简明微积分教案0202初等函数的求导

1、教案一一0202课程机电数学课题初等函数的求导授课对象机电类专业二年制高职生课时2教材简明微积分 主编：李亚杰，高等教育出版社教学 目标认知 目标1、熟练掌握基本初等函数的导数公式和求导法则；2、掌握复合函数的求导法则；3、掌握分析应用问题的方法；能力 目标1、能够熟练应用函数的求导法则求函数的导数；2、综合运用求导公式、求导法则求初等函数的导数；3、逐步提高数学思维能力与分析问题解决问题的能力。素质 目标提高数学文化修养，培养正确的思维方法；提高应用数学分析问题的 能力。教学 重点1、函数求导的四则运算法则；2、复合函数的求导法则。教学 难点1、函数求导法则的正确运用2、综合运用求导公式、求

2、导法则求初等函数的导数教学 思路在讲清函数四则运算求导法则的基础上， 通过例题，启发学生正确运用法 则；通过引例导入复合函数的求导法则， 易于学生接受，典型例题结合练习巩 固所学知识；运用知识解决实际问题的过程，利于学生解决问题能力的培养。学习效果 评价方式作业反馈与提问教学过程步 骤教/学活动教学内容时间(分)01教师板书为了能迅速而准确地求出常见函数的导数，本节将介绍一些基本求导法则.一、函数的和、差、积、商的求导法则02教师讲解法则1设函数u u(x)和v v(x)都在x处可导，则它们PPT的和、差、积、商(分母不为零)在x处也可导，且u(x) v(x)/ u/(x) v/(x) ;(2

3、) u(x) v(x)/u/(x) v(x) u(x) v/(x) ;,、/, 、，、，、/,、(3) 3 u (x) v(x)2 u(x) v (x) (v(x) 0).v(x)v2(x)在(2)中，若令 v(x) C (常数)，C u(x)/ ?03学生思考C u(x)/ C u/(x)04教师指出例1求卜列函数的导数.05教师举例，、_ 2(1) y 3ln x 5x启发讲解(2) f(x) 2x3 Jx 7tanx 3x；学生参与(3)(x) xe ；题解过程解：/_2 /_/2 /y (3ln x 5x ) (3ln x) (5x )/2 /33(ln x)/ 5(x2)/ 10 x

4、x(2) -(x) (2x3 Vx 7tanx 3x)/752、/一，、/x、/ 一 9 一2x. 八2(x2) 7(tanx) (3 ) 7x2 7 sec x 3 In 3.(3)/ (x) (xex) /(x)/ ex x(ex)/exxex(x 1)ex.cosx/例 2 已知 f(x),求 f (x), f (0).x 1解/cosx / (cosx) / (x 1) cosx (x 1)/f(x)(. )2x 1(x 1)2(x 1)sinx cosx2，(x 1)2/(0 1)sin 0 cos0f /(0)c11 (u)21 .(0 1)在利用上述法则求导时，有时需先将函数表达

5、式化简变形再求导，使计算简化.06教师指出一，.26、/例 3 已知 f (x) x (ln x F)，求 f (1). x07引导学生解 f (x) x2 In x 6 ；求解，及 时纠错-/2/_ /_21_f (x) (x In x) (6) 2xln x x 2xln x x xf/(1) 1 (2ln 1 1) 1.二、复合函数的求导法则弓1例钢棒长度的变化率08教师板书设某钢棒的长度为L,当温度H每升高1 C时，其长度增加4 cm ,而每过1小时气温上升2 C ,那么钢棒长度关于时间 的增加有多快？09通过引例由于钢棒长L是温度H的函数，而温度 H又是时间t的函的解决过数，所以L是

6、t的复合函数.又L对H的变化率为程，归纳 法则dLdH4cm/ C , H又t的变化率是 2 C/h,则L对t的dHdt变化率就是当时间每变化 1小时钢棒增加的长度，即dLdLdH，c。 /u428cm / hdtdHdt上面引例体现了复合函数的求导所具有的普遍意义，由此给出复合函数的求导法则.法则2若函数y f(u)点u处可导，且u (x)在点x处 可导，则复合函数 y f (x)在点x处也可导，且dy dy du.dx du dx上述法则乂引与成yx/yu/ ux/, 或y/f /(u) /(x).应用这个法则时，结果中的中间变量u应还原为(x).这个法则可推广到有限个可导函数所构成的复合

