简单应力状态下的弹塑性力学问题PPT

1、第一章 简单应力状态下的 弹塑性力学问题 1.1 引言 1.2 材料在简单拉压时的实验结果 1.3 应力-应变关系 简化模型 1.4 轴向拉伸时的塑性失稳1.5 简单桁架的弹塑性分析1.6 强化效应的影响1.7 几何非线性的影响1.8 弹性极限曲线1.9 加载路径的影响1.10 极限载荷曲线（面）1.11 安定问题1.1 引言一、变形弹性变形：物质微元的应力和应变之间具有单一的 对应关系 非弹性变形：应力和应变之间不具有单一的对应关系 非弹性变形塑性变形粘性变形（是指物体在除去外力后所残留下 的永久变形）（随时间而改变，如蠕变、应力松 弛等）二、塑性与脆性如果变形很小就破坏，便称是脆性如果经受

2、了很大的变形才破坏，材料具有较好的韧性或延性，这时材料的塑性变形能力较强，便称是塑性。在这种情况下，物体从开始出现永久变形到最终破坏之间仍具有承载能力。采用弹性理论分析采用塑性力学分析研究在哪些条件下可以允许结构中某些部位的应力超过弹性极限的范围，以充分发挥材料的强度潜力 研究物体在不可避免地产生某些塑性变形后，对承载能力和（或）抵抗变形能力的影响 研究好何利用材料的塑性性质以达到加工成形的目的 三、塑性力学目的 塑性力学是连续介质力学的一个分支，故研究时仍采用连续介质力学中的假设和基本方法。 四、塑性力学的方法基本方程: 几何关系 守恒定律 本构方程1.2 材料在简单拉压时的实验结果材料：金

3、属多晶材料受力：单向拉伸或压缩实验(名义)应力：=P/A0(名义)应变：=（-0）/0 一、实验描述二、实验曲线线弹性阶段 非线性弹性阶段屈服阶段强化阶段颈缩阶段实验曲线加载过程实验曲线卸载过程弹性阶段：卸载沿原路返回塑性阶段：卸载沿直线返回，斜率与弹性 阶段相同应变强化：三、两种现象包氏效应：实验曲线反向加载：单晶体，其压缩时的屈服应力也有相似的提高(图2（a）中的M点)多晶体，其压缩屈服应力（M点）一般要低于一开始就反向加载时的屈服应力（A点）。这种由于拉伸时强化影响到压缩时弱化的现象称为包氏效应（Bauschinger effect）。材料经过塑性变形得到强化图2（a）1、在材料的弹塑性

4、变形过程中，应力与应变之间已不再 具有单一的对应关系。四、实验总结加载路径与之间的关系依赖于加载路径内变量宏观参量，用来刻画加载历史例如，作为最简单的近似，可以取内变量为塑性应变p，而将简单受拉（压）时的应力应变关系写为 =/E+p （1）其中E为杨氏模量上式表明，当P（内变量）一定时，与之间有单一的对应关系。2. 与之间的线性关系 =/E+p （1）式是有适用范围的。对于固定的内变量P，或并不能随意取值。例如，对处于图2（a）中的M点，当加载时即应力（或应变）继续增长时，应力应变曲线将沿AMM1方向延伸，公当卸载时即应力（或应变）减小时应力应变曲线才以（1）式的规律沿MN向下降。为了区分以上

5、这种加载和卸载所具有的不同规律，就必须给出相应的加卸载准则。图2（a）五、影响材料性质的其它几个因素1、温度 当温度上升时，材料的屈服应力将会 降低而塑性变形的能力则有所提高。 3静水压力 当静水压力不太大时，材料体积的变化服从弹性规律而不产生永久的塑性体积改变。2、应变速率 如果实验时将加载速度提高几个数量级，则屈服应力也会相应地提高，但材料的塑性应变形能力会有所下降。当材料有较大的塑性变形时（弹性变形相对地很小）， 可近似地认为体积是不可压的。静水压力对屈服应力的影响也是不大的。 1.3 应力-应变关系关系的简化模型 类似地，上式也可用应变表示为：1理想弹塑性模型适用：强化率较低的材料，在

6、应变不太大时可忽略强化效应2线性强化弹塑性模型类似地，上式也可用应变表示为：适用：材料的强化率较高且在一定范围内变化不大（假定拉伸和压缩时屈服应力的绝对值和强化模量都相同）表示图5（a）中的 线段比 3一般加载规律对于一般的单向拉伸曲线，在不卸载时应力应变关系：注：这种模型在 =0处的斜率为无穷大，近似性较差，但在数学上比较容易处理。 （8）4幂次强化模型（其中B0，0m1）其加载规律可写为： （9）如取 就有 说明：这对应于割线余率为0.7E的应力和应变，上式中有三个参数可用来刻画实际材料的拉伸特性，而在数学表达式上也较为简单。 5Ramberg-Osgood模型等向强化模型6. 等向强化模

