数学必修课本知识系统汇总

1、数学必修一知识系统汇总第一章 集合与函数概念一、集合1集合的含义及表示：元素：一般地，我们把研究对象统称为元素。集合：一般地，我们把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用大括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法。 集合的表示方法 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。图示法：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。 自然语言。元素的特性：互异性，无序性，确定性。集合的分类 数集：x| 有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集。点集：（x，y）| 无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集。 （我们把不含任何

2、元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集。） N：全体非负整数组成的集合成为非负整数集（或自然数集）。 N*（N+）：所有正整数组成的集合称为正整数集。特殊的数集 Z：全体整数组成的集合称为整数集。 Q：全体有理数组成的集合称为有理数集。 R：全体实数组成的集合称为实数集。2集合间的关系及其运算：子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作。如果集合，但存在元素，且,我们称集合A是集合B的真子集，记作。如果集合A是集合B的子集（），且集合B是集合A的子集（），此时，集合A与集合B中的元素是

3、一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A=B。我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card来表示有限集合A中元素的个数。若card（A）= n，则A的子集数为2n，真子集数为（2n-1），非空真子集数为（2n-2）。一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AB，即AB=x|xA,或xB。取法：皆要但不重复。性质：AB=BA , A=A , AA=A ,AAB ,BAB.交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB，即AB=x|xA,且xB。取法：取公共部分。性质：AB=BA，A=，AA=A，ABA , ABB

4、.补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即。取法：U以内，A以外。性质： 摩根律：二、函数及其表示1.函数定义：一般地，我们有：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。2.函数的三要素：定义域，值域，对应关系。3.函数的表示方法：解析法，图像法，列表法。4.函数解析式的求证： 零点式：

5、待定系数法 注意：二次函数解析式的设法 顶点式： 换元法 一般式：5.定义域求法：给出优先；令函数解析式有意义；根据实际问题。6.函数值域的求法：观察法；配方法；换元法；根据单调性；方程法（根据判别式）；分离常数法数形结合（图像法）；复合函数求值法。7.分段函数：根据自变量的不同取值范围，将函数分别用不同的形式表示出来，这种函数叫做分段函数。注意：分段函数是一个函数而不是几个函数。8.区间：设是两个实数，而且，我们规定：满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为；满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为；满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为。这里的实数都叫做相应区间的端点。

6、注意：实数集R可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”。我们把满足的实数x的集合分别表示为。9.映射：一般地，我们有：设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称为从集合A到集合B的一个映射。注意：定义中的关键词“任意”、“唯一”；集合A中的元素可以多对一，不能一对多；集合A中的元素必有象，B中元素可以没原象；映射与一般是不同的；联系：函数是映射的特殊情况，映射是函数的推广。规定：若是从A到B的映射，那么与A中元素对应的B中的元素b叫做的象，叫做b的原象。A中元素在

7、B中必有象，且有唯一象；B中元素不一定有原象。规律：设A中有m个元素，B中有n个元素，则从A到B可以构成nm个映射。三、函数的基本性质1.单调性：一般地，设函数的定义域为I：增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上时增函数。如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间D上时减函数。2.判断函数单调性的方法：图像法；直接法；定义法。3.求函数单调性的步骤：取值；作差；判断符号；得出结论。（注意：求单调区间时应先求定义域。）4.复合函数单调性：同增异减。5.奇偶性：一般地，对于函数的定义域内任意一个x，都有

8、，那么函数就叫做偶函数。一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x，都有，那么函数就叫做奇函数。6.复合函数奇偶性：全奇则奇，全偶则偶。7.证明函数奇偶性的步骤：求函数定义域；求的值；比较与的关系；得出结论。8.在奇函数中，或没有意义。9.奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称。10.奇函数在对称区间上是有相同的单调性，相反的最值；偶函数在对称区间上是有相反的单调性，相同的最值。11.对称性：关于直线对称；关于直线对称。 关于点对称；关于点对称。12.周期性： 周期为T 周期为2T （为常数，且） 周期为2T13.平移规则： 左加 右减 上加 下减第二章 基本初等函数（）指数与指数幂的运

