场。热量的传递引起温度的变化，也就是温度梯度的变化。如果单位时间、单位面积上传递的热量定义为热流密度，显然热流密度与温度梯度成正比，方向相反。这一规律称为傅立叶定律。以下给出平面热应力问题的基本方程。对于热应力问题，平衡微分方程和几何方程是相同的，不同的是物理方程。平面应力问题，本构方程为平面应变问题，本构关系为于厂乱s）+Q+“x弓=（弓-乱6）+（1+&）丁$二2（1+“）玛面给出受热管道和坝体的热应力分析结果。2、受热厚壁管道对于受热厚壁管道，设管道的内径为a，外径为b。管

13、道内温度增量为Ta,管道外温度增量为0，管道内无热源时管道内热应力为0。由于管道为定常温度场，根据热传导方程可以得到作为轴对称温度场，有密+丄匹二0。积分可得T=Anp-B。dppApTp=-=彩Ta-Tanb根据边界条件|卩书二0，可以得到B-恤ln注意到引入热弹性势函数(p)，使得将(p)代入平衡微分方程，可得求解可得0S)二阻b_lnp+1)inb-Ina其中=-2Gd(2PP注意到上述应力分量在边界p=a和p=b分别等于常数q1和q2，这与命题边界条件不符。对这一问题，可以借助平面轴对称问题的解，叠加可以得到管道热应力4、楔形体坝体对于顶角为2卩的楔形体坝体，坝体内部的热应力是一个重要

14、的工程实际问题。这个问题比较复杂，引起温度变化的原因也是多方面的。这里仅讨论楔形体坝体中心线的温度变化为T0，坝体两侧面温度变化为零的情况。设坝体内部的温度变化为坝体问题属于平面应变问题，但是为了使得问题简化，先按照平面应力问题分析。对于弹性力学平面应力问题的位移解法，热弹性势函数满足V2=(l+i/)ffT取热弹性势函数叫如，代入上式，可得3钦+4一(1+討)血沖T1-cos5所以3(1-cos/?)4(1-cos/7)回代可得90二Q：以弩*05诃_扫询1-cosp34根据上述热弹性势函数，可以得到应力分量的特解77=（|cos3-）b；二局（|cos炉爲）其中5、坝体热应力上述应力分量特

15、解在边界的值为为了消除与原命题不符的上述应力场，类似地叠加一个相反的应力场。为此考虑应力函数03用）=pf（p）因为为双调和函数，所以（/?,诃）=p（/cos2一Esin2诃+C诃+D）根据平面问题的极坐标解，可以求解应力场外，叠加可以得到楔形体坝体的热应力计算公式-(sin(pcos5cos炉+cos2“)-俎(cos炉-cos3)26焉一七sin(cosj-cos/?)根据上述应力表达式，最大拉应力在坝体边界，有=用=厂話0710.7弹性波初等理论学习思路:变形物体受突加载荷作用后，将产生变形。这种变形和与之伴随而生的应力并不能立即传递到物体的其它部分。在开始时刻，物体的变形仅仅在加载区

16、域的临近区域产生，而这个邻域以外的部分则仍处于未扰动状态。其后，物体的变形和应力便以波的形式向远处传播。由于载荷作用时间与波的传播过程相比要短的多，因此，物体运动方式主要表现为波的传播。根据介质的物理性质，边界条件和载荷的作用方式，波的传播过程将呈现各种不同的特性。本节主要介绍弹性波的基本理论，主要介绍概念为：1、讨论弹性波和波动方程。这个问题通过半无限长弹性杆件说明，因此不存在波的反射问题的；2、根据波动方程分析质点的运动速度与瞬时应力的关系；3、讨论弹性波的相向运动。由于有限长杆件的弹性波问题必然存在波的反射；4、介绍部分常见弹性应力波。弹性波问题是一个相当复杂的问题。根据扰动源、介质性质

17、和物体形态的不同，将使得问题出现各种复杂，但是有趣的现象。此外还有其它形式传播的弹性波，非弹性波。这些弹性波问题对应一定的工程技术应用问题。本节介绍的仅仅是弹性波理论的初等理论。学习要点：1、弹性应力波及波动方程；2、质点的运动速度与瞬时应力；3、应力波的相向运动；4、膨胀波与畸变波。1、弹性应力波及波动方程首先以半无限长弹性细杆为例研究弹性应力波在杆内向远处传播的规律。设材料的弹性模量为E,密度为p。设杆件所受载荷比较小，使得杆端应力0r1/+ro-rJ/z0-107J7Gf的杆件内，没有受到扰动。在扰动段内声=%。因此，杆件端部的总位移为G怯二CV%。在这个时间内，杆件端部的位移同时应该为

18、vt，令二者相等，则可以得到质点的运动速度v与瞬时应力的关系。3、应力波的相向运动对于有限长杆件，干扰作用的弹性应力波将在杆件端部产生反射，因此需要考虑两个相向运动的应力波的作用。假如两个相向运动的应力波的应力分别为q和电，符号相同。由于弹性波的控制方程是线性的，所以当两个波相遇时，其重叠部分的应力和速度可以使用叠加法计算。但是应该注意，这里是代数值叠加，应该注意符号。对于相同符号的应力波相遇之后，在波形重合部分的应力为两应力波应力之和，符号不变，而速度则为二者之差，符号与二者中绝对值最大的相同。两弹性波分离后，则各自按照原来的波形传播。如果两个相向运动的应力波应力符号相反，则两波相遇之后，其波形重合部分的应力为两应力波应力之差，符号与二者中绝对值最大的相同，而速度则为二者之和。两弹性波分离后，仍然各自按照原来的波形传播。显然，如果两个应力值相等，波的长度相同，但应力符号相同的波相遇之后，应力加倍，而质点速度相互抵消。即波重叠部分的应力加倍，而质点