最新近世代数讲义(电子教案)-(1)

1、精品文档精品文档近世代数课程教案第一章基本概念教学目的与教学要求：掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念； 掌握映射的定义及应注意的几点问题， 象，原象的定义；理解映射的相同的定义； 掌握代数运算的应用；掌握代数运算的一般结合运算，理解几个元素作代数运算 的特点；理解代数运算的结合律；掌握并能应用分配律与结合律的综合应用；掌 握满射，单射，一一映射及逆映射的定义。理解满射，单射，一一映射及逆映射 的定义；掌握同态映射、同态满射的定义及应用；掌握同构映射与自同构的定义； 掌握等价关系的定义，理解模 n的剩余类。教学重点：映射的定义及象与原象的定义，映射相同的定义；代数运算的应用， 对代

2、数运算的理解；代数运算的结合律；对定理的理解与证明；同态映射，同态 映射的定义；同构映射的定义以及在比较集合时的效果；等价关系，模 n的剩余 类。教学难点：元素与集合的关系（属于），集合与集合的关系（包含）；映射定义， 应用该定义应注意几点；代数运算符号与映射合成运算符号的区别； 结合率的推 广及满足结合律的代数运算的定义；两种分配律与的结合律的综合应用；满射, 单射，一一映射及逆映射的定义；同态映射在比较两个集合时的结果； 模n的剩 余类。教学措施：网络远程。教学时数：8学时。教学过程： 1集合定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个 集合（简称集）。集 合中的每个事物叫做这个集

3、合的 元素（简称元）。定义：一个没有元素的集合叫做 空集，记为，且 是任一集合的子集。（1）集合的要素：确定性、相异性、无序性。（2）集合表示：习惯上用大写拉丁字母 A, B, C表示集合，习惯上用小写拉丁字母a, b, c表示集合中的元素。若a是集合A中的元素，则记为a A,否则记为a A表示集合通常有三种方法：1、枚举法（列举法）：例：A 1, 2, 3, 4, B= 1, 2, 3,，100。2、描述法：A x p（x） , p（x）一元素x具有的性质。例：A a a Z且1 a 4 。显然例6中的A就是例5的A。3、绘图法：用文氏图（Venn Diagram ）可形象地表现出集合的特征

4、及集合之问的关系。(3)集合的蕴含(包含)定义：若集B中每个元素都属于集A,则称B是A的子集，记为B A,否则说 B是A的子集，记为B A.定义：设B A,且存在a A但a B,那么称B是A的真子集，否则称B不是A的真子集。定义：若集合A和B含有完全一样的元素，那么称 A与B相等，记为A=B.结论：显然，A BA B且B A.(4)集合的运算集合的并：A B xx A或x B集合的交：A B xx A且x B集合的差：A B xx A且x B集合在全集内的补：A xx E且x A集合的布尔和(对称差)：A B xx A或x B但 x A B (A B) (B A) (A B) (A B)集合的

5、卡氏积：A B (a,b) a A且b B注：A B中的元素可看成由A和B坐标轴所张成的平面上的点 卡氏积的推广：令Ai,A2, ,Am是m个集合，那么由它们做成的卡氏积为：AAiA2i 1(ai,a2, ,am)aiA,i 1,2, ,m对上述集合运算，可以得到一批基本公式: A B B A; A (2)A (B C) (A A (B C) (A (4)A A; A E A E E; A (6)吸收律：A (AB B A.B) C; A (B C)B) (A C); A (BA; A A E; A A ;A A A; A AA; A (A B)(A B) C(A B) (A C) .AA例题

6、：例 1A=1.2.3 B=2.5.6A=1.2.3 B=4.5.6那么 AH B=2那么An b4集合.例 2 A=1.2.3 B=2.4.6A=1.2.3 B=4.5.6那么 AU B=1.2.3.4.6那么 AU B=1.2.3.4.5.6 2映射定义：设是集合A到B的一个对应法则：对于任何一个 A1 A2 L An的元（ai a? L an）（ai A ）,都能够得到一个唯一的D的元d,那么这个法则叫做集合A A? L An到集合D的一个映射。其中，元d是（ai a? L an）在映射 的象，a是b在 下的逆象。例1: A1=A2=.=An=D=所有实数作成的集合.小：(ai,a2,a

7、 a i2+a22+an2=小(ai,a2,a n)是个AiXA2X-X An 到 D的映射.例 2 : A=东,西,A2=南, D=高，低口:（西，南）一高二小i （西，南）不是一个AiXA到D的映射.小2：（西，南）一高，（东，南）一低，则小2是一个AiXA到D的映射.例3: Ai=D=ff有实数所成的集合.小：a-a 若 a w ii - b 这里 b2=i不是一个Ai到D的映射.例4: Ai=D=ff有实数所成的集合.小：a-a-i不是一个Ai到D的映射.定义：我们说，Ai A L An到集合D的两个映射小i与小2是相同的，假如对任何个兀（aa2Lan）来说, （） i（aia2L a

8、n）=（J）2（aia2Lan）o例5: A=D=f有正整数的集合.小 i： a-1 =（|）i （a）小2： a a=小2 （a）则小i与小2是相同的. 3代数运算设给定A AAm到D的映射f : Ai A2AmD ,如果n=2时，f就叫做代数运算。一般地有定义：任一个A B到D的映射都叫做A B到D的一个代数运算例1： A=所有整数, B=所有不等于零的整数。D=所有有理数0: (a.b)-=a b是一个AXB至U D的代数运算，即普通的除法.b例2:令V是数域F上一个向量空间，那么F的数与V的向量空间的乘法是一个 FXV到V的代数运算.例 3: A=1,B=2,D=奇，偶0: (1.2)