9、算1一般地，如果，那么x叫做的次方根，其中，且2 n为奇数：的次方根有一个。记作.为负数 n为偶数：负数没有偶次方根。 n为奇数：的次方根有一个。记作.为正数 n为偶数：的次方根有两个。记作.0的次方根为0.记作=0.3根式的性质：为奇数时， 为偶数时， 4正数的正分数指数幂的意义：.正数的负分数指数幂的意义：.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。5有理数指数幂的运算性质：;.指数函数1一般地，函数y=ax（a0,且a1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。2一般地，指数函数y=ax（a0,且a1）的图像和性质如下表所示。0a1a1图 像定义域R值 域（0，+）性 质

10、过定点（0，1），即x=0时，y=1在R上是减函数在R上是增函数当x0时，y1当x0时，0y1当x0时，0y1当x0时，y13判断指数函数的底数大小的方法：在第一象限内，从x轴开始，逆时针方向查找，先看到的图像底数最小，最后看到的图像底数最大。4注意：指数函数只能为一个自变量的形式；底数必须大于零且不等于一；幂的系数只能为一。5规定a0,且a1的原因：当a0时，如a=-2,x=1/2时，则该式无意义；当a=0时，0 x中当x0时，该式无意义；当a=1时，1x=1没有研究价值。对数与对数的运算一般地，如果ax=N（a0,且a1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作：logaN，其中a叫做对数的底

11、数，N叫做真数。通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N.在科学技术中常使用以无理数e=2.71828为底的对数，以e为底的对数称为自然对数，并且把logeN记为ln N. 零和负数没有对数。对数的性质 loga1=0 logaa=1对数与指数间的关系：当a0，a1时，ax=Nx= logaN5名称辨别：式 子名 称abc指数式ab=N底数指数幂对数式b=logaN底数对数真数对数的运算性质：如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)=logaM+logaN=logaM-logaN=nlogaM (nR)=logab=NlogaaN=Nlogab= (c0

12、,且c1）引申：logablogbclogcdlogde=logaelogablogba=1logab +log=0logab =对数函数一般地，我们把函数y=logax（a0,且a1）叫做对数函数。其中x是自变量，函数的定义域是（0，+）。一般地对数函数y=logax（a0,且a1）的图像和性质如下表所示。0a1a1图像定义域（0，+）值域R性质过定点（1，0），即x=1时y=0在（0，+）上是减函数在（0，+）上是增函数当0 x1时，y0当x1时，y0当0 x1时，y0当x1时，y0补充：关于x轴对称点（a,-b）M(a,b) 关于y轴对称点（-a,b）关于原点对称点（-a,-b）关于直线

13、y=x对称点（b,a） 当底数相同时，指数函数与对数函数互为 反函数 反函数。互为反函数的两个函数图像关于直线y=x对称。幂函数一般地，函数y=x叫做幂函数。其中x是自变量，是常数。规定：=1或2或3或1/2或-1 所有幂函数在区间（0，+）上都有意义，并且函数图像都过点（1，1）。幂函数y=x的性质 若0，幂函数图像都过点（0，0），（1，1），并且在区间0，+）上是增函数。 若0，幂函数在（0，+）上是减函数，当x从右方趋向于0时，图像在y轴右方无限逼近y轴，当x轴趋向于+时，图像在x轴上方无限逼近x轴。4.y=xy=x2y=x3y=x-1定义域RRR0，+）（-，0）（0，+）值 域R0

14、，+）R0，+）（-，0）（0，+）奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增函数（-，0减函数0，+）增函数增函数增函数减函数（-，0）（0，+）公共点均过点（1，1），且前四个图像还均过点（0，0）5.图像y=xy=x2y=x3y=x-1第三章 函数与方程一、方程的根与函数的零点1.关于x的实系数一元二次方程，设， 方程有根的等价条件是x0；恒成立的等价条件是 ；恒成立的等价条件是 ；一根为正，一根为负的等价条件是 ；两根为正的等价条件是 ；两根为负的等价条件是 ；一根为正，一根为零的等价条件是 ；一根为负，一根为零的等价条件是 ；两根均大于m的等价条件是 ；两根均小于m的等价条件