7、型及随动强化模型例如：可取适用：拉伸时的屈服应力和压缩时的屈服应力始终是相等的。 是刻画塑性变形历史的参数图2（a）或该模型不论拉伸还是压缩都使屈服应力提高，对应图2（a）中的 和 。随动强化模型 上式在线性强化情形下也可写为 （ 是塑性应变 的单调递增函数）适用：考虑包氏效应，认为拉伸屈服应力和压缩屈服应力的代数 值之差，即弹性响应的范围始终是不变的。是一个常数 （）图2（a）该模型对应图2（a）中的 和 。1.4 轴向拉伸时的塑性失稳一、拉伸失稳的概念1、拉伸失稳：注意：拉伸试件在出现颈缩后，试件局部区域的截面积会有 明显减少，再用名义应力和应变来描述此时的材料特 性是不适当的（见图2）在

8、最高点以后，增加应变时应力反而下降，在通常意义下称试件是不稳定的。图2（a）2、真应力3、对数应变4、截面积收缩比q=（A0-A）/A0假定材料是不可压缩的：A0l0=Al，并认为名义应力达到最高点C时出现颈缩： 二、真应力则在颈缩时真应力应满足条件拉伸失稳分界点的斜率正好和该点的纵坐标值相等。 由结论：1注意到颈缩时的条件也可写为：即 拉伸失稳点 的斜率为其纵坐标值除以 结论：23以截面积收缩比q为自变量则由颈缩时的条件拉伸失稳时真应力所满足的条件:随着材料的变形，微裂纹和（或）孔洞的生成及汇合也将会造成材料的弱化而导致失稳。称之为应变弱化。三、材料本身的失稳现象例如，在低碳钢拉伸实验中由上

9、屈服应力突然下降到下屈服应力的现象，它与材料变形的内部微观机制的变化有关。在许多问题（如拉伸失稳等）中，以上两种现象往往是耦合的 1.5 简单桁架的弹塑性分析 一、问题的提出以图示的一次静不定三杆桁架为例进行弹塑性分析。图中三根杆的截面积均为A，中间第二杆的杆长为 ，它与相邻的第一杆和第三杆的夹角均为=450，在其交汇点O处作用水平力Q和垂直向下的力P ，O点将产生水平位移 和垂直位移 。二、问题的解答已知：解：如定义第 根杆的名义应力为 ,名义应变为 ,则有如下平衡方程和几何关系和协调条件为了得到问题的解，还必须补充本构方程 。我们假定材料是理想弹塑性。(1) Q=0时的弹性解和弹塑性解由弹

10、性解:由1、应力 为屈服应力为垂直方向上的弹性极限载荷2、位移（14）（17）由（14）、（17）和（18），得垂直向下位移载荷-位移曲线则当P由零增至Pe时，在图9的坐标中为区间0，1上斜率等于1的直线段OA。若令弹塑性解:当P由零逐渐增大到Pe时，第2杆的应力也逐渐增大而达到屈服状态： 如果P的值再继续增加，则（17）式已不再适用，相应的本构方程应改写为由应力应变 说明：（1） 这时的第2杆虽然已经屈服而失去了进一步的承载能力，但由于它还受到第1杆和第3杆弹性变形的制约，其塑性变形不能任意增和，这种状态称为约束塑性变形。 （2） 直到P值逐渐增大到使 时，三根杆将全部进入屈服阶段，变形已不

11、再受任何约束，结构才完全丧失进一步的承载能力。这时的载荷P为称为塑性极限载荷由和位移当P=PS时，或注：（24）式对应于图9中在区间1，2上斜率为 的直线段AB当考虑塑性变形时，结构的变形要比纯弹性变形为大，但仍属同一数量级，而相应的承载能力将会有相当的提高。结论 (2) 卸载现将P的值加载到处于PePPs范围内的某一值P*，然后再卸载使P的改变量PPe时，有将上式与（15）式和（16）式联立，可解得（3）当P增至使 时，第1杆和第3杆也开始屈服。此时的载荷值为1、如取E/E=1/10，则P1=1.04Ps。与理想弹塑性材料相比，相应的载荷值并没有很大的增加。这说明采用理想弹塑性模型可得到较好

12、的近似，而计算却有相当的简化。 说明：2、当P小于P1时，结构的变形仍属于弹性变形的量级，而当P超过P1后继续增加时，由于强化效应，结构并不会进入塑性流动状态，但这时的变形将会有较快的增长。1.7 几何非线性的影响一、问题的提出求解基本方程：是在小变形的假设下建立的当杆件的塑性变形很大时，结构几何尺寸的改变将会产生显著的影响。这时应采用真应力和对数应变来进行讨论。二、问题的解答仍考虑Q=0的情形，假定材料是刚塑性线性强化的：而且满足不可压条件：令则由几何分析于是在变形后的结构上建立的平衡方程为：其中为变形后第2杆与第1杆（和第3杆）之间的夹角可见（33）式中有三个未知量在不卸载的情况下，由本构