9、 一奇二1 2 是一个AXB至ij D的代数运算.例 4 A=1.2,B=1.2,D=奇，偶0: (1.1) 一奇 (2.2) 一奇 (1.2) 一奇 (2.1) 一偶是一个AXB到D的代数运算.代数运算表：当A,B都是有限集时，那么A B到D的每一个代数运算都可以用 运算表表示。bm设 A 81,82, , an , B &, ,bm ,则运算表为：b1 b282a2 b1 a2 b2 a2bman b1 anb2anbm注：对于代数运算B AD的运算表，要求A与B中元素在上表中的位置互换。在实际工作中，更多的是A B D的情形，这时，有如下定义:定义：若 是A A到A的代数运算，则可称是

10、A 的 代数运算 或二元运算 。 4 结合律例题:A=所有整数,代数运算是普通减法那么(a-b) -c wa-(b-c) 除非 c=0.定义：设 是集合A的一个代数运算，如果 a,b,c A都有(a b) c a (b c), 则称 满足 结合律 。定义：设A中的代数运算为，任取n(n 2)个元素ai,a2,且口，如果所有加括号的步骤最后算出的结果是一样的，那么这个结果就用ai a2an来表示。定理 ：如果 A 的代数运算 满足结合律，那么对于 A 的任意 n(n 2) 个元素ai,a2, ,an来说，所有加括号的步骤运算的结果总是唯一的，因此，这一唯一的结果就可用ai a2an来表示。 论证

11、思路 ?因n是有限数，所以加括号的步骤必是有限的。?任取一种加括号的步骤(ai a2an) ，往证：(ai a2an) ai (a2an)对 n 用数学归纳法。 (ai a2 an) bi b2 bi和b2分别是i和n i个元素经加括号而运算的结果 i n i,n i n i ，由归纳假设释之 .5 交换律 定义： 设 是集合 A 的一个代数运算， 如果 a, b A 都有 a b b a ， 则称 满足交换律 。定理： 设 A 的代数运算 同时满足结合律和交换律，那么ai a2an 中的元的次序可以任意掉换。 论证思路 ? 采用数学归纳法，归纳假设n 1 时命题成立 .?对 n 的情形，任掉

12、换ai 的位置，使之成为ai1 ai2ain .注意ii/2, ,in是1,2, ,n的一个排列.令ik n .用结合律和归纳法假设证明之. 6 分配律代数运算与 的第一分配律和第二分配律的定义，以及 的结合律与这两种分配律的综合运用定义： 设 A, B 都是集合，而 是 B AA 的代数运算，而是 A 的代数运算，如果b B,耳鼻 A,都有b (a1 a2) (b a1) (b a2)那么称 , 适合 第一分配律。例 . 假如 B 与 A 都是全体实数的集合， 和 就是普通的乘法和加法，则b (a ia2)=(bai)(ba2)就变为b(a 1+a2)=(ba 1)+(ba 2)定理 1：

13、设 A, B 和 , 如上，如果 满足结合律，且, 满足第一分配律，那么b B, a1 ,a2, an A ，都有b(a1a2an) (b a1) (b a2)(ban) 论证思路 采用数学归纳法，归纳假设n 1 时命题成立。先后利用：结合律 n 2 的归纳假设 n 1 的归纳假设直至完成证明。定 义 ： 设 A,B 和 , 同 上 ， 若 b B, a1,a2 A ， 若 有(a1 a2) b (a1 b) (a2 b) ，那么称, 满足 第二分配律.定理 2： 设 A, B 和 , 同上，若适合结合律，而, 适合第二分配律。那么b B, ai,a2, anA,都有(aan) b(a1b)

14、(an b)。 7 一一映射、变换在第 i 讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射 作重点的讨论。例 1: A=1, 2, 3, 4, 5 A=2, 4, 6, 8则小：1 2, 24, 3 6, 4 2, 5 2。是一一个A到人的映射.例 2: A=1, 2, 3,A=奇，偶则小：1, 3, 5, 奇，2, 4, 6 偶 是一个A到A的映射.定义：若是在一个集合A到A的映射 下，A的每一个元都至少是A中某一个元的象，那么叫做一个A到A的满射。定义：一个A到A的映射，:aa叫做一个A到A单射，假如a b a b。定义：设 是集合A到A的映射，且 既是单的又是满的，则称是一个

15、一一映射（双射）。例 3: Z 1,2,3,L 2Z 2,4,6, L,其中（n） 2n, n Z ,可知 显然是一个双射。注意：Z与偶数集2Z之间存在双射，这表明：Z与它的一个真子集2Z一样“大”。 思考题：从例1中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大”。这是否可作 为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论： A为无限集的充要条件是A与 其某个真子集之间存在双射。定理：一个A到A的一一映射 带来一个通常用1表示的,到A间的一一映射。证明：由于 是A到A的双射，那么就A中任一个元素台,它在A中都有逆象a,并且这个逆象a是唯一的。利用 的这一特点，则可确定由A到A的映射1：:A A, a

