人教A版高中数学高三一轮第八章平面解析几何8.8曲线与方程考向归纳

1、第八章平面解析几何8.8曲线与方程考向归纳考向1直接法求轨迹方程.已知点F(0,1),直线l：y=1,P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q,且QpQf=fpfQ,则动点p的轨迹c的方程为()A.x2=4yB.y2=3xC.x2=2yD.y2=4x【解析】设点P(x,y),则Q(x,1).QPQf=fPfQ,.(0,y+1)(-x,2)=(x,y1)(x,2),即2(y+1)=x22(y1),整理得x2=4y,，动点P的轨迹C的方程为x2=4y.故选A.【答案】A2.已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程.【解】如图，设动圆圆心为Oi(x,

2、y),由题意，得|0iA|=|0iM|.当O1不在y轴上时，过Oi作OiHMN交MN于H,则H是MN的中点，|OiM|=.x2+42,又|OiA|=4x42+y2,7x-42+y2=、x2+42.化简得y2=8x(xW0)当Oi在y轴上时，Oi与。重合，点Oi的坐标为(0,0)也满足方程y2=8x,，动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.厂|规律方法|利用直接法求轨迹方程的关键和注意点.利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简.运用直接法应注意的问题(1)在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.(

3、2)若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.考向2定义法求轨迹方程(1)4ABC的顶点A(5,0),B(5,0),ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是.(2)已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y2)2=1外切，圆C的圆心轨迹为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n.求圆C的圆心轨迹L的方程；求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.【解析】(1)由题意知|CA|CB|=63).【答案】9A=1(x3)916(2)设圆x2+(y+4)2=1的圆心O(0,4),圆x2+(y2)2=1的圆心O(02)圆C的半径为

4、r,由题意知，|CO|=r+1,|COMr+1,从而|CO|=|CO,I所以l为线段。的垂直平分线，l的方程为y=-1.由m=n知，动点M到定点F和定直线l的距离相等.由抛物线的定义知，动点M的轨迹Q是以点F(0,1)为焦点，以直线y=1为准线的抛物线，且p=2,从而轨迹Q的方程为x2=4y.厂I规律方法|定义法求轨迹方程的适用条件及关键.适用条件动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义.关键定义法求轨迹方程的关键是理解平面几何图形的定义.提醒：弄清各种常见曲线的定义是用定义法求轨迹方程的关键.变式训练1.如图所示，已知C为圆(x+我)2+y2=4的圆心，点A单

5、,0),P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP所在的直线上，且MQAP=0,aP=2AM.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程.【解】圆(x+/)2+=4的圆心为C(-y2,0),半径r=2,f-T一.T.MQAP=0,AP=2AM,.MQAP,点M为AP的中点，即QM垂直平分AP.连结AQ,则|AQ|=|QP|,|QC|-|QA|=|QC|-|QP|=|CP|=r=2.又|AC|=2位2,根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(-V2,0),A(V2,0)为焦点,实轴长为2的双曲线，由c=出，a=1,得b2=1,因此点Q的轨迹方程为x2-y2=1.考向3相关点(代入)法求轨迹方程(1)已知长为1+山

6、的线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点,且洋=岑前,则点P的轨迹方程为.(2)设直线xy=4a与抛物线y2=4ax交于两点A,B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求ABC的重心的轨迹方程.【解析】(1)设A(a,0),B(0,b),P(x,y),则AP=(xa, y),PB=(-x,b- y),由AP=(x-a, y)等(x,x a =,22xb-y，_2+V2所以2Wy,)b=r(2又a2+b2=3+2/2,所以x2+y2=1.22【答案】尹y2=1(2)设 ABC的重心为G(x, y),点 C 的坐标为(xo, y), A(xi, yi), B(x2, y2).

7、由方程组x y = 4a, |y2= 4ax,消去y并整理得x212ax+16a2=0.x1 + x2= 12a,yi + y2= (x1 一 4a) 十 (x2 4a) = (x1 + x2) 8a = 4a. G(x, y)为 ABC 的重心，x=y=xo+ x1+ x23=yo+ y + y2 _3=xo+ 12a3，yo+ 4a 3xo=3x12a,yo=3y4a.又点C(xo,yo)在抛物线上，将点C的坐标代入抛物线的方程得2(3y-4a)=4a(3x-12a),即(一?)=9(x-4a1又点C与A,B不重合，.二xw(6班)a,.ABC的重心的轨迹方程为%4L2=43a(x4a)(xw(6班)a).T规律方法|相关点(代入)法的基本步骤1.设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1，y1).2.求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式y1=g x, yx1=fx,3.代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.变式训练1.P是椭圆x2+y2=1(ab0)上的任意一点，abF1,F2是它的两个焦点，O为坐标原点，有一动点Q满足OQ=P?i+P?2,则动点Q的轨迹方程是.【解析】由题意知Fi(-c,0),F2(c,0),设P(xo,Yo),Q(x,v