山东省济南市金柱2021-2022学年高三第二次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

2、要求的。1已知直线yk（x1）与抛物线C：y24x交于A，B两点，直线y2k（x2）与抛物线D：y28x交于M，N两点，设|AB|2|MN|，则（ ）A16B16C120D122已知集合的所有三个元素的子集记为记为集合中的最大元素，则（）ABCD3的展开式中的系数为（ ）ABCD4已知，是平面内三个单位向量，若，则的最小值（ ）ABCD55已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是( )A1B2CD6已知双曲线：（，）的右焦点与圆：的圆心重合，且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）A2BCD37已知集合U1，2，3，4，5，6，A2，4，B3，4，则（ ）A3，5，6

3、B1，5，6C2，3，4D1，2，3，5，68设集合，则集合ABCD9已知函数，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值是( )A3B2C4D510已知，则a，b，c的大小关系为（ ）ABCD11设双曲线的左右焦点分别为，点.已知动点在双曲线的右支上，且点不共线.若的周长的最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD12若与互为共轭复数，则（ ）A0B3C1D4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，求_.14有以下四个命题：在中，的充要条件是；函数在区间上存在零点的充要条件是；对于函数，若，则必不是奇函数；函数与的图象关于直线对称.其中正确命题的序号为_.15已知

4、函数，在区间上随机取一个数，则使得0的概率为 16连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点的坐标，则点落在圆内的概率为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知等差数列an的各项均为正数，Sn为等差数列an的前n项和，.（1）求数列an的通项an；（2）设bnan3n，求数列bn的前n项和Tn.18（12分）已知函数，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极小值；（3）求函数的零点个数19（12分）在四棱锥中，底面是平行四边形，为其中心，为锐角三角形，且平面底面，为的中点，.（1）求证:平面；（2）求证:.20（12分）眼保健操是一种眼睛的保健体操，主

5、要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的.某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图.（1）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；（2）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查

6、他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.附：0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.87921（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知圆C：，椭圆E：（）的右顶点A在圆C上，右准线与圆C相切.（1）求椭圆E的方程；（2）设过点A的直线l与圆C相交于另一点M，与椭圆E相交于另一点N.当时，求直线l的方程.22（10分）已知函数.（1）解不等式；（2）若，求证：.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】分别联立

7、直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，然后计算，可得结果.【详解】设， 联立则，因为直线经过C的焦点， 所以.同理可得，所以故选：D.【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。2B【解析】分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解.【详解】集合含有个元素的子集共有，所以在集合中：最大元素为的集合有个；最大元素为的集合有；最大元素为的集合有；最大元素为的集合有；所以故选：【点睛】此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解.3C【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为，则展开

8、式的通项为，由，得，所以所求的系数为.故选C.点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出，将的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.4A【解析】由于，且为单位向量，所以可令，再设出单位向量的坐标，再将坐标代入中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果【详解】解：设，则，从而，等号可取到故选：A【点睛】此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题5C【解析】画出不等式表示的平面

9、区域，计算面积即可.【详解】不等式表示的平面区域如图：直线的斜率为，直线的斜率为，所以两直线垂直，故为直角三角形，易得，所以阴影部分面积.故选：C.【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题.6A【解析】由已知，圆心M到渐近线的距离为，可得，又，解方程即可.【详解】由已知，渐近线方程为，因为圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为，所以圆心M到渐近线的距离为，故，所以离心率为.故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的问题，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.7B【解析】按补集、交集定义，即可求解.【详解】1，3，5，6，1，2，5

10、，6，所以1，5，6.故选：B.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.8B【解析】先求出集合和它的补集，然后求得集合的解集，最后取它们的交集得出结果.【详解】对于集合A，解得或，故.对于集合B，解得.故.故选B.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.9A【解析】根据条件将问题转化为，对于恒成立，然后构造函数，然后求出的范围，进一步得到的最大值.

