中考压轴题——三角形问题有答案(共17页)

1、长沙马思特培训学校 菁品小班课程中考(zhn ko)数学压轴题解题技巧数学综压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计(shj)的，集中体现知识的综合性和方法的综合性，多数为函数型综合题和几何型综合题。函数型综合题：几何型综合题：求函数解析式；（待定系数法）求点的坐标或者某些性质；（几何法或者代数法）动点（线）问题；（待定系数法）面积探索问题；（转化及方程思想）存在性问题。（分类讨论）函数(hnsh)型：反比例函数、二次函数等；几何型：三角形问题（等腰三角形、直角三角形、相似三角形） 四边形问题（平行四边形、矩形、梯形） 圆问题（单圆、两圆）解中考压轴题技能：中考压轴题大多是以坐标系为桥梁，运

2、用数形结合思想，通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。关键是掌握几种常用的数学思想方法。一是运用函数与方程思想。以直线或抛物线知识为载体，列（解）方程或方程组求其解析式、研究其性质。二是运用分类讨论的思想。对问题的条件或结论的多变性进行考察和探究。三是运用转化的数学的思想。由已知向未知，由复杂向简单的转换。中考压轴题它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此，可把压轴题分离为相对独立而又单一的知识或方法组块去思考和探究。四是运用待定系数的思想。尤其是对于存在性问题，

3、可以先对所求值进行假设，然后在等量关系中进行代入，最后得到假设值。解中考压轴题小技巧：一是对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识。根据自己的情况考试的时候重心定位准确，防止 “捡芝麻丢西瓜”。所以，在心中一定要给压轴题或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题，尽量要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。二是解数学压轴题做一问是一问。第一问对绝大多数同学来说，不是问题；如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的，写上去的东西必须要规范，字迹要工整，布局要合理；过程会写多少写多少，但是

4、不要说废话，计算中尽量回避非必求成分。中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计(shj)的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。所以，解数学压轴题，一要树立必胜的信心，要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程(fngchng)函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。示例：（以2009年河南(h nn)中考数学压轴题）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2

5、)动点P从点A出发沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PEAB交AC于点E.过点E作EFAD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?连接EQ在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.解：(1)点A的坐标为（4，8） 1分将A(4，8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx 得 8=16a+4b 0=64a+8b 解得a=-,b=4抛物线的解析式为：y=-x2+4x 3分（2）在RtAPE和RtABC中，tanPAE=,即= 转化思想PE=AP=tPB=8

6、-t 待定系数法点的坐标为（4+t，8-t）. EC= 点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8. 5分EG=-t2+8-(8-t) =-t2+t. 方程(fngchng)思想-0，当t=4时，线段(xindun)EG最长为2. 7分共有(n yu)三个时刻. 分类讨论t1=， t2=，t3= 11分专题一 三角形问题等腰三角形（分类讨论）1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D在坐标为(3，4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果DOP是等腰三角形，求点P的坐标（09上海24）1因为D（3，4），所以OD5，如图1，当PDPO时，作PEOD于E在RtOPE中，所以此时点P的

7、坐标为如图2，当OPOD5时，点P的坐标为(5，0)如图3，当DODP时，点D在OP的垂直平分线上，此时点P的坐标为(6，0) 第1题图1 第1题图2 第1题图3 2如图，在矩形(jxng)ABCD中，AB6，BC8，动点P以2个单位(dnwi)/秒的速度(sd)从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动在P、Q两点移动过程中，当PQC为等腰三角形时，求t的值（08南汇25） 解 ：在RtABC中，.因此.在PQC中，CQt，CP102t. 第2题图1 第2题图2 第2题图3如图1，当时，解得(秒).如图

8、2，当时，过点Q作QMAC于M，则CM.在RtQMC中，解得(秒).如图3，当时，过点P作PNBC于N，则CN.在RtPNC中，解得(秒).综上所述，当t为时，PQC为等腰三角形.6（10南通27）如图，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常数），BC8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）连结DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BFy（1）求y关于x的函数关系式； （2）若m8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ 解：(1)因为(yn wi)EDC与FEB都是DEC的余角(yjio)，所以EDCFEB又因为(yn

9、wi)CB90，所以DCEEBF因此，即整理，得y关于x的函数关系为(2)如图1，当m8时，因此当x4时，y取得最大值为2(3) 若，那么整理，得解得x2或x6要使DEF为等腰三角形，只存在EDEF的情况因为DCEEBF，所以CEBF，即xy将xy 2代入，得m6（如图2）；将xy 6代入，得m2（如图3） 第6题图1 第6题图2 第6题图3 27【2012扬州】已知抛物线yax2bxc经过A(1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴(1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当PAC的周长最小时，求点P的坐标； (3)在直线l上是否存在点M，使MA

10、C为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）A(1，0)、B(3，0)经过抛物线yax2bxc，可设抛物线为ya（x1）（x3）。又C(0，3) 经过(jnggu)抛物线，代入，得3a（01）（03），即a=1。抛物线的解析(ji x)式为y（x1）（x3），即yx22x3。（2）连接(linji)BC，直线BC与直线l的交点为P。则此时的点P，使PAC的周长最小。设直线BC的解析式为ykxb，将B(3，0)，C(0，3)代入，得：，解得：。直线BC的函数关系式yx3。当x1时，y2，即P的坐标(1，2)。（3）存在。点M的坐标为(1，)，(

11、1，)，(1，1)，(1，0)。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段中垂线的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质。【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可。 （2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点。（3）由于MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：MAAC、MAMC、ACMC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解：抛物线的对称轴为： x=1，设M(1，m)。A(1，0)、C(0，3)，M