15、是 。2.设判别式，则有：当时，一元二次方程有两个不等的实数根，相应的二次函数的图像与x轴有两个交点；当时，一元二次方程有两个相等的实数根，相应的二次函数的图像与x轴有唯一的交点；当时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图像与x轴没有交点。3.零点：对于函数，我们把使的实数x叫做函数的零点。4.方程有实数根函数的图像与x轴有交点函数有零点。5.求函数零点的方法：代数法（解方程）；几何法（图像法）；6.求函数零点的步骤：令；解方程；写出零点。7.一般地，我们有：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根。二、用二分法求方

16、程的近似解1.二分法：对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。2.给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：确定区间，验证，给定精确度；求区间的中点c；计算；若，则c就是函数的零点；若，则令（此时零点）；若，则令（此时零点）。判断是否达到精确度：即若，则得到零点近似值（或b）；否则重复第步。三、函数模型及其应用1.常数函数不增长；2.一次函数匀速增长；3. 函数增长，增长速度因的不同而不同；4. 函数增长，增长速度越来越快，最后成爆炸式增长；5.函数增长，增长速度越来越慢，最后几乎不增长。6

17、.当时，总会存在一个，当时，有。7.当时，总会存在一个,当时，有。8.利用现有函数模型解决实际问题；建立确定的函数模型解决问题；建立拟合函数模型解决问题。数学必修二知识系统汇总第一章 空间几何体一、空间几何体的结构1.多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。2.旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。这条定直线叫做旋转体的轴。 棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个各四边形的公共边都互相平行，

18、由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。柱 圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 棱锥：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是由一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公

19、共锥 顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。3 圆锥：以直角三角形的一天直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。圆锥也有轴、底面、侧面、母线。 棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。原棱锥台 的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，棱台也有侧面、侧棱、顶点。 圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，叫做圆台。圆台也有轴、底面、侧面、母线。球： 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球。半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直

20、径。二、空间几何体的三视图和直观图1.投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。其中我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面。2.中心投影：我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。3.平行投影：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。4.三视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图。几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。5.

21、斜二测画法：对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图。斜二测画法是一种特殊的平行投影画法。斜二测画法原则：横不变，纵减半。斜二测画法步骤：在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点。画直观图时，把它们画成对应的轴与轴，两轴交于点，且使（或135），它们确定的平面表示水平面。已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段。已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，长度为原来的一半。三、空间几何体的表面积与体积面积、体积几 何 体 侧面积表面积体 积柱 体锥 体台 体球 体第二章 点、直线、平面之间的位置关系1.平面：我们常常把水平的平面画成

22、一个平行四边形，用平行四边形表示平面，平行四边形的锐角通常画成45，且横变长等于其邻边长的2倍。如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出。2.平面的表示：为了表示平面，我们常把希腊字母，等写在代表平面的平行四边形的一个角上；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称。3.补充：1个平面将空间分成2个部分；2个平面将空间分成3或4个部分；3个平面将空间分成4或6或7或8个部分。4.异面直线：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。5.空间两条直线的位置关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点。

23、共面直线 平行直线：同一平面内，没有公共点。异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。6.异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，我们把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）【规定：两条直线平行时，两直线所成的角为0】。如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直。两条互相垂直的异面直线，记作。注意：异面直线所成的角是空间中的线线角；用平面角来刻画异面直线所成的角；异面直线所成的角的范围是；异面直线所成的角与点的位置无关；选点时，一般选在一条异面直线上，再过该点作另一条直线的平行线，如果在特殊图形中，一般选端点或中点；若两条异面直线所成的角

24、为90，我们称这两条异面直线相互垂直（以算代证）。7.直线与平面的位置关系：直线在平面内有无数个公共点；直线与平面相交有且只有一个公共点（直线与平面相交于点A，记作）；直线与平面平行没有公共点（直线与平面平行，记作）。直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。8.两个平面之间的位置关系：两个平面平行没有公共点（平面与平面平行，记作）；两个平面相交有一条公共直线。_O_P_A9.如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作。直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足。10. 直线和平面所成角：如图，一条直线PA和一个平面相交

