《高等数学》空间曲面与空间曲线课件

1、曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：一、空间曲面与空间曲线研究空间曲面有两个基本问题：（1）已知一曲面的几何轨迹，建立曲面方程（2）已知一三元方程 研究曲面形状以下给出几例常见的曲面：解根据题意有所求方程为特别：球心在原点时方程为表示一个球面。一般地,方程例如:方程配方得这是球心在半径为 的球面方程.解根据题意有所求方程为二、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线 叫柱面的准线，动直线L 叫柱面的母线.给定一曲线如果动直线L沿曲线 平行移动 , 则动直线L所形成的曲面,称为柱面.播放二、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线 叫柱面的准线，动直线L 叫柱面的母线.给定一曲线如果动直

2、线L沿曲线 平行移动 , 则动直线L所形成的曲面,称为柱面.二、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线 叫柱面的准线，动直线L 叫柱面的母线.给定一曲线如果动直线L沿曲线 平行移动 , 则动直线L所形成的曲面,称为柱面.二、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线 叫柱面的准线，动直线L 叫柱面的母线.给定一曲线如果动直线L沿曲线 平行移动 , 则动直线L所形成的曲面,称为柱面.二、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线 叫柱面的准线，动直线L 叫柱面的母线.给定一曲线如果动直线L沿曲线 平行移动 , 则动直线L所形成的曲面,称为柱面.二、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线 叫柱面的准线，动直线L 叫柱面的

3、母线.给定一曲线如果动直线L沿曲线 平行移动 , 则动直线L所形成的曲面,称为柱面.二、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线 叫柱面的准线，动直线L 叫柱面的母线.给定一曲线如果动直线L沿曲线 平行移动 , 则动直线L所形成的曲面,称为柱面.二、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线 叫柱面的准线，动直线L 叫柱面的母线.给定一曲线如果动直线L沿曲线 平行移动 , 则动直线L所形成的曲面,称为柱面.二、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线 叫柱面的准线，动直线L 叫柱面的母线.给定一曲线如果动直线L沿曲线 平行移动 , 则动直线L所形成的曲面,称为柱面.二、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线 叫柱面的

4、准线，动直线L 叫柱面的母线.给定一曲线如果动直线L沿曲线 平行移动 , 则动直线L所形成的曲面,称为柱面.二、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线 叫柱面的准线，动直线L 叫柱面的母线.给定一曲线如果动直线L沿曲线 平行移动 , 则动直线L所形成的曲面,称为柱面.二、柱面这条定曲线 叫柱面的准线，动直线L 叫柱面的母线.给定一曲线则动直线L所形成的曲面,称为柱面.如果动直线L沿曲线 平行移动 , 观察柱面的形成过程:下面建立母线平行某坐标轴,准线在与母线垂直的坐标平面上的柱面方程.设柱面的母线平行z轴,准线 是xoy平面上的一曲线求柱面 的方程. 在所求柱面上任取一点则M在某条母线上,该母线与

5、的交点为由母线平行z轴知即解:反之,若点满足则而在过的母线上所以点M在所求曲面上.即又在上,故为所求曲面方程.综上知:缺z坐标的方程在空间表示母线平行z轴的柱面,其准线方程是类似,缺y坐标的方程在空间表示母线平行y轴的柱面,其准线方程是缺x坐标的方程在空间表示母线平行x轴的柱面,其准线方程是例1表示母线平行z轴的圆柱面，准线是xoy平面上的圆,方程为表示母线平行y轴的抛物柱面，准线是xoz平面上的抛物线,方程为平面表示母线平行z轴的平面.椭圆柱面 / 轴双曲柱面 / 轴抛物柱面 / 轴准线为：准线为：准线为：例2三、旋转曲面定义 一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面

6、. 这条定直线叫旋转曲面的轴播放三、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴三、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴三、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴三、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴三、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴三、旋转曲面定义

7、以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴三、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴三、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴三、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴三、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴三、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲

8、面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴三、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴三、旋转曲面定义 一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴下面建立以yoz平面上的曲线绕z轴旋转的曲面方程.如图将 代入设yoz平面上曲线在上,则有转到时,满足与 到z轴的距离相等,当将 代入得例2 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程解:旋转双曲面旋转抛物面解:解:旋转椭球面注意:上述例建立旋转曲面方程的方法是在旋转曲线和旋转轴在同一个平面上的条件下进行的，若旋转曲线和旋转

9、轴不在同一个平面上，则必须用建立旋转曲面的两个不变条件进行例直线绕轴旋转一周，求旋转曲面的方程解：在直线上取一点则当绕轴旋转到则有与 到z轴的距离相等,用代入上式，化简得即所求曲面方程为四、锥面设空间一定点和一定曲线过上每一点引一条过的直线，这些直线形成的曲面叫做锥面。定点称为锥面的顶点.定曲线称为锥面的准线.构成锥面的动直线,称为锥面的母线.例1试建立顶点在原点,准线为的圆锥面方程.解:在准线上任取一点则作母线在上任取一点点M在所求锥面上,由M三点共线知,即有即代入得圆锥面常见锥面及方程:空间曲线的一般方程空间曲线可看作空间两曲面的交线.五、空间曲线及其方程例如表示xoy平面上的圆心在原点半

10、径为1的圆.该圆还可表示为下列形式:例1 方程组 表示怎样的曲线？解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆.都表示xoy平面上的圆心在原点半径为1的圆.或例2 方程组 表示怎样的曲线？解上半球面,圆柱面,交线如图.六、空间曲线的参数方程:t为参数解 动点从 出发，经过 t ，运动到点 取时间 t 为参数，螺旋线的参数方程则得螺旋线的参数方程还可以写为七、空间曲线在坐标面上的投影如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影柱面投影曲线设空间曲线的一般方程：将曲线方程组消去变量z后得：曲线关于 的投影柱面,求它在xoy平面上的投影曲线.方程中缺z坐标,表示母线平行z的柱面,称为空间曲线在 面上的投影曲线,该柱面与xoy面交线为方程为类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的投影曲线：面上的投影曲线：将曲线方程组消去变量y后得将曲线方程组消去变量x