考研数学易混淆概念分析之高等数学二cn

1、数学易概念分析之高等数学（二）数学当中的高等数学有很多容易的概念知识点，数学辅导专家们根据多年的辅导经验，在此将为广大考生们罗列出这些容易知识点以供大家参考复习。下面，讲解的是函数与其导函数之间的函数特性。导数与微分这一章是整个高数的基础，而数学又是非常强调基础阶段的学习的，所以学生在学习这一部分内容的时候，一定要把它吃透，特别是一些易的概念。下面我给大家分析一下函数与其导函数之间的函数特性有界性、周期性、单调性、奇偶性有界性：有界函数的导函数未必有界.1例 1： y x 在区间(0) 内为有界函数，但是因为3f 0) ，所以 f x)( 在区间(0 ) 内为函数.从上例可以看出有界函数的导数

2、是未必有界的。导函数有界，函数也未必有界如果导函数有界，原函数是否一定有界呢，也是否定的，即如果导函数有界，原函数也未必有界，例如 .注：在加强条件下逆命题能够成立如下例：例 2：如果导函数 f x)( 在区间上( a, b ) 有界，则 f x)( 在( a, b ) 上有界.证明：设 f (x) M(M 0) ，任取定点 x0 ( a, b) ，f (x， f (x limxx0其中 0(xx0 )，f (f (x) f (x0 ) x0) ，即| f (x) f (x0 ) | ( M| |) | x x0 |从而，| | M1 ，由于无穷小量为有界量，故存在 M1 0 ，使得又由于|

3、x x0| b a ，所以，| f (x)| | f (x) f (x0 ) | | f (x0 ) | (M M1) (ba) | f (x0)| ，上式表明 f x 在( a, b ) 上有界. 周期性周期函数 f x)( 的导函数 f (x) 仍为周期函数因为若fx() 是以 T 为周期的可导函数，则由于f (x T ) f (x) .f x() 为可导函数，从而对任意的 x ，总有x T () x f (x) (x T ) fff (fx) ， 这表明limlimxxxf x() 也是以T 为周期的函数.f (导函数为周期函数，fx)( 未必是周期函数.不是周期函数，但 f cos 1

4、却是周期函数.例 3： f (si从本例可知导函数是周期函数，但原函数不是周期函数。单调性单调函数的导数未必是单调函数.3 在区间( 内是单调函数，其导数 y 3 x2 ，在( 例 4： 内并不是单调函数单调函数的原函数未必是单调函数f即若导函数 f ( x) 为单调函数，函数 f x 也未必是单调函数，例如2 在f ( 内不是单调函数，但，在( 内单调递增.奇(偶)函数的导函数是偶(奇)函数.f (例 5：因为若 f x 为在(a, a) 内可导的奇函数，则有x) ，且对任意的 a) ，总有) f (x)f (lim f ( x x) f (x) f (x)(x)x所以，奇函数的导数为偶函数；同理可证，偶函数的导数为奇函数.反过来，导函数是偶函数时，其原函数自身未必具有奇、偶性.例 6：f (x) cos x 是偶函数，其原函数 f (x) sin x 1并不具有奇偶性.但是，如果导函数是奇函数时，其原函数自身必是偶函数总之，函数的周期性可延续到其导数上，函数的奇偶性可对