25、，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0的角。_B_L_A_Q_P_N_M_O11.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。如右图二面角可记作二面角或二面角或二面角或二面角【注意：二面角是一个面面角，范围是】。在二面角的棱

26、上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线ON和OM，则射线ON和OM构成的NOM叫做二面角的平面角。一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。12. 公理：公理1：【文字语言】如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。【符号语言】注意：点动成线、线动成面。直线、平面都可以看成点的集合。点在直线上，记作;点在直线外，记作。如果直线上的所有点都在平面内，就说直线在平面内，或者说平面经过直线，记作；否则，就说直线在平面外，记作。文字语言符号语言图形语言点A在直线L上点A不在直线L上点A在平面内点A不在平面内直线L在平面内直线L不

27、在平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。作用：公理2刻画了平面特有的基本性质，它给出了一个确定平面的依据。引申：推论：经过直线和直线外一点，有且只有一个平面。推论：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论：经过两条平行直线，有且只有一个平面。公理3：【文字语言】如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。【符号语言】作用：用来判断平面是否相交；用来证明点共线；用来证明线过点。公理4：（平行公理）平行于同一条直线的两条直线互相平行。作用：公理4表明，空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行。它给出了判断空间两条直线平行的依据。它表述的性质通常叫做空

28、间平行线的传递性。13.定理：（等角定理）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。（直线与平面平行的判定）【文字语言】平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。（线线平行线面平行）【符号语言】（平面与平面平行的判定）【文字语言】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。（线面平行面面平行）【符号语言】，引申：推论：如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。（直线与平面平行的性质）一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。（线面平行线线平行）作用：直线与平面平行的

29、性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。（平面与平面平行的性质）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行线线平行）（直线与平面垂直的判定）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（平面与平面垂直的判定）一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。（直线与平面垂直的性质）垂直于同一个平面的两条直线平行。（平面与平面垂直的性质）两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。14.补充：证线线平行的方法：.定义法；.线面平行的性质定理；.面面平行的性质定理；.平行公理证线面平行的方法：.线面平行的判定定理；.定义法；.面

30、面平行证线面平行证面面平行的方法：.定义法；.面面平行的判定定理；.平面平行的传递性三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条垂线垂直。三垂线定理逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。射影长定理：.从平面外一点向平面所引的斜线段、垂线段中，垂线段最短。.如图（射影长定理图）：若，则；若，则。. 如图（射影长定理图）：若，则；若，则。最小角定理：斜线和平面所成的角是这个斜线与平面内过斜足的所有直线所成角中的最小角。（最小角定理图）余弦定理：第三章 直线与方程一、直线的倾斜角与斜率1.倾斜角：当直线与x轴相交

31、时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线向上方向之间所成的夹角叫做直线的倾斜角。当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0。则直线的倾斜角的取值范围为0180。2.确定一条直线的条件：直线上的一点和这个直线的倾斜角可以惟一确定一条直线。3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角。4.坡度（倾斜程度）：日常生活中，我们用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即5.斜率：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，我们用斜率表示直线的倾斜程度。斜率常用小写字母k表示，即。注意：倾斜角是90的直线没有斜率。6.经过两点的直线的斜率公式为7.

32、对于两条不重合的直线，其斜率分别为，有注意：若直线可能重合时，我们得到或8.如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果它们的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直，即9.两条直线垂直的条件：二、直线的方程1.直线的点斜式方程（简称点斜式）：【当直线的倾斜角为0时，tan0=0，即k=0，这是直线与x轴平行或重合，的方程就是】注意：直线的点斜式方程仅适用于有斜率的情形，所以在求直线的方程时，应先讨论直线有无斜率。2.截距：我们把直线与x轴交点的横坐标叫做直线在x轴上的截距。我们把直线与y轴交点的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距。注意：截距不是距离，截距是数。3.直线的

