高考大题规范解答立体几何大题(文科)

1、高考大题规范解答一一立体几何(文)考点1线面位置关系与体积计算例1 (2017全国卷出)如图，四面体 ABCD中， ABC是正三角形，AD=CD.(1)证明：ACLBD;(2)已知 ACD是直角三角形， AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点，且 AEXEC,求 四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.【分析】看到证明线线垂直(ACXBD),想到证明线面垂直，通过线面垂直证明线线垂直.看到求四面体 ABCE与四面体ACDE的体积比，想到确定同一平面，转化为求高的比. 【标准答案】一一规范答题步步得分取AC的中点O,连接DO, BO.1分|得分点因为AD=CD,所以AC DO.又由于 ABC是

2、正三角形，所以ACXBO.又因为DOABO=O,从而AC,平面DOB,故 ACBD.(2)连接EO.由(1)及题设知/ ADC=90,所以DO = AO.在 RtAAOB 中，BO2+AO2=AB2,又 AB = BD,所以 BO2+DO2=BO2+AO2 = ab2=bd2,故/ DOB = 90 .4分得分点由题设知 AEC为直角三角形, .1所以 eo=2ac.又 ABC是正三角形，且 AB=BD,一,1所以EO=2BD,故E为BD的中点，1从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的1四面体ABCE的体积为四面体 ABCD的体积的万，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1

3、： 1.【评分细则】作出辅助线，并用语言正确表述得1分.8分得分点9分得分点11分得分点12分得分点AC,平面DOB,再得1分.得出AC DO和AC BO得1分，由线面垂直的判定写出 TOC o 1-5 h z 由线面垂直的性质得出结论得1分.作出辅助线，并用语言正确表述得1分.由勾股定理逆定理得到/ DOB = 90得2分.11由直角三角形的性质得出EO = 11AC得1分.由等边三角形的性质得出E为BD的中点，得1分. , 1得出四面体 ABCE的体积为四面体 ABCD的体积的万得2分.正确求出体积比得 1分.【名师点评】.核心素养：空间几何体的体积及表面积问题是高考考查的重点题型，主要考

4、查考生“逻辑推理”及“直观想象”的核心素养.解题技巧：（1）得步骤分：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中的得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以，对于得分点步骤一定要写，如第 （1）问中ACXDO, ACXBO;第（2）问中 BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2等.（2）利用第（1）问的结果：如果第（1）问的结果对第（2）问的证明或计算用得上，可以直接用，有 些题目不用第（1）问的结果甚至无法解决，如本题就是在第 （1）问的基础上得到 DO=AO.变式训练1如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，点E, F分别是棱CC1, BB1上的点，且EC=2FB.（1）证明：平面 A

5、EH平面 ACC1A1；(2)若AB= EC=2,求三棱锥 C AEF的体积.解析(1)取线段AE的中点G,取线段AC的中点M,连接 MG, GF, BM ,则 MG=1EC = BF,又 MG /EC /BF,四边形MBFG是平行四边形，故 MB/FG.MBXAC,平面 ACCiAi,平面 ABC,平面 ACCiAin 平面 ABC = AC,.MB,平面 ACCiAi,而 BM/FG,FG，平面 ACCiAi,.FG?平面 AEF,平面 AEF,平面 ACCiAi.(2)由(i)得 FG,平面 AEC, FG =BM = V3,.Vc aef= Vf ACE= SzACE FG=；X 2X

6、 273 =平.33 23考点2立体几何中的折叠问题， 例2 (20i8课标全国I卷)如图，在平行四边形 ABCM中，AB=AC=3, / ACM = 90以AC为折痕将 ACM折起，使点 M到达点D的位置，且ABXDA.证明：平面 ACDL平面 ABC;(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且 BP=DQ=2DA,求三棱锥 Q ABP的体 3积.【分析】 线线垂直推出线面垂直，进而得到面面垂直;利用锥体的体积公式求解.规范答题步步得分(1)由已知可得，/ BAC=90, BAXAC.又BAAD,所以 AB，平面 ACD.3分得分点又AB?平面ABC,所以平面 ACD，平面 ABC.A

7、f145分得分点(2)由已知可得，DC = CM=AB = 3, DA = 3/2又 BP = DQ = 2DA,所以 BP=242.37分得分点作QEAC,垂足为E,则QE触1DC.3由已知及（1）可得DC,平面ABC,所以QE，平面 ABC, QE = 1.10分得分点因此，三棱锥 QAPB 的体积为 VqABP=1X QEX 4abp=x 1 x,x 3X 2小sin45 = 1.12 分 332,得分点【评分细则】由线线垂直推出线面垂直，给 3分.由线面垂直得面面垂直，给2分.根据已知，求出 BP的长，给2分.证明QE为三棱锥Q APB的高，并求出它的值，给 3分;利用体积公式正确求解