12、A2m24，MC2m26m10，AC210。若MAMC，则MA2MC2，得：m24m26m10，得：m1。若MAAC，则MA2AC2，得：m2410，得：m。若MCAC，则MC2AC2，得：m26m1010，得：m0，m6，当m6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去。综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1，)，(1，)，(1，1)，(1，0)。自编原创(yun chun)9如图，已知ABC中，ABAC6，BC8，点D是BC边上(bin shn)的一个动点，点E在AC边上(bin shn)，ADEB设BD的长为x，CE的长为y（1）当D为BC的中点时，求CE的长；（2）求y关于

13、x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果ADE为等腰三角形，求x的值 9（1）当D为BC的中点时，ADBC，DEAC，CE （2）如图1，由于ADCADE1，ADCB2，ADEB，所以12又因为ABAC，所以CB所以DCEABD因此，即整理，得x的取值范围是0 x8（3）如图1，当DADE时，DCEABD因此DCAB，8x6解得x2 如图2，当ADAE时，D与B重合，E与C重合，此时x0 如图3，当EAED时，DAEADEBC，所以DACABC因此解得 第9题图1 第9题图2 第9题图3直角三角形 （勾股定理）（2011年浙江省中考第23题）设直线l1：yk1xb1与l2：yk2xb2，

14、若l1l2，垂足为H，则称直线l1与l2是点H的直角线（1）已知直线；和点C(0，2)，则直线_和_是点C的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面(pngmin)直角坐标系中，直角梯形OABC的顶点(dngdin)A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P为线段(xindun)OC上一点，设过B、P两点的直线为l1，过A、P两点的直线为l2，若l1与l2是点P的直角线，求直线l1与l2的解析式 解：（1）直线和是点C的直角线（2）当APB90时，BCPPOA那么，即解得OP6或OP1如图2，当OP6时，l1：， l2：y2x6如图3，当OP1时，l1：y3x1， l2：图2 图324将一矩

15、形纸片放在平面直角坐标系中，动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动当其中一点到达终点时，另一点也停止运动设点的运动时间为（秒）（1）用含的代数式表示；（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；（3）连结，将沿翻折，得到，如图2问：与能否平行？ 解：（1），图1OPAxBDCQy图2OPAxBCQy图3OFAxBCyEQP（2）当时，过点作，交于，如图1，则，（3）能与平行(pngxng)若，如图2，则，即，而，不能与垂直(chuzh)若，延长(ynchng)交于，如图3，则又，而，不存在(cnzi)28（09湛江）已

16、知矩形(jxng)纸片的长为4，宽为3，以长所在(suzi)的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系；点是边上的动点（与点不重合），现将沿翻折得到，再在边上选取适当的点将沿翻折，得到，使得直线重合（1）若点落在边上，如图，求点的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点落在矩形纸片的内部，如图，设当为何值时，取得最大值？CyEBFDAPxO图ABDFECOPxy图第28题图（3）在（1）的情况下，过点三点的抛物线上是否存在点使是以为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点的坐标解：（1）由题意知，均为等腰直角三角形，可得2分 相似(xin s)三角形（相似(xin s)比

17、、分类(fn li)讨论）(2013年上海市中考(zhn ko)第24题)如图1，在平面(pngmin)直角坐标系xOy中，顶点(dngdin)为M的抛物线yax2bx（a0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AOBO2，AOB120（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且ABC与AOM相似，求点C的坐标图1 （1）如图2，过点A作AHy轴，垂足为H在RtAOH中，AO2，AOH30，所以AH1，OH所以A因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，设yax(x2)，代入点A，可得 图2所以抛物线的表达式为（2）由，得抛物线的顶点M的坐标为所以所以BOM

18、30所以AOM150（3）由A、B(2,0)、M，得，所以ABO30，因此当点C在点B右侧时，ABCAOM150ABC与AOM相似，存在两种情况：如图3，当时，此时(c sh)C(4,0)如图4，当时，此时(c sh)C(8,0) 图3 图425.如图，二次函数的图象(t xin)经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由25.设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k顶点C的横

19、坐标为4，且过点(0，)y=a(x-4)2+k 又对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6A(1，0)，B(7，0)0=9a+k 由解得a=，k=二次函数的解析式为：y=(x-4)2点A、B关于直线x=4对称PA=PBPA+PD=PB+PDDB当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值DB与对称轴的交点(jiodin)即为所求点P设直线(zhxin)x=4与x轴交于点MPMOD，BPM=BDO，又PBM=DBOBPMBDO 点P的坐标(zubio)为(4，)由知点C(4，)，又AM=3，在RtAMC中，cotACM=，ACM=60o，AC=BC，ACB=120o当点Q在x轴上方时，过Q作

20、QNx轴于N如果AB=BQ，由ABCABQ有BQ=6，ABQ=120o，则QBN=60oQN=3，BN=3，ON=10，此时点Q(10，)，如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，)当点Q在x轴下方时，QAB就是ACB，此时点Q的坐标是(4，)，经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上综上所述，存在这样的点Q，使QABABC点Q的坐标为(10，)或(-2，)或(4，)中考压轴题分类(fn li)专题抛物线中的等腰三角形基本(jbn)题型：已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若为等腰三角形，求点坐标(zubio)。分两大类进行讨论：（1）为底时（即）：点在的垂直平分线上。利用中点公式求出的中点；利用两点的斜率公式求出，因为两直线垂直斜率乘积为-1，进而求出的垂直平分线的斜率；利用中点与斜率求出的垂直平分线的解析式；将的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点坐标。（2）为腰时，分两类讨论：以为顶角时（即）：点在以为圆心以为半径的圆上。以为顶角时（即）：点在以为圆心以为半径的圆上