33、斜截式方程（简称斜截式）：注意：直线的斜截式方程仅适用于有斜率的直线。4.直线的两点式方程（简称两点式）：注意：直线的两点式方程不适用于没有斜率或斜率为0的直线。若中有或时，直线没有两点式方程。当时，直线平行于x轴，直线方程为，或；当时，直线平行于x轴，直线方程为，或。5.直线的截距式方程：注意：直线的截距式方程不适用于平行于x轴（或y轴）或过原点的直线。6.线段的中点坐标公式：若点的坐标分别为，且线段的中点M的坐标为，则 7.直线的一般式方程(简称一般式)：8.在方程中，当时，方程表示的直线平行于x轴；当时，方程表示的直线平行于y轴；当时，方程表示的直线与x轴重合；当时，方程表示的直线与y轴

34、重合。9.已知直线，则的充要条件是：的充要条件是：三、直线的交点坐标与距离公式1.若方程组有唯一解与相交，且有唯一交点；若方程组无解；若方程与方程可化成同一个方程与重合。引申：2.当变化时，方程表示直线束。3.方程表示过直线与直线交点的任意一条直线，但它不能表示这条直线。延展【常用结论】:4.过与交点的直线方程可设为（不表示）或（不表示）5.与直线平行的直线方程可设为6.与直线垂直的直线方程可设为7.两点间的距离公式为：8.原点与任一点的距离公式为：9.点到直线的距离公式为：10.两条平行直线与间的距离为：第四章 圆与方程一、圆的方程1.圆的标准方程：注意：以方程的解为坐标的点都在圆上；在圆上

35、的点，它的坐标都是方程的解。2. 点在圆上 点在圆内 点在圆外3.单位圆：若，则称其为单位圆。4.圆的一般方程：【注意：当时，方程表示以为圆心，为半径长的圆；当时，方程表示一个点；当时，方程不表示任何图形。】二、直线、圆的位置关系1.直线与圆的位置关系 直线与圆相交，有两个公共点方程组有两组不同实数解 直线与圆相切，只有一个公共点方程组有唯一实数解 直线与圆相离，没有公共点方程组无实数解2.求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减。3.求经过两圆交点的圆系方程：三、空间直角坐标系1.如图是单位正方体。以为原点，分别以射线的方向为正方向，以线段的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴。

36、这是我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴。通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称平面、平面、平面。2. 数轴：一个点与一个实数一一对应。 平面直角坐标系：一个点与一个有序实数对一一对应。 空间直角坐标系：一个点与一个有序实数组一一对应。3. 如图，设点M位空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点P，Q和R.设点P，Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组。反过来，给定有序实数组，我们可以在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x，y和z的点P，Q和R，分别过P，Q和R

37、各作一个平面，分别垂直于x轴、y轴和z轴，这三个平面的唯一的交点就是有序实数组确定的点M。这样，空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示，有序实数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作。其中x叫点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。4. 表示的图形是球。5.在空间直角坐标系中，任意一点与原点间的距离数学必修三知识系统汇总第一章 算法初步一、算法与程序框图1.算法：算法指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程。在数学中，算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。2.算法与计算机：计算机解决任何问题都要依赖于算法。只

38、有将解决问题的过程分解为若干个明确的步骤，即算法，并用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，计算机才能够解决问题。3.算法的特征：有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的。确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果。可行性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一个都准确无误才能完成问题。不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以由不同的算法。普遍性：一个算法应该适用于求某一类问题的解，而不是只用来解决一个具体的问题。

39、【注意：有限性、确定性和可行性是算法特征里最重要的特征，是检验一个算法的主要依据。】4.程序框图：程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形。5.程序框图的组成：程序框图由程序框及流程线组成；在程序框图中，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；带有方向箭头的流程线将程序框连接起来，表示算法步骤的执行顺序。6.基本程序框及其功能：图形符号名 称功 能终端框（起止框）表示一个算法的起始和结束输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息处理框（执行框）赋值、计算判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处表明“是”或“Y”；不成立时表明“否”或“N”流程线连接程序框连接点连