11、【详解】，对任意的，存在实数满足，使得， 易得，即恒成立，对于恒成立,设，则，令，在恒成立，故存在，使得，即，当时，单调递减；当时，单调递增.,将代入得：，且，故选：A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题.10D【解析】与中间值1比较，可用换底公式化为同底数对数，再比较大小【详解】，又，即，故选：D.【点睛】本题考查幂和对数的大小比较，解题时能化为同底的化为同底数幂比较，或化为同底数对数比较，若是不同类型的数，可借助中间值如0，1等比较11A【解析】依题意可得即可得到，从而求出双曲线的离心率的取值范围；【详解】解：依题意可得如下图

12、象，所以则所以所以所以，即故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题.12C【解析】计算，由共轭复数的概念解得即可.【详解】，又由共轭复数概念得：，.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】求出向量的坐标，然后利用向量数量积的坐标运算可计算出结果.【详解】，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.14【解析】由三角形的正弦定理和边角关系可判断；由零点存在定理和二次函数的图象可判断；由，结合奇函数的定义，可判断；由函数图象对称的特点可判断【详解】解：在中，故

13、正确；函数在区间上存在零点，比如在存在零点，但是，故错误；对于函数，若，满足，但可能为奇函数，故错误； 函数与的图象，可令，即，即有和的图象关于直线对称，即对称，故错误故答案为：【点睛】本题主要考查函数的零点存在定理和对称性、奇偶性的判断，考查判断能力和推理能力，属于中档题15【解析】试题分析：可以得出，所以在区间上使的范围为，所以使得0的概率为考点：本小题主要考查与长度有关的几何概型的概率计算.点评：几何概型适用于解决一切均匀分布的问题，包括“长度”、“角度”、“面积”、“体积”等，但要注意求概率时做比的上下“测度”要一致.16【解析】连续掷两次骰子共有种结果，列出满足条件的结果有11种，利

14、用古典概型即得解【详解】由题意知，连续掷两次骰子共有种结果，而满足条件的结果为：共有11种结果，根据古典概型概率公式，可得所求概率故答案为：【点睛】本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）.（2）【解析】（1）先设等差数列an的公差为d（d0），然后根据等差数列的通项公式及已知条件可列出关于d的方程，解出d的值，即可得到数列an的通项an；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列bn的通项公式，然后运用错位相减法计算前n项和Tn.【详解】（1）由题意，设等差数列an的公差为d（d0），则a4

15、a5（1+3d）（1+4d）11，整理，得12d2+7d100，解得d（舍去），或d，an1（n1），nN*.（2）由（1）知，bnan3n3n（2n+1）3n1，Tnb1+b2+b3+bn31+531+732+（2n+1）3n1，3Tn331+532+（2n1）3n1+（2n+1）3n，两式相减，可得：2Tn31+231+232+23n1（2n+1）3n3+2（31+32+3n1）（2n+1）3n3+2（2n+1）3n2n3n，Tnn3n.【点睛】本题主要考查等差数列基本量的计算，以及运用错位相减法计算前n项和.考查了转化与化归思想，方程思想，错位相减法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力

16、.属于中档题.18（1）；（2）极小值；（3）函数的零点个数为【解析】（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）利用导数分析函数的单调性，进而可得出该函数的极小值；（3）由当时，以及，结合函数在区间上的单调性可得出函数的零点个数.【详解】（1）因为，所以所以，所以曲线在点处的切线为；（2）因为，令，得或列表如下：0极大值极小值所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以，当时，函数有极小值；（3）当时，且由（2）可知，函数在上单调递增，所以函数的零点个数为【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、极值以及利用导数研究函数的零点问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

17、19（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）通过证明，即可证明线面平行；（2）通过证明平面，即可证明线线垂直.【详解】（1）连，因为为平行四边形，为其中心，所以，为中点，又因为为中点，所以，又平面，平面所以，平面；（2）作于因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面又平面，所以又，平面，平面所以，平面，又平面，所以，.【点睛】此题考查证明线面平行和线面垂直，通过线面垂直得线线垂直，关键在于熟练掌握相关判定定理，找出平行关系和垂直关系证明.20（1）（2）能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系（3）详见解析【解析】（1）由题意可计算后三组的频数的总数，由其成等差数列

18、可得后三组频数，可得视力在5.0以上的频率，可得全年级视力在5.0以上的的人数；（2）由题中数据计算的值，对照临界值表可得答案；（3）由题意可计算出这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，可得X可取0，1，2，分别计算出其概率，列出分布列，可得其数学期望.【详解】解：（1）由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后三组的频数成等差数列，共有（人）所以后三组频数依次为24，21，18，所以视力在5.0以上的频率为0.18，故全年级视力在5.0以上的的人数约为人（2），因此能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系.（3）调查的100名学生中不近视的共有24人，从中抽取8人，抽样比为，这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人，X可取0，1，2，X的分布列X012PX的数学期望.【点睛】本题主要考查频率分布直方图，独立性检测及离散型随机变量的期望与方差等相关知识，考查学生分析数据与处理数据的能力，属于中档题.21（1）（2）或.【解析】（1）圆的方程已知，根据条件列出方程组，解方程即得；（2）设