第三章矩阵的初等变换与线性方程组习题含答案

1、 第三章矩阵的初等变换与线性方程组3.4.1基础练习1 211.已知A0 11,求 R(A).2 512.已知B TOC o 1-5 h z 3210032 10000000010,求 R(B).0.若矩阵A,B,C满足A BC ,则()(A)R(A) R(B)(B) R(A) R(C)(C) R(A) R(B)(D) R(A) maxR(B), R(C).设矩阵X满足关系AXA 2X ,其中A1015.设矩阵A210,求(E A)3 256. A是m n矩阵，齐次线性方程组 Ax 0有非零解的充要条件是7.若非齐次线性方程组 Axb中方程个数少于未知数个数，那么().(A) Ax b必有无穷

2、多解;(C) Ax 0仅有零解；8.求解线性方程组Xix2X31(1) 2x1 3x2 3x33,Xi3x23x3(B) Ax 0必有非零解；(D) Ax 0 一定无解.7x 2y 3z 15(2) 5x 3y 2z 1510 x 11y 5z 36Xi X2 2X3 X40(3) 2x1 x2 x3 x4 02x1 2x2 x3 2x4 0X1 2x23x2.若方程组有无穷多解，则.若 12 0(A)2,1,1(B)0 13.4.2提高练习.设A为5阶方阵，且123.设矩阵A35a450(A) a 5时，R(A) 2(C)a 1 时，R(A) 5X3X3X2X33)(4) (2)(1,0,2

3、)T, 2 (0,1, 1)T都是线性方程组 Ax0的解，则A ()011(D) 422010*R(A) 3,则 R(A)=.24,以下结论正确的是().3 7a3.设A是4 3矩阵，且R(A)122.设 A 4 t331112 3k.设 A 12k3k2 3(1) R(A) 1(B) a 0时，R(A) 4(D) a 2时，R(A) 1102 ,而 B 021 0B为3阶非零矩阵，且,问k为何值，可使6.设矩阵A20 ,则 R(AB)3AB 0 ,则 t (2) R(A) 2(3) R(A) 3.k 1 1 11 k 1 1,且 R(A) 3,贝U k11k1111k 7.8.设n阶方阵3，

4、试将A表示为初等矩阵的乘积4A的个行元素之和均为零，且 R（A）则线性方程组Ax通解为a11a12a13a)4a14a13ai2an0001a21a21a21a21a24a23a22a210100,B,P1a31a32a33a34a34a33a32a310010a41a42a43a44a44a43a42a411000009.设A其中A可逆,0P2010.设n阶矩阵A与B等价，则必有(A)当 A(C)当 A11.设 A(A) a(C) aa(a0时,0）时，Ba 2bb 或 a 2b12.齐次线性方程组(B)当 Aa(a 0)时,(D)当 A0时, *，若 R(A )X1X2(B)(D)则必有（

5、2b2bX1X22X3X300的系数矩阵记为A ,若存在三阶矩阵0,使X1X30得AB0,则（(A)(B)(C)(D)13.设A是三阶方阵，将A的第一列与第二列交换得到,再把B的第二列加到第三列得到C ,则满足AQ C的可逆矩阵Q为（）.0 1 0 TOC o 1-5 h z 1001 0 10 1 01010 010101000110111000011 2 314.已知Q2 4 t , P为三阶非零矩阵，且 PQ 0 ,则()3 6 9t 6时，R(P) 1t 6时，R(P) 2t 6时，R(P) 1t 6时，R(P) 215.若线性方程组x1X2X3X4X2X3X4X1aa2a3a4有解，

6、则常数a1, a2 ,a3, a4应满足条件11 有无穷多个解，则a2 TOC o 1-5 h z a11X116.设方程组1a1x211ax317.设n阶矩阵A与n维列向量A，若 T R(A),则线性万程组()Ax必有无穷多解Ax必有唯一解A x .一,T0仅有零解T 0 yA x .一,T0必有非零解.T 0 y18.设A为m n矩阵，B为n m矩阵，则线性方程组 (AB)x(A)当n m时仅有零解(C)当mn时仅有零解(B)当n m时必有非零解(D)当m n时必有非零解(3)x1 x2 2x3 019.求 的值，使齐次线性方程组X1 (1)X2 X3 03(1)x1x2 (3)x3 0有

7、非零解，并求出通解(2)x1 2x2 2x3 120.设2Xi (5)X2 4X3 22x1 4x2 (5)x3问 为何值时，此方程组有唯一解，无解或无穷多解？并在有无穷多解时，求其通解21.问a,b为何值时，线性方程组有唯一解、无解、有无穷多解？并求出有无穷多解时的通解x1x1x2x3x4x2 2x3 2x4 1x2 (a 3)x3 2x4 b3x12x2x3 ax4x322 问 为何值时，线性方程组4x1 x2 2x32 有解，并求通解6x1 x2 4x3 2323.已知3阶矩阵A的第一行为（a,b,c）, a,b,c不全为零，矩阵1224366，k 为常数.若 AB 0 ，求线性方程组

8、Ax 0 的通解 .24 设A 是 n 阶可逆方阵，将A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B .1 ）证明 B 可逆； （ 2）求 AB3.4.1基础练习1. R(A) 2.2.4.由已知(A 2E)X故X (A2E) 1A5.8.9.第三章参考答案R(B) 3.因为3.因为R(A)(A 2E,A)1212340(1)无解;(2)6.R(A)7.(3)X1X2X3min R(B),R(C)故选 C .12,c有无穷多解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且小于未知数的个数3。10.将解向量代入即可，选A.3.4.2提高练习1.因为R(A)3,.一 *所以R(A )0.2.

9、由矩阵A15 3a5时,R(A)2,所以选A).3.由于B100,故 R(A)R(AB)4.由于A7(t3),由已知A 0,故t3.3k5.由 A 12k可知:(k1)(k 2)当 k 1 时，R(A) 1;当 k2时,R(A)2 ;当 k 1且 k 2时，R(A) 3.6.k 3.7.将A通过初等变换化为单位阵,再将每次的初等变换通过初等矩阵的乘积表示8.9.k(1,1,|,1),kRo本题考查初等变换与初等矩阵之间的关系及初等矩阵的性质，由已知1_ -1_ -11_ _.故 B R P2 APP2 A，选(C)。10.选(D).11.选(C).12.选(C)13.选（D）,本题考查初等矩阵

10、的概念与性质，根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系，对题中给出的行（列）变换通过左（右）乘一相应的初等矩阵来实现。对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵,Q为此两个初等矩阵的乘积。由题意AQ14.19.20.选（C）.当 0时,当 1,15.a2a3a416.2.17.选（D）.18.选(D).C1(C1R)1时,C2 2 (C2 R).110,方程组有唯一解。当10时,方程组无解，1时，方程组有无穷多解，通解为 xc20 (C1,c2 R).121.a 1时，方程组有唯一解； a 1且b1且b 1时，方程组有无穷多解，且解为111122CiC20100011时，方程组无解1122.1时有解，解为 1k 20123.因为 AB 0所以 R(A) R(B) 3。而 a,b,c不全为