7、函数.例如，由可导函数 y f (u) , u (v) , v (x)构成的复合函数y f (x)的导数1410教师指出11教师举例启发讲解学生回答 函数的复 合过程/yx y/u uv Vx.例4 求卜列曲数的导数：ysin 2x ；(2)y(1 x)5；(3)y2 cos xyloga(x2 x 1)(a0, a1).解(1)设u2x, 则y sin u.因为/Cyu cosu, Ux 2,所以yxyUux 2cosu2cos2x.(2)设 u 1 x,则y5 gu ,而/4yu 5u/,u x1所以/yxyu/Ux5u45(1 x)4.设 u cos x ,贝uy u2./，而 yu 2

8、u,/u xsin x,所以/yx/yu ux 2u( sinx)2 sin x cosxsin2x.(4)设 u x2 x1,则y loga u ,而/ yu1u ln auX 2x 1 .所以/yx/yu Ux1u ln a(2x 1)2x 1(x2 x 1) In a从上面的例题可以看出，应用复合函数求导法则的关键，在 于正确地分解复合函数，然后应用求导法则和相应的导数公式进 行计算，对复合函数的分解比较熟练后，就不必再写出中间变量,12教师指出只要把中间变量所代替的式子默记在心，直接根据法则，按步骤 由外向里逐层求导，最后整理，写出求导结果.例如：y (1 x)5,默记1 x u.则y

9、/5(1 x)4 (1 x)/ 5(1 x)4 ( 1)5(1 x)4.例5求下列函数的导数：(1) f(x) ecosx；(2)解 f/(x)(ecosx)/g (x) arcsin、xcosx/cosxe (cos x) sin x e13教师举例 将学生思 维深入(2)g/(x)(arcsin x)/111、1 x 2 x 2、x(1 x)教师举例综合运用法则初等函数的求导问题，需要综合运用函数的和、差、积、商 的求导法则和复合函数的求导法则.例6求下列函数的导数.4-2(1) f (x) x1 x2 ;(2) f (x),.sin 3x15解 f / (x) (x . 1 x7)/(x

10、)/ . 1 x2 x(. 1 X2)/,1 x21 x2.12 (1 x2)/1xx-2.11(2x)2x1 2x2.1 x2学生尝试 教师及时纠错教师举例 启发学生 用知识解 决应用问 题启发讲解(2)g/(x)(s；/(,x 2)/sin3x (sin3x)/ x 22(sin 3x)sin 3x 3cos3x、x 22 . x 22sin 3xsin 3x 6(x 2)cos3x2 . x 2 sin2 3x例7 一飞机在离地面 2 km的高度，以200 km/ h的速度飞 临某目标上空，以便进行航空摄影.试求飞机飞至该目标正上方时摄影机转动的角速度.解建立如图坐标系（图2-2）.把目

11、标放在坐标原点.设飞机和目标的水平距离为x km ,则x是时间t的函数x x(t)的值. dt是摄影机拍摄目标的俯角.本题所求是：当x 0时,图2-2由图可知,tan2所以 x,2arctan , x x(t), xddt142 xdxdt 42 dxx2 dt根据题总事这里负号表示x在减少，故得dt 44002 X16学生练习 能力训练当飞机飞至该目标正上方时，摄影机转动的角速度为：d .400 ,、|x 0 2 |x 0 100 ( rad/h).出4 x2.求卜列函数的导数：yxx 3 sin x 5ex ；-3A ,一y 4 log 2 x 3 tan x ；x42d.2。、x x 1

12、y x (2 Jx)；(4)y ；x x(5)sin ;(6)f (x) x3 3x； u (1 t2) cost；(8)f (x) xjx ln x；ln t 1工 /、1 cos(9)(t) ；(10)f()彳.，s1nt1 cos2.求卜列函数的导数：一 2.、100(1) y (3x1)；(2) y 3sin(4x 5) ；(3) y *；1 x2 ；(4)f (x) tan；x(5) y et t;(6)y ln(4x2 3x 1) ；,r、3一3(7) y cosx ；(8)y sin x；/c、-sin x c x(9) y 2；(10)y sin 2 ；.一 2. . 2x .(11) f (x) ln( x 1) ； (12) g(x) arctan(e ).3.求卜列函数的导数：(1) y (x 1) V x2 1;(2) y - x2 a2 ( a 为常数);2小、12x 1 y12 ；(4)yn；%,1x2xx 1 22一、, 2、 4(5) y xsin x cosx ； (6) f (x) (x sin x) .4.求卜列函数在给定点处的导数：5 y x 3sin x,在 x 0, x ；2(2)y xarctanx,在 x 0, x 1；(3) y 1 x2 arcsinx,