8、，给 2分.【名师点评】1.核心素养:本题考查面面垂直的证明及三棱锥的体积计算，考查空间想象能力和逻辑推 理能力.2.解题技巧：(1)解决翻折问题的关键一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化；翻折后不在同一个平面上的性质可能会发生变化，翻折过程中长度、角度和平行、垂直关系是否发生改变是解决问题的关键.(2)计算几何体的体积时， 关键是确定几何体的高， 若是不方便求，要注意进行体积的转化.变式训练2(2018广东广州一模)如图，在直角梯形 ABCD中，AD/BC, ABXBC,且BC=2AD = 4, E, F分别为线段 AB, DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AEXCF,得到如下的

9、立体图 形.证明：平面 AEFDL平面EBCF;(2)若BDXEC,求点F到平面ABCD的距离.解析(1)证明：由题意可得 EF/AD, .-.AEXEF.又 AECF, EFACF = F, . .AE，平面 EBCF. AE?平面 AEFD ,平面 AEFDL平面 EBCF .(2)如图，过点 D作DG /AE交EF于点G ,连接BG,则DGL平面EBCF.EC?平面 EBCF, . .DG EC. 又 BDXEC, BD A DG= D, . EC，平面 BDG.又 BG?平面 BDG, .-.ECXBG.易得aegbs/bec, .EB=EC;.EB2= EG BC= AD BC=8,

10、.EB=2m.设点F到平面ABCD的距离为h,由 V 三棱锥 F ABC = V 三棱堆 A-BCF,可得 SZABC h= SZBCF AE .BCXAE, BCXEB, AE AEB = E,.BS平面 AEB, .-.ABIBC.又 AB = /aE2BE2 =4= BC,1.SZABC =,X 4X4 = 8.1又 SZBCF =2X 4X2艰=4依 AE=EB=2g.-，8h=4x/2X 22= 16,解得 h=2.故点F到平面ABCD的距离为2.考点3立体几何中的探索性问题* 例3 （2018全国m,）如图,矩形 ABCD所在平面与半圆弧 CD所在平面垂直，M是CD上异于C, D的

11、点.(1)证明：平面 AMD，平面 BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC/平面PBD?说明理由.【分析】看到平面AMD，平面BMC,想到利用面面垂直的判定定理寻找条件证明;看到MC/平面PBD,想到利用线面平行的定理进行分析.【标准答案】规范答题步步得分(1)由题设知，平面 CMDL平面 ABCD,交线为 CD. 因为 BCXCD, BC?平面 ABCD,所以BCL平面 CMD ,故BCXDM.3分得分点因为M为CD上异于C, D的点，且DC为直径, 所以DM LCM.又BCACM = C,所以DM，平面BMC .而DM ?平面 AMD ,故平面 AMD，平面 BMC .5分得分点

12、6分得分点(2)当P为AM的中点时，MC/平面PBD.7分得分点证明如下：连接 AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以 。为AC中点, 连接OP,因为P为AM中点，所以 MC/OP. 10分 得分点12分得分点MC?平面PBD, OP?平面PBD,所以 MC /平面PBD .【评分细则】 由平面 CMD，平面 ABCD推出BCXDM ,给3分.由线线垂直得到 DM，平面BMC ,给2分.由线面垂直得到，平面 AMD，平面BMC,给1分.点明P为中点时，MC/平面PBD,给1分.正确作出辅助线并证得 MC /OP,给3分.由线线平行证得 MC /平面PBD ,给2分.【名师点评】.核心素养：探

13、索性的立体几何问题在高考中虽不多见，但作为高考命题的一种题型，要求学生掌握其解决思路及解决问题的途径，此类问题主要考查考生“直观想象”的核心素养.解题技巧：(1)得分步骤要写全：如第(1)问中，面面垂直性质定理的应用，BCXCD, BC?平面ABCD,不能丢.(2)得分关键：明确探索性试题的解题要领是先假设存在，然后采用相关定理或性质进行论证；第(2)问中，把假设当作已知条件进行推理论证，会起到事半功倍之效.变式训练3如图，在四棱锥 P-ABCD中，侧面PAD，底面 ABCD,侧棱PA=PD =42,底面 ABCD 为直角梯形，其中 BC/AD, ABXAD, AD = 2AB= 2BC= 2

14、,。为AD的中点.(1)求证：POL平面ABCD;(2)求异面直线PB与CD所成角的正切值；线段AD上是否存在点 Q,使得它到平面 PCD的距离为呼?若存在，求出QD的值；若不存在，请说明理由.p解析(1)证明：在4PAD中，因为PA=PD, 。为AD的中点，所以 POLAD.又侧面PAD，底面 ABCD,平面PAD n平面 ABCD = AD, PO?平面 PAD,所以POL平面ABCD .(2)连接BO,在直角梯形 ABCD中，BC/AD, AD = 2AB=2BC,。为 AD 的中点,所以 OD /BC 且 OD = BC,所以四边形OBCD是平行四边形，所以 OB/DC.由(1)知，POXOB, /PBO为锐角,所以/PBO是异面直线PB与CD所成的角，在Rt9OB中，因为 AB=1, AO=1,所以 OB = J2,在 RtA