16、A, （a） a ,如果（a） a ,由上述说明，易知 是映 射。1是满射：a a,因 是映射 a A,使（a） a,再由1的定义知1（a）a,这恰说明，a是a在1下的逆象。由a的任意性，知 1是满射。1是单射：a1，a? A,若a a2由 是满射 a1及a2的逆象分别是a1及a2，即 1(a1) a1,1（a；）a2,又是单射a a2 ，这说明1（了）1（a；）,所以1是单射。综合上述讨论知:1是A到A的一个双射。结论：设：A A是映射，那么:（1） 是双射可唯一的确定一个逆映射 1 : A A ,使得:1是双射; TOC o 1-5 h z 111A，1a；也是1的逆映射，且（1） 1;（

17、2） 是双射 A与A同时是有限集或同时是无限集。定义：一个A到A的映射叫做A的一个变换。一个A到A的 变换，满射变换）映射（单射，满射）时，也称为 A的一个变换（单射例4:A=所有实数Xex是A的一个单射变换.例5:A=所有整数a a假如a是偶数2曳假如a是奇数2是A的一个满射变换.例6:T 1 :T 2：A=1112, 331都是A的变换. 8同态定义：一个A到A的映射叫做一个对于代数运算Q和o来说的,A到A的同态映射，假如，在 之下，不管a和b是A的那两个元，只要a a,b b就有a ob aob 。例1:(|)：a 1 (a是A的任一兀)是-一个A到A的同态映射，小i是一个A到其 的映射

18、，显然对于的任意两个整数 a和b来说，有a 1, b 1,a+b1=1X1例2 ：小2 ： a 1若a是偶数a -1若a是奇数小2是一个A到A的满射的同态映射例3:小3： a -1(a是A的任一元)固然是一个A到入的映射，但不是同态 映射定义：假如对于彳t数运算o,和o来说，有一个A到A的满射的同态映射存在，则 称这个映射是一个是同态满射。在近世代数中，同态满射是尤其重要的。定理1:假设对于代数运算 和一来说，A与A同态，那么I)若 适合结合律，一也适合结合律H)若 适合交换律，一也适合交换律。证明：(1)任取a,b,c A,因 是满射 a,b,c A,使 a, (b) b,又因为 A中 的满

19、足结合律a (b c) (a b) c即(a (b c)(a b) c),但是 是同态映射。(a (b c)(a) (b c)(a) (b) (c) a (b c)(a b) c)(a b) (c) (a) (b) (c) (a b) c所以 a (b c) (a b) c同理可以证明(2)定理2:假定，都是集合A的代数运算，一，一都是集合A的代数运算，并且存在一个A到A的满射小，使得A与周对于代数运算,一来说同态。对于代数运算，一来说也是同态，那么I)若，适合第一分配律，一，一也适合第一分配律H )若，适合第一交换律，也适合第一交换律证明：(1) a,b,c A,因 是满射 a,b,c A,

20、使(a) a, (b) b, (c) c.又因为是关于，及一,一的同态映射a (b c) (a) (b)(c) a (b c)(a b) (a c)(a b) (a c) (a)(b) (a)(c) (a b) (a c)即 a (b c) (a b) (a c).同理可证明(2)。 9同构、自同构定义：一个A到A的一一映射是一个对于代数运算Q和0来说的，A到人的同构映射，假如，在 之下，不管a和b是A的那两个元，只要a a,b b就有 a ob aob。假如在一个A与A之间，对于代数运算o,和o来说，存在一个A到人的同构 映射，则称对于代数运算Q和o来说，A与人同构，记为A Ao各是A与A的

21、代数运算 与 的表，那么14, 2 5, 3 6,是一个A与A之间的同构映射。定义：对于代数运算 井口o来说的一个A到A的一个同构映射叫做 A的一个对于o 来说的A的自同构。例2: A=1, 2, 3代数运算由下表给定：,3 3是一个对于 来说的A的自同构。 10等价关系与集合的分类定义：设A为集合，D 对，错，那么一个A A到D的映射R就叫做A的一 个关系.(也称为二兀关系)若R: (a,b) 对，就称a与b符合关系R ,记为aRb若R: (a,b) 错，就称a与b不符合关系R,记为aRb由上述定义知，A中任一对元a,b,都可以判定a与b是否符合这个关系。例1: A=所有实数R:(a,b)对

22、，若是b-a是正的(a,b)错，若是b-a不是正的是A的元间的一个关系。定义：设是集合A的元间的一个关系叫做一个 等价关系，如果满足以下规律：(1)反射律(反身性)：a, A,aa(2) 对称律(对称性)：a,b A,当ab时必有ba ；(3)推移律(传递性)：a,b,c A,当ab且bc时，必有ac。当ab时，习惯称a与b等价。定义：若把一个集合A分成若干个叫做类的子集，使得A的每一个元属于而且只属于一个类，那么这些类的全体叫做集合A的一个分类。定理1:集合A的每个分类都决定了 A的元间的一个等价关系。证明：设 A Ai I是A的一个分类，用我们可以规定A上的一个二元关系：ab a与b在同一

23、类里，显然是 A的一个关系，须证是等价关系。(1)反身性： a A,则有i I使a %故a与a同在A中aa。对称性：a,b A,若ab,则有iI,使a与b同在A中，当然b与a在A中ba.(3)传递性：a,b,c A,若ab, bc,故存在i,j I,使a与b同在A中,b与c同在Ajb AiAj,由分类的特性知 Ai Aj a与c同在Ai, ac。定理2:集合A的一个等价关系决定 A的一个分类。证明：a A,令a x Axa,如此确定的这些子集具有:a :由 a a a a；(2) a b,当a与b不等价时：若x a bxa, xb, 由的对称性和传递性知ab,推出矛盾，所以a bA a ： a