40、接程序框图的两部分【注意：起、止框是任何流程不可少的，表明程序的开始和结束。输入和输出可用在算法中任何需要输入、输出的位置。算法中间要处理数据或计算，可分别写在不同的处理框内。一个算法步骤到另一个算法步骤用流程线连接。如果一个框图需要分开来画，要在断开处画上连接点，并标出连接的号码。】7.程序框图的画法：画一个算法的程序框图，应先对问题进行算法分析，必要时可先用自然语言设计该问题的算法，弄清算法的流程，然后把算法步骤逐个转化为框图表示，最后用流程线依步骤顺序连接成程序框图。画程序框图的规则：使用标准的框图符号；框图一般按从上到下、从左到右的方向画；除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个

41、退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一种公式多分支判断，有几种不同的结果。在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。8.算法的基本逻辑结构：顺序结构：顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，其特点是步骤与步骤之间，框与框之间是按从上到下的顺序依次执行，不会引起程序步骤的“跳转”，它是任何一个算法都离不开的基本结构。条件结构：概念：在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，这种先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构称为条件结构。这是一种依据指定条件选择执行不同指令的指控结构。结构

42、形式满足条件？否 是步骤B步骤A步骤A满足条件？否 是循环结构：概念：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的步骤称为循环体。结构形式循环体满足条件？否 是满足条件？循环体是 否.直到型循环的结构特征：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环。.当型循环的结构特征：在每次执行循环体前，先对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环。二、基本算法语句1.任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句，它们分别是输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。2.输入语句：

43、输入语句是指程序运行中由用户输入数据的语句。它的一般格式是INPUT “提示内容”；变量。【注意： “提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息；输入语句中，提示内容要写在“ ”中，并且与变量之间要用“；”隔开；一个输入语句可以输入多个变量，中间用“，”隔开；输入语句不仅能够输入具体的常数，还可以输入单个或多个字符，但不能是函数、变量或表达式。】3.输出语句：输出语句是将程序运行的信息显示出来的语句。它的一般格式是PRINT “提示内容”；表达式。【注意：“提示内容”一般是提示用户输出什么样的信息；输出语句中，提示内容与表达式之间要用“；”隔开；一个输出语句可以输出多个变量的值，中间用“，”隔开

44、；输出语句中的表达式是指程序要输出的数据，输出语句可以输出常量、变量或表达式的值，输出语句具有计算功能。】4.赋值语句：赋值语句是赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。它的一般格式是变量=表达式。其中，“=”叫做赋值号，其作用是先计算“=”右边表达式的值，然后把这个值赋给“=”左边的变量，使该变量的值等于表达式的值。【注意：赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式；赋值号左右两边不能对换。赋值语句是将赋值号右边的表达式赋给赋值号左边的变量；不能利用赋值语句进行代数式（或符号）的演算；赋值号与数学中的等号的意义不同，赋值号左边的变量如果原来没有值，则在执行赋值语句后，获得一个值，如果原已有值，则执

45、行该语句后，以赋值号右边表达式的值代替该变量的原值，即将原值“冲掉”。】5.语句中的常用符号运算符号加减运算：，在程序语句中还是写为，；乘法运算：在程序语句中写作；除法运算：或在程序语句中写作；乘方运算：在程序语句中写作，也可用连乘的形式。函数符号算术平方根：表示；绝对值：表示；取整：表示不大于的最大整数。6.条件语句：概念：条件语句是处理条件结构的算法语句。条件语句的格式：图一满足条件？否 是步骤B步骤A图二满足条件？否步骤A 是IF 条件 THEN 语句体1ELSE 语句体2END IFIF 条件 THEN 语句体END IF与图一相对应的条件语句的格式是IFTHENELSE格式 与图二相

46、对应的条件语句的格式是IFTHEN格式其功能是：当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条 其功能是：当计算机执行上述语句时，首先对IF后的件进行判断，如果（IF）条件符合，那么（THEN）执行 条件进行判断，如果（IF）条件符合，那么（THEN）语句体1，否则（ELSE）执行语句体2。 执行语句体，否则执行END IF之后的语句。两种条件语句的区别与联系共同点：两种语句都首先对条件进行判断，然后才执行相应的语句体；执行完语句体后退出条件结构。从形式上看，都以IF开始，最后以END IF结束。区别：第一种语句包含两个语句体，满足条件时执行一个语句体，不满足条件时执行另一个语句体；而第二种语句只有