13、方程：得到 与 之间的非线性关系结论：随着 的增长， 的值将会由于强化效应和 角的减小而提高，但也会随着杆件截面积的收缩而下降。故当 很大时，结构将可能变成不稳定的。1.8 弹性极限曲线本节我们将考虑前述桁架同时受垂直载荷P和水平载荷Q作用的情形。如果桁架中的三根杆件都处于弹性阶段，则由（13）(14）15）和（17）各式，平衡方程几何方程协调条件本构方程其中 ，表示只作用水平力时的弹性极限载荷。可求得杆中应力为（35）式成立的条件为这相当于对P和Q的限制条件：上式对应于图12中实线六边形区域，其中等号则对应于该六边形的边界，称为弹性极限曲线，表示至少有一根杆件已达到屈服状态。如果作用于结构上

14、的载荷先是超出了弹性极限曲线，然后又完全卸回到零，那么结构中将存在残余应力。由于残余应力与零外载相平衡，故可写成（27）式的形式：其中 是一个可以变化的参数，其值可由（28）式来表示。在存在残余应力的情况下，如果再重新对结构施加载荷而未能再次屈服，那么结构中的应力值就应该是以上的残余应力与（35）式的叠加。不产生新的塑性变形的限制条件：其中 值满足（37）式对应于图12中虚线所构成的六边形区域。说明：可见在加载方向一侧屈服载荷有所提高而与加载方向相反的一侧屈服载荷有所降低。可用来对应变硬化和包氏效应等现象做一个比较形象的解释。1.9 加载路径的影响塑性力学的特点之一就是解对加载路径的依赖性。例

15、计算上述的理想弹塑性三杆桁架在不同加载路径下O点的最终水平位移和垂直位移。第一种路径（图13（a)中的路径1）当 时 第一种路径：（Q，P）先由（0，0）线性地变化为（0，PS），再在垂直位移保持不变的条件下增加Q使达到Qe如保持y=2e不变而施加水平方向的载荷Q，使点O有一个水平方向的位移增量 ，则由几何关系（14）式：可知第1杆和第2杆并未卸载而第3杆以弹性规律卸载于是，由（13）式可求得载荷增量为：即Q与P之间的变化规律是线性的当第3杆卸载到3=-s时由3=-2s得此时三杆同时屈服，即结构再次进入塑性流动状态。三杆的应力为：水平位移x可由（38）式求得，垂直位移y始终不变。因此：第二种路

16、径：（Q，P）由（0，0）作单调的比例如载而达到（ ）第二种路径（图13（a）中的路径）由于加载时始终有关系 式，故将其代入（35）式可得初始弹性阶段的解为：，表明随着P的增长，第1杆最先达到屈服。当各杆的应力此时O点的位移值为 如继续加载，则第1杆进入屈服阶段，即由和（13）式的增量形式表明第2杆继续受拉，第3杆继续受压。各杆的应力由（41）式和（43）式计算当 三杆同时进入塑性状态，即 利用（43）式和（14）式的增量形式便可求出对应于 时的位移增量：最终位移则是上式和（42）式的叠加：结论：可知在两种加载路径下虽然可得到相同的应力值，但各杆的应变和O点最终位移值却是不同的。1.10极限载

17、荷曲线（面）一、概念两个不等式同时取等号时，（P，Q）的值将处于虚线六边形的顶点。1、塑性极限载荷此时结构变为一个能产生塑性流动的机构而丧失了进一步承载的能力。相应的载荷就是塑性极限载荷。2、极限载荷曲线随着*的改变，这个极限载荷在（Q，P）平面上的轨迹将形成一条曲线，称为极限载荷曲线（在多维载荷空间中则称为极限载荷曲面）。特点：与弹性极限曲线不同，极限载荷曲线是 结构的固有属性，它不依赖于加载历史。作法：1、求得（Q，P）平面在第一象限内的极限载荷曲线；2、根据Q和P的四种组合和拉、压屈服应力相等的假设， 由对称性条件来获得整个平面上的饿极限载荷曲线。（Q，P）平面在第一象限内的极限载荷曲线可由以下方法求得：设加载是按比例 增至极限载荷的很大时，第1杆和第2杆先达到拉伸屈服故由（13）式得其中这对应于图a中的线段FG。 1、2、当 很小时，第1杆达到拉伸屈服而第3杆达到压缩屈服：故由（13）式得其中这对应于图a中的线段GH 此时三杆同时进入屈