24、 A a aa。a Aa A a a丹是A的一个分类。一、/汪忠：a b a bxa,由传递性xb, x b ab,又b a b aba,a ba a b a b a b(2)若a ba b由传递性推出ab再因为设x a b x a即xa,又x b即xb,由(1)知a b0定义：假定我们有一个集合的分类，那么，一个类里的任何一个元叫做这个类的 一个代表。刚好由每一类的一个代表组成的集合叫做一个 全体代表团。注：由于b a,那么ba,这表明对等价类a来说，a中任何元素b均可作为a的代表，即等价类与其代表元素的选取无关。一种重要的等价关系一一同余关系定义.任取0 n Z ,可以在Z中确定一种等价关

25、系R: a,b Z,aRb na b则称R为模n的同余关系，并将aRb记为a b(n)(a 同余 b 模 n)由同余关系确定的分类中的等价关系为模n的剩余类。而由同余关系引导出来的商集 %习惯上记为Zn.模n的同余关系为：Z4 0,1,2, L , n ，其中0 L , 2n, n,0,n,2n,LL , 2n 1, n 1,1,n 1,2n 1,L LLLLLLLn 1 L n 1, 1,n 1,2n 1,L 第二章 群论教学目的与教学要求： 理解群的定义，掌握群定义中的四个等价条件， 和群的判定方法 ; 理解单位元、逆元、元的阶的定义，初步地掌握利用单位元、逆元、元阶的定义证明有关的性质和

26、定理；理解群同态思想，理解若群G同态G则群G的许多代数性质可以传递给它的同态象; 理解变换群的定义应用几何上的实际问题，并且理解变换群在群论上的重要性，同群论中具有的普遍性， 弄清楚变换群和变换群的区别 ; 理解置换群， n 次对称群，循环置换的定义，搞清楚置换乘法的先后顺序是从右到左，并且搞清楚置换的循环分解，多做练习 ; 理解循环群的思想，理解循环群结构中的主要的结果（ i ）数量问题， （ii） 构造问题， （ iii ）循环群的生成元 ; 理解子群的判定方法和构造群的子群的方法; 理解左 （右） 陪集的思想，理解陪集定义的最基本的两种出发点 ;教学重点： 群的定义，基本特点，群的思想方

27、法，群的判定常用的方法; 单位元、逆元、消去律、元的阶，并且利用这些概念; 有限群的定义，利用有限群的思想，利用定义证明有关定理和例子；群的同态定义，利用群的同态定义证明由G是群可以推出G也是群（GG条件下）；变换群的定义，Cayley定理，变换群的判定 常用的方法; 置换，转换群， n 次对称群，循环置换的定义，利用这些概念的定义证明每一个有限群都一个置换群同构；G=aX勺定义，利用G=a：ft定义，证明有关的定理和命题， （如：循环群，乘余类加群） ; 子群定义，利用子群定义证明有关的问题，群的一个非空集组成子群的充要条件; 左、右陪集的定义，群 G 的子群H的阶，H在G里的指数；任两个左

28、（右）陪集间存在双射的概念；教学难点： 群的定义，群的判定常用的方法，利用群的定义证明性质和判定; 群的判定常用的方法。且半群中消去律与元的可逆性之间的关系和定理的证明 ; 掌握群同态定义中的同态映射的要求; 变换群的定义，利用变换群在几何上的实际应用和群的理论上的重要性; 置换群中元素是n 次置换非常具体， 所以 n 次置换，及置换乘积是本节中较难的概念;G= （a）的构选问题，利用G=（a）的定义证明若a为无限阶的，则0亿,+ ; 若a的阶为n,则应亿门，+;作成 子群的充分必要条件的证明过程，子群的判定方法; 左（右）陪集的定义，利用左（右）陪集的定义掌握左（右）陪集的判别条件;教学措施

29、：网络远程。教学时数：16 学时.教学过程： 1 群的定义群的第一定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群， 假 如:I。G对于这个乘法来说是闭的；n o结合律成立：a(bc)=(ab)c 对G的任意三个元都对；m o对于G的任意两个元a,b来说，方程ax=b和ya=b在G中都有解，是 一个有限整数。例1 :证明若G包含一个元g,且乘法是gg=g,则G对于这个第六法来说 作成一个群。例2:设G是一个全体整数的集合，证明 G对于普通加法来说作成一个群。例3:设G是所有不等于零的整数集合，证明 G对于普通乘法来说不作成一 个群。群 G 有以下性质：IV。G里至少有一个元e,叫做G

30、的一个左单位元，能让ea=a对于G的任何元a都成立。V。对于G的每一个元a,在G里至少存在一个元a 1,叫做a的一个左逆元， 能让a 1 a=e成立。这里e 是一个固定的左单位元。证明：略。群的第二定义：一个非空集合G对一个叫做乘法的代数过算来说作成一个群，假如:I。G对于这个乘法来说是闭的；H。结合律成立：a(bc)=(ab)c对G的任意三个元都对IV。G里至少有一个元e,叫做G的一个左单位元，能让ea=a对于 G 的任何元 a 都成立；V。对于G的每一个元a,在G里至少存在一个左逆元，能让1a a=e。证明思路： 1。一个左逆元也一定是一个右逆元；一个左单位元也一定是一个右单位元；最终结论