47、一个语句体，是满足条件时执行的语句体。【注意：利用条件语句编写程序应该：明确该程序解决什么问题，这个问题有几种不同的情况，每一种情况成立的条件是什么；确定需要使用几个条件语句来设计程序，每一个条件语句能解决问题的哪一种情况，可以先设计解决问题的算法，画出相应的程序框图，然后把算法步骤及框图内容使用相应语句描述。】7.循环语句：循环语句的格式与功能：1.直到型循环结构对应的UNTIL语句图三循环体满足条件？否 是图四满足条件？循环体是 否与直到型循环结构（图三）相对应的程序语句称为UNTIL 与当型循环结构（图四）相对应的程序语句为语句，它的一般格式是： WHILE语句，它的一般格式是：WHIL

48、E 条件 循环体WEND DO 循环体LOOP UNTIL 条件功能：当计算机执行上述语句时，先执行一次DO和UNTIL 功能：当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的之间的循环体，再对UNTIL后的条件进行判断。如果条件不 真假，如果条件符合，就执行WHILE和WEND之间符合，继续执行循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍不 的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，符合，再次执行循环体，直到条件符合时为止。这时，计算机 再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条不再执行循环体，直到跳到UNTIL语句后，接着执行UNTIL 件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接语句之后的

49、语句。 跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。WHILE语句和UNTIL语句的关系：UNTILWHILE区别计算机的执行顺序先执行循环体，在判断条件，然后再循环体，再条件，反复执行，直到条件满足先判断条件，再执行循环体，然后再判断条件，再循环体，反复执行，直至条件不满足“UNTIL先循环后判断，WHILE先判断后循环”条件的内容此语句中条件是循环结束的条件，即满足此条件时，循环结束，执行循环结构后面的语句；不满足时，才执行循环体此语句的条件是执行循环体的条件，即满足条件时，执行循环体；不满足时，退出循环，执行循环结构后面的语句“WHILE满足就循环，UNTIL满足就停止”对循环体的执

50、行次数此语句由于先执行循环体，后判断条件，因此，在任何一个这样的语句中，循环体至少要执行一次此语句由于现判断条件，后执行循环体，因此循环体可以一次也不执行而退出循环结构联 系这两种语句都可以实现计算机反复执行循环体的目的，一般来说，WHILE语句与UNTIL语句都可以相互转化几种对应关系：变量初始值与循环体中变量值的对应。初始值有时会直接影响循环体中的变量值。变量的初始值与循环条件的对应。一般来讲，初始值可以确定循环条件。三、算法案例1.辗转相除法：辗转相除法是求两个正整数的最大公约数的方法。2.辗转相除法具体算法：用两个数中较大的数除以较小的数判断玉树是否为0，若不为0，则用较小的数除以余数

51、再判断余数是否为0，反复进行上述步骤，直到余数为0为止。这时的除数就是最大公约数。3.更相减损术：更相减损术是求两个正整数的最大公约数的方法。4.更相减损术的内容：任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，则以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减去小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，这个数就是所求的最大公约数。5.更相减损术与辗转相除法比较：更相减损术是作减法运算，而辗转相除法是作除法运算；更相减损术运算次数较多，但每一次的计算都较简单。6.秦九昭算法：秦九昭算法是能求多项式函数值的一种算法。7.秦九昭算法步骤：对于任意一元n次多项式，首

52、先将多项式改写为令则递推公式为 其中所谓递推，就是在一系列数中已知第一个数，则其后的每一个数都可由前面的数求出。根据上面的递推公式，我们可由依次求出所有的。在上述公式中，是反复执行的，因此可用循环结构实现。8.进位制：概念：进位制是人们为了计数或计算方便而约定的计数系统。约定“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几。如果是大于1的整数，那么以为基数的进制数可以表示为为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数。十进制数一般不标基数；由于每一种进制的基数不同，所以，每一种进制所用的数字个数也不同；任何一个进制数都可以写成不同位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式；不同进制之间的互化：进制数化为十

