大连理工大学泛函分析答案

1、泛函分析答案:1、所有元素均为0的nXn矩阵2、 设E为一线性空间，L是E中的一个子集，若对任意的x,yL,以及变绑和p均有入 x+p yL,则L称为线性空间E的一个子空间。子空间心室包含零元素，因为当入和 p均为0时，入x+p y=0EL，则L必定含零元素。3、 设L是线性空间E的子空间，x0EL，则集合x0+L=x0+l,lL称为E中一个线性流形。4、 设M是线性空间E中一个集合，如果对任何x,yM，以及入+p =1，入0，p 0的 入和p，都有入x+p yM，则称M为E中的凸集。5、设x,y是线性空间E中的两个元素，d(x,y)为其之间的距离，它必须满足以下条件：非负性：d(x,y)0，

2、且 d(x,y)=0 x=yd(x,y)=d(y,x)三角不等式：d(x,y)Wd(x,z)+d(y,z) for every x,y,zEn维欧几里德空间常用距离定义：设 x=x1,x2,xnT,y=y1y2,ynTd2(x,y)=(81 x -七 |2)1/2i=1djx,y)=max I x - y I 1i 0,总存在自然数 N，使得当nN,mN时，均有lxm-xnl，则称序列xj是E中的基本列。若E的基本列的收 敛元仍属于E，则称E为完备的1线性赋范空间，即为Banach空间。线性赋范空间中的基本 列不一定收敛。9、有限维的线性赋范空间必然完备，所以它必定是Banach空间。10、如

3、果内积空间能在由内积诱导的赋范空间完备，则此内积空间称为Hilbert空间。11、L2 (a,b)为定义在(a,b)上平方可积函数空间，即设f(t)L2 (a,b) , j勺f (t )2Id f (J，)则称xn弱收敛于x0。弱收敛不一定强收敛，强收敛一定弱收敛。22、泛函的GATEAUR微分：设X为线性赋范空间，x0EX，f(x)的x0及其领域内有定义，f (x + th) - f (x )、如果对任意hEX，极限：hm01存在，则称f(x)在x0处对方向h存在t - 0tGATEAUR导数，记为S f (x0,h)。又称为泛函f(x)在 x0处对于方向h的一阶变分。24、t - 0)td

4、g - g,= 0 x at x25、应变能密度:应变余能密度：w =L(气)db其关0系如下图所示:b23、S f (%,h)称为泛函f(x)在x0处对于方向h的一阶变分。令4 (t) = f (% +th),则 。(0) = lim 4(t)-(0) = S f (J。,h)。26、有限元方法的本质是：有限元=瑞兹法+具有局部紧支集的分片插值函数。27、兀(x) = j W(e )dV-f fudV-f P uds,e = 1(u + u )，其中 u(x)为系V ijV i iS 1 i ij 2 i，j j，i统的总势能，W(edV为应变能，后两项为外力势能，f|为体积力分量，pi为给

5、定Sb边 界上的外力。最小势能原理：在所有满足边界条件(u = u on Su)和必要的连续性条件的位 移场中，系统的总势能最小，即对所有可能的位移，真实位移使得系统势能兀(u)最小。其 基本的未知函数是位移场u(x)，其应该满足：(1)单值、连续，满足适当的可微性，应该满 足小位移应变关系，七=1/2(u./ + u”)。(2)必须满足本质边界条件。边界位移连续条件，即：u = u on S。推导与证明过程如下:把n取一阶变分：6 n = sf W(e )dV -f fu dV -f p6u ds =f 8e dV -f f 6u dV -f P8u dsV ijV i i s i iV d

6、e ., ij V i i s i if dW6e dV =f b 6e dV =f b (1/26u +1/ 26u )dV其中. V de, ij V ij ij Vij i,jj，= 1/2b6u dV +1/2fb 6udV= f b6udV = f(b6u ) -b6u dVV iji，jV ijj，iV iji，jV ij i，j ij，j i而 f (b 6 u ) dV = f (b 6 u )n ds = f b n 6 u ds + f b n 6 u dsV ij i，j s ij i j s ij j i s ij j i由于在s上u = u为已知，则b n 6uds

7、=0 u i is ij j nsu所以6 n = f b n 6 u ds-f b 6 u dV-6fudV -6p 6 uds sV ij，j iV i is i i由6 n =0得on Su即极值点满足应力平衡条件，则其是真实的位移。下面证明此极小值知的最小值：设正确解是，其它满足位移边界条件的容许位移是ui*，则Ui*=Ui,+6 *，贝0=广6 而，由此得到:n *=n +6 n +6 2n其中6 n =0，6 2n = f w(6e )dV 30，所以n *mn，则极小值即是Vj最小值。证明完毕。28、系统的总余能n (b) = J W (b )dV + J u b nds，其中第

8、一项为系统的应变余能，CV c ijs I ij j第二项与给定位移有关。最小余能原理即对满足b j + f =。in Q和b n = p onS的应力场(满足适当的光滑性)，真实的位移场使系统的总余能最小。其基本未知函数是应力场七，对其要求为b , + f = 0 in Qb .n, = pon S证明如下：6n (b) = j 8b dV + j u 8b n ds，其中8bij s i ij jijuJ 8Wc 8b dV = f 8b dV = f 1/2(u + u )8b dV = f u 8b dV =f (u 8b ) dV J8bijV 司 司 Vi,j ji ijV i,j

9、由高斯定理可知：J (u 8b ) dV =J u 8b n ds 在边界面 S 上，iij，j s iij jb8b n= 8 P= 0，则 J(u 8b) dV =Ju 8b n dsij j iV i ij，j s i ij js-是已知的，所以 i对n (b)取一阶变分： csu跖广0。由以上推导可得:同理，由于% j + f = 0，其中f j是给定的，所以在Q内5n (b)=(U u )8b n ds，由极值条件8n (b)=0，得U = u，在S上。这就说明了ci i ij jci iuunc(b)取得极值时的七既满足外力已知的边界条件，也满足位移已知的边界条件，所以是正确解，是

10、真实的位移场。下面证明该位移场对应的极小值是最小值： 设外力已知边界条件下的应力分量为b j，气*=气+5bj(b) = f dW (b *)dV + J u b * n ds = f dW (b +8b )dV + J u (b +8b )n dsV c ijsu i ij jV c ij ijsu i ij ij j*(b) = n (b)+5n (b)+52n (b)，其中82n (b)= j w(8b)dV0，所以n c (b) w n(b)，所以这个极小值是最小值。证明完毕。29、Hellinger-Reissner混合变分原理：把 “ = 1/ 2(u + u )作为约束条件引入构

11、造泛函:r (u, 8, X) = J W(8)dV + J fudV J为拉氏乘子。 取变分：5n (u,8, X) = J aw 58 dV J 5ufdV J rv a8 司 v i i=J (o X )8 dV J 5X 8 1/2(u + uV ij i i v i ii, j j ,i由58和5X的任意性可得o X Hellinger-Reissner混合变分原理可表述为：真实的应力场和位移场使上述泛函取得最小值。u Pds J X 8 1/2( + u )dV ,v i i V 司 寸i，jj，isOV5u Pds-J X 08 )dV + J 1/2X (5u +5u )dV-J 认8 1/2(ui i V i iV i i，jj，iV)dV + J 1/ 2X (5u +5u )dV J 5u fdV J 5u PdsV ii, jj ,iv i ii i其中人 ijj ji，