31、。定义：一个群叫做有限群， 假如这个群的元的个数是一个有限整数。否则这个群叫做 无限群 。一个有限群元的个数叫做这个群的阶 。定义：一个群叫做交换群，假如ab=ba对于G的任何两个元a,b都成立。 2单位元、逆元、消去律定理1：在一群G里存在一个并且只存在一个元 e,能使ea-ae=a对于G的任意元a都对。提示：只须用反证法证唯一性。定义：一个群G的唯一的能使ea=ae=a （a是 G的任元）的元e叫做群G的单位元。定理2:对于群G的每一个元a来说，在G里存在一个而且只存在一个元a 1 ,能使a 1a=aa 1 =e提示：只须用反证法证唯一性。定义：唯一的能使a 1a=aa 1 =e的元a 1

32、叫做元a的逆元（有时简称逆）例1:全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是零，元a的逆元是-a。例2.全体整数对于普通加法来说作成一个群。这个群的单位元是零，a的逆元是-a.定义：群G的一个元a,能够使得m a =e的最小的正整数m叫做a的阶。若是这样一个m不存在，我们说，a是无限阶 的。例3: G刚好包含x3=1的三个根：对于普通乘法来说成一个群。I , II显然；IV。1是G的单位元；V o 1的逆元是1,1的逆元是2,2的逆元是1定理3: 一个群的乘法适合III消去律：若ax=ax, 那么x=x；若 ya=ya ,那么 y=y 证明：略。推论：在一个群里，方程a

33、x=b ft ya=b各有唯一的解。 3有限群的另一定义若G是群，则G必满足（1）封闭性（2）结合律（3）消去律。但如果代数 体系G,能满足（1） （2）和（3）,是否可断定G就是群呢？先看下面的例子：例：G=W有不等于零的整数对于普通乘法来说这个 G适合I , II , III,可是不适合III。如果是有限集，那情形就不一样了。定理：一个有乘法的有限集合 G若是适合I , II和III,那么它也适合III 有限群的另一定义：一个有乘法的有限不空集合 G作成一个群，假如I , III , III能被满足。证明：（只需证明ax b方程ya b和在G中有解）先证ax b在G中有解，a,b G.,a

34、n,现用a左乘G中的每个因为G是有限集，不妨设G n,即G ai，a2,元素，得到 G aa1,aa2, aan.由（1） G 中每个 aai G（i 1,2, ,n）,所以 G G又由于（3）只要i j ,则aai aajG中也含有n个元素，于是G G又由于b G ,即b G k（1 k n）使aak b, ak是ax b的解.同理可以证明ya b有解. 4群的同态设G,和G都是群，如果存在映射：GG使a,b G,都有a b a - b ,则称 是群同构态映射；如果 是满射，则丝 为群满 同态映射，人注：这是重要，种同态，要特别关注）简称 G与G 同态，并 记为G G ,此时也称G是G的同态

35、像.我们已多次谈到“满同态”的重要性质 具有“传递”作用.那么在群的满同态映射里，它能传递一些什么呢？定理1：假设G与G对于它们的乘法来说同态，那么 G也是一个群。证明：对00而言，“一”满足封闭性是显而易见的，而由于G,o 中的满足集合律.“0”也满足结合律.下面须证G,o有单位元和a G,a有逆元.G,o是群，设e是单位元并设e e须证e是Go的单元.事实上，a G,e a e a是满射 a G ：e a a a ,同理 ea使 a a , 那么ae a , 由a的任意性a，而G,o是群，故a有逆元e是单位元. a G,为满射，则 a G使aa1,设 a 1 a1,须证a1是a的逆元事实上

36、，a 1 a a 1 a a 1 a e e,1同理a a 1e,a 1是的逆元，即a =a 1 .由上可知，o,0是个群.例1：设A=a,b,c,A 的乘法由下表夫定： a b ca a b c b b c a c c a b的集合，G是全体整数对普加法来说作成的一个群，找出它们之间的一个同态映 射？且判断A是不是一个群。例2: G=所有奇数。G对于普通乘法不是一个群。G=e, G对于乘法 ee=e显然作成群。但显然是G到G的一个同态满射。由定理1的证明可以直接得出定理2:假定G和G是两个群，在G到G的一个同态满射之下，G的单位元e的 象是G的单位元，G的元a的逆元a 1的象是a的象的逆元。

37、 5变换群本讲的教材在对映射的表示形式上有所改变:成：xx x .也就是说，过去我们的记法(x)”将变为()(x)“(a)” 例1.(x) x当：A设A(x )用教材的话是说：当：AA是变换时，使用“ a ”2 .现取出A的几个变换2,2(即1, 21)2,2(即2,22)1,2(即1,2 32)2,2(即2,21)可以看出.1, 2,3,4是A的全部变换.其中惯上记(或 31a)。把A的全体变换作成一个集合S= , , ,L 例2.2；2这表明 12.(x)将改“x ”于是要当心:B是映射时，用3和4是双射.并且3是包等变换.习可以换算一下它们的合成(乘积)同理知(i 1,2,3,4).这是