53、进制数：先把进制数写成不同数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，再按十进制数的运算法则计算出结果。十进制数转化为进制数：可以用进制数的基数去除十进制数，再用去除所得的商，反复进行，直至商为0，把每次相除所得的余数取出即可。此法称为除取余法。两个非十进制数之间的互化：将进制的数化为进制的数，可以先将进制的数化为十进制数，再将所得十进制数化为进制的数。第二章 统计一、随机抽样1.简单随机抽样：一般地，设一个总体含有个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为样本，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。2.简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数较少；从总体

54、中逐个地抽取；不放回抽取；每一次抽取时，总体中各个个体被抽到的可能性相同，在整个抽样过程中各个个体被抽到的机会也都相等（即等可能性）。从而保证了抽样方法的公平性。3.两种简单随机抽样方法：抽签法（抓阄法）；随机数法4.抽签法（抓阄法）步骤：一般地，抽签法就是把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本。【上述步骤可简写为：编号；制签：大小相同，形状一样，质地均匀；抽签：不透明容器，均匀搅拌；依号取样。】5.随机数法步骤：编号；随机确定开始数字；从选定的数开始读数；根据号码得到样本。6.随机数法就是利用随机数表

55、、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样。7.系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样。8.系统抽样的特点：适用于总体容量较大的情况；由于抽样的间隔相等，因此系统抽样也称作等距抽样。在进行大规模的抽样调查时，系统抽样比简单随机抽样要方便；不放回抽样；等可能抽样。9.系统抽样步骤：一般地，假设要从容量为的总体中抽取容量为的样本，可以按下列步骤进行系统抽样：先将总体的个个体编号；确定分段间隔，对编号进行分段。当（是样本容量）是整数时，取；在第一段用简单随机抽样确定一个个体编号；按照一定的规则抽取样本。通常是将加上

56、间隔得到第2个个体编号，再加得到第3个个体编号，依次进行下去，直到获取整个样本。10.分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样。11.分层抽样的特点：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；更充分的反映了总体的情况；等可能性抽样，每个个体被抽到的可能性都是。12.三种抽样方法的比较：类 别共 同 点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的可能性相等从总体中逐个抽取总体中的个体数较少系统抽样将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取在起始部分抽样

57、时采用简单随机抽样总体中的个体数较多分层抽样将总体分成几层，分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成二、用样本估计总体1.两种估计方式：用样本的频率分布估计总体的分布；用样本的数字特征估计总体的数字特征。2.分析数据的两种基本方法：作图【作图可以达到两个目的：从数据中提取信息；利用图形传递信息。】画表格【画表格可以达到的目的是：通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式】。3.频率分布直方图：在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示。各小长方形的面积的总和等于1【】。直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的

58、形状，是我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式。但直方图也丢失了一些信息，如原始数据不能在图中表示出来。4.频率分布折线图：连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图。随着样本容量的增加，作图时所分的组数也增加，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为总体密度曲线，它能够更加精确地反映出总体在各个范围内取值的百分比。5.茎叶图：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好。它不但可以保留原始数据，而且能够展示数据的分布情况，给数据的记录和表示都带来了方便。6.众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。7.中位数：将一组数据按大小依次排

59、列，把处在中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。8.平均数：如果有个数，那么叫做这个数的平均数。总体中所有个体的平均数叫做总体平均数；样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。【任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，平均数可以反映出更多关于样本数据全体的信息。】9.用频率分布直方图估计中位数和平均数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等；平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。10.标准差：考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示。11.方

60、差：从数学的角度考虑，有时用标准差的平方方差代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具。12.补充：标准分：【是个人成绩；是整体平均分；是标准差。】在、中，为事件多发区；为事故必发区。三、变量间的相关关系1.相关关系：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系。2.正相关与负相关：从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系成为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系成为负相关。3.回归直线：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。4.回归直线方程：回归直线方程