38、因为(13)i(2 3)2.44 .利用3是恒等变换.则3 i i 3 i并且又有(1)3(2i)定义.对于这个乘法,S有一个单位元，就是A的包等映射对A的任一个变换，都有例 3. 事实上， 1 就没有逆元. 因为如果1 有逆元 . 那么必有1 且. 但我们会发现：1 1 1 而 212 11这说明 1 即 S 不能成为群。 (同理可知， 2 也没有逆元)上面的S所以不能成为群，主要是 1和2不是双射(它们没有逆元)因此，我们有：定理1 :假定G是集合A的若干个变换所作成的集合，并且G包含恒等变换若是对于变换的乘法来说作成一个群，则 G只包含A的-变换。证明 ： 任取 G . 经证 是满射又是

39、单射. 首先，因为G . 由于群 G 中的单位元唯一. 由定义 2 必是 G 中的单位元.1是 满 射 ： a A.G 1 G a A 于 是111a a a . 这说明 a 是 a 的原象 .是满射 .是单射：设a,b A. 如果， a b .11那么 a b a b a b是单射由上分析知 . 是个双射 .定义1：一个集合A 的若干个- 变换的乘法作成的群叫做A 的一个变换群。定理2：一个集合A 的所有的- 变换成一个变换群。证明：设GA的一切一一变换，须证G满足群第0定义.1, 2G. 因为 1, 2都是双射 . 由第一章知 1 2必是也是双射 . 即1 2 G .( 封闭性 ) TOC

40、 o 1-5 h z 凡是映射都满足结合律G 中的元素必也满足结合律.因为恒等变换G 就是 G 的单位元 .( 由结论 )G. 是双射 , 由第一章知 必有逆映射 1 使 11故逆映射1就是 在群 G 中的逆元 .由(1)-(4) G 是一个变换群.定理 3：任何一个群都同一个变换群同构。证明：设G a,b,c是任意一个群,x G ,利用x ,我们规定G 的一一变换，事y个变换x ： G G ,其中g x gx, g G ,这种变换是一个一 实上：? 若 g G, 令 g gx1, 那么 g x gx yx 1 xx是满射.?若、y1,y2 G 且 g1xg2xg1x g2x g1g2x是单射

41、.综合上述知.我们得到由G中元素确定的G的变换集合 G a, b, c其中每个这种变换都为一一变换.其次作：G G,其中 x x x G现须证 是同构映射.是满射： x G,则 x x, x是x的原象是满射.是单射：x, y G如果 xx y,那么 g G有g x g y gx gy, 由消去律知x y是单射保运算：由于g G.我们有:g xyg xygx ygx y g x y g xy这说明xy xyx y x y保运算于是知G G,而G是群G必是群. 6置换群定义：一个有限集合的一个-变换叫做一个置换。一个有限集合的若干个置换作成的群叫做 置换群。记作Sn。定义：一个包含n个元的集合的全

42、部置换作成的群叫做 n次对称群, 定理1: n次对称群Sn的阶是n!由于映射中只关心元素之间的对称关系.而不在乎元素的具体内容.故可证A 1,2,3 .故此.:12, 23,31.稍做修改: TOC o 1-5 h z 1 2 31 2 3. 23123,4 31312所以怜33! b.其中是恒等变换.即是S3的单位元.由于置换群也是变换群，故必蕴含着变换群的一切特征.譬如,丕交换性.;.123 1 23123123123123 132 2 13231312213132定义：Sn的一个把ai1变到ai2,ai2 变到ai3,.ai k变到ai1 ,而使得其余的元，假如还有的话，不变的置换，叫做

43、一个K-循环置换，用符号： .用=| 2 3来描述A的一个置换的方便之处是显而易见的.2 3 12 3 1一.2 1 33 1 2.当然，上述的置换可记为213, 3 12，但习惯上都将第一行按自然321123序列排写这就可以让我们都统一在一种表示置换的方法内进行研究工作了 例1.计算下列置换的乘积：，(2)2, (3)2.-123123123解：3122311232123123123123123312123123123312123312注意：置换乘积中，是从左到右求变换值,这是与过去的习惯方法不同的例2. 设A 1 ,2,3，那么A的全部一一变换构成的三次对称群为S31231 23,1123

44、1132(i1i2.i k) , ( i2i3.ir i1 ),. 或(i r i1.i k -1 )来表示。注意：循环置换是置换的另一种表达形式，它以发生变化的文字的变化次序为 序，表达成轮换的形式.虽然表达形式简捷，但所含置换的原有文字的数目可能反映不出来.这要求事先予以说明.例如.“8元置换 1 4 2 3 5 ”.一般地，每个循环的表达方法不唯一，例如.1 4 2 3 52 3 5 1 45 1 4 2 3这是 因为，每个循环置换都可视为一个首尾相接的圆环所以,循环中的每个文字都可以置于首位.一旦首位确定后，整个循环置换的表达形式也就确定了 .例3.在S5中.23451 2314512

45、3452345112 3 4 5112 3 4 53 叫作3一循环置换.3 4 5 叫作5一循环置换.叫作1一循环置换定理2:每一个n个元的置换冗都可以写成若干个互相没有共同数字的(不相连的)循环置换的乘积 证明：设 是Sn中任一个n元置换，下面对 中改变文字的个数用数学归纳法如果使1,2,3, ,n中每个文字都不发生改变，则是恒等置换.即 1 ,定理2成立.假设 最多变动r 1(r n)个文字时，定理成立。现考察 变动了 r个元的情 形：首先在被 变动的文字中随意取一个文字i1 ,从卜出发找到i1在 下的象i2,再找i2的象i3 ,，直到找到ik ,其中：iki1.于是i1 i2 i3ik

46、i1因为 只变动了 r r 个文字，故k r . 如果 k r ，则 本身就是一个r 循环置换:i1,i2, ,ik 定理证毕。如果k r ，模仿 (*) 的做法。i1i2ikik 1irir 1ini2i3i1ik 1iri r 1i ni1i2ikik 1i2i3i1ik 1irir1ini1ikik1_IIIIiiiirir1ini1ikik1irir1in HYPERLINK l bookmark25 o Current Document iiiirir1in可以写成若干个不相连的循环置换之积i1ikik 1iir 1ini1 i2 ini1ikik 1irir 1 ini1i2 ik

47、 1中只变动了 r 个文字，1 中只能变动r k r 个文字 . 由归纳假设， 1 必112 m还需特别说 明:1 中的所有循环置换 1, 2, , m 中不可能再 出现i1,i2, ,ik, 否则 ,i pigpk因为1, 2,m 是互不相连,i p 只在 t 中出现 .将ip ig,但前面已有ii1i2ikik 1irir 1ini1i2ikik 1irir 1in即 1 将使 i p 保持不动，这样就导出了矛盾. 这恰说明：il i2 ik 1 2 m是互不相连的循环置换之积. 定理3：每一个有限群都有与一个置换群同构。 7 循环群例 1 整数加群 Z n| n 2 , 3, 2, 1,

48、0,1,2,3, 中，每个元素都是1的倍数 (因为此群是加法运算， 所以用 “倍数” 这个词) 事实上， 0 是 1的零倍： 0 0 1 ；正数m是1的m的倍：m m 1 ,负数 m是1的 m倍：m ( m) 1定义：若一个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的乘方，我们就把G叫做 循环群；G由元a所生成的，且用符号G= (a)来表示，a叫做G的一个生 成元 。例2模n剩余类加群Zn 0,1,2,n 1.中的运算是“钟表加法”，易知Zn中每个元素m都是1的倍数m 1 11 m 1定理：假定G是一个由元a所生成的循环群，那么G的构造完全可以由a的阶来 决定。a 的阶若是无限，那么G 与整数加群同

49、构；a的阶若是一个有限整数n,那么G与模n乘余类加群同构。证明： (1) 当时 |a | ，作 1 :G Z, 1(ai ) i . 由上述的对应关系易知 , 1 是双射.而 1(aiaj)1(ai j) i j 1(ai)2(aj)1(aiaj)1(ai)1(aj)G Z(2)当 | a| n 时，作 2 : G Zn, 2(ai ) i由上述对应关系也易知 , 2 是双射 . 而且2(aiaj)2(ai j) i j i j2(ai)2(aj)(aiaj)2(ai)2(aj).即 G Zn子群定义：一个群G的一个集H叫做G的一个子群，假如H对于G的乘法来说作成一 个群,记作：H& Go例1

50、 设G为任意一个群，那么由G的单位元组成子集e,自然有e G ,另外G本身也有G G ,所以G一般有两个子群，统称它 们为的 G 平凡子群。 如果 G 除了平凡子群外还有其他子群， 那就称 为G的真子群，记为H Go例2设 S3 (1),(12),(13),(23),(123),(132)为三次对称群，令H (1),(12) 和三次交错群A3 ( 1), (123), (132) 。易知HS3 ,A3S3定理1: 一个群G的一个不空集H作成G的一个子群的充分且必要条件是（i ） a,b H=ab H（ii ） a H=a 1 K 证明：（ ）若 H G ， （1）显然成立，而上述性质2恰说明（

51、2）成立.（）? 因为（ 1）成立 H 中元素乘法封闭。? 结合律在 G 中成立，自然在H 中也成立。? H , a H . 由（2）a 1 H ，再由（ 1）知 e aa 1 H , e H? 由（ 2） a H ,.a 1 H于是可知 H G推论：假定H是群G的一个子群，那么H的单位元就是G的单位元，H的任一元 a在H里的逆元就是a在G里的元。定理2: 一个群G的一个不空子集H作成G的子群的充分必要条件是：（iii ） a,b H=ab-1 H。证明：（ ） H G . 由定理 1 中（ 2）b 1 H ，再由（ 1）知 ab 1 H .（ ） （往证（ 1）和（2）成立）x H . 由条

52、件知 xx 1 H ，即 l H ，那么 a, b H ,lb 1 b 1 H ，并且 ab a（b 1 ） 1 H ，所以（ 1）和（2）都成立，由定理1 H G 。定理3:一个群G的一个非空有限子集H作成G的一个子集的充要条件是：a,b H=a氏 H。证明：必要性：显然。充分性： （ 1）条件表明 H 满足封闭 .G 中满足结合律 H 也满足结合律.（ 3）因为G 中满足消去律H 中也满足消去律.由（ 1）、（2）和（3） H G （注 H 是有限集）定义：S生成的子群的定义结构过程教材上P64页中。子群的陪集子群的陪集思想是： 实质上是用子群对群进行分类的问题， 关于陪集的定义，有两种最

53、基本的出发点， 一种是利用子集的乘积的概念， 另一种是等价关系的概 念。记群G和G的一个子群H。规定一个G的元中的关系： ab,当且仅当ab 1 H的时候。因为：. aa 1 e H ,所以abab 1 H (ab 1) 1 ba 1 H ,所以 ab baab 1 H , (ab 1)(bc 1) ac 1 H ,所以 ab, bc ac所以是一个等价关系。定义：由上面的等价关系所决定的类叫做子群H的右陪集，包含元a的右陪集用符号Ha来表示。例1. G=S3 (1),(12),(13),(23),(123),(132) ,H=(1),(12)。那么 H (1) =(1),(12)H (13)

54、 =(13),(123)H (23) =(23),(132) 右陪集是从等价关系：ab,当且仅当ab1 H的时候 出发得到的。假如规定一个 G的元中的关系：ab,当且仅当b 1a H的时候 同理可证是一个等价关系。定义：由等价关系所决定的类叫做子群H的左陪集，包含元a的左陪集用符 号aH来表示。例2.例1里H的左陪集是(1) H=(1),(12)H=(13),(132)H=(23),(123) 这和H的右陪集并不相同。定理1: 一个子群H的右、左陪集的个数相等。它们或者都为无限大，或者都有 限并且相等。证明：设SR Haa G , SL cH c G作：SrSL,其中Ha a 1H.（i ）（

55、必是映射）Ha,Hb SR，如果Ha Hb ab 1 H ,利用明示 4的对称性得b 1 a1H,故有a1Hb 1H ,即 Ha Hb ,这说明是个映射.（ii）（必是满射）cHSl,则存在Hc1 R使 Hc 1 c 1 1H cH是满射.（iii）（是单射）设 Ha a 1H , Hb b 1H ,.如果 a 1H b 1Hab 1H H,即Ha Hb （由明示4） 是单射.由（i ）（ ii）和（iii）知，必是一一映射，命题得证.定义：一个群G的一个子群H的右陪集（左陪集）的个数叫做 H在G里的指数。 引理：一个子群H与H的每一个右陪集Ha之间都存在一个映射。证明：设：H Ha,其中h

56、ha. h H .h H,作为h在 下的象ha是唯一确定的， 是映射.ha Ha.,则显然ha有原象h,是满射.（iii）设 %a, h?h?a,如果ha h?a,则 必有（群的消去律）必是单射.由（i ）,（ ii）和（出）知是双射.定理2:设H是一个有限群G的子群，那么H的阶n和它在G里的指数j都能整 除G的阶N,并且N=nj证明： G： H j,这表明H在G中的右陪集只有j个，从而有G的右陪集分 解：G Ha Ha2 Ha3 Ha j （其中 Ha1 H ）由引理知，Ha1 |Ha2|Haj n所以 G Ha1 j N nj .由上等式“ N nj ”知子群H的阶n是G的N阶的因子，于是

57、可得到下面定理3: 一个有限群G的任一个元a的阶n都整除G的阶。证明：由元素a生成G的一个循环子群 H a .由 Lagrange 定理知 H|G，但 H m.故 m|G .例3:设置换群S3,其子群为H= (1) , ( 12) ,分析H的右(左)倍集。 10不变子群定义：设H G ,如果对于G中任一个元a ,都有Ha aH ,那么称H为G的一 个不变子群，记为HAG .如果H是不变子群，那么N的左(右)陪集统一 叫做N的一个陪集。例1群G的平凡子群G和e都是不变子群。G G, e G例2 设G为群，而C(G) x G | a G.xa ax叫做G的中心(centre of G),不仅 C(

58、G) G ,而且有 C(G) G例3如果G是一个交换群，那么G的任一个子群H都是不变子群。因为 Ha eAQ, a a,h1a,h2a, a,ah，ah2, ae,h1，h2, aH .例4 设 H S3,其中 H (123) (1), (123),(132),易知 H S3.定义.假定S1,S2,L ,Sm是一个群G的m个子集。那么由所有可以写成S1S2L Sm(Si S )形式的G的集合叫做Si,S2,L ,Sm的乘积。这个乘积用S&L Sm表示。定理1: 一个群G的一个子群N是一个不变子群的充要条件是：aNa 1 N对于G的任意一个元a都成立。证明：假若N是不变子群，则对于G的任意一个元

59、a来说，aN=Na这样1111aNa 1 (aN)a 1 N(a 1a) N(a 1a) Ne N假若又t于G的任意一个元a来说1aNa 1 N那么Na (aNa 1)a (aN)(a 1a) (aN)(a 1a) aN故N是G的一个不变子群。定理2: 一个群G的一个子群N是一个不变子群的充要条件是：1a G,n N ana N证明：必要性由定理1 显然。下证充分性：假定这个条件成立，那么对于 G 的任意一个元a 来说aNa 1 N这样，因为a 1也是G的元，故有aNa 1 N,a(a 1Na)a 1 aNa 11 N aNa 1故 aNa 1 N由定理 1， N 是 G 的一个不变子群。证完

60、。设 H G ，规定其陪集的运算法则：(Hx)( Hy) Hxy欲使 SR Ha |a G 成为一个群， 我们还需对它的代数运算进一步核实子集之积是否与代表元有关。设H G,那么Sr Ha|a G中定义的运算(Hx)(Hy) Hxy是一个代数 运算。证明： Hx,Hy Sr且 HxHy Hxy .如果又有 Ha, Hb Sr使 Hx Ha, Hy Hb .且 HaHb Hab.须证 Hxy Hab .事实上， Ha Hx a Hx, 即 a h1 x, h1 H .Hb Hy b Hy , 即 b h2y, h2 HxH Hxxh2 xH Hx xh2 h3x, h3 H .ab (hix)(