2013年九年级数学圆与相似综合专题(1)(1)

1、圆与相似综合专题如图，在O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连AD并延长至点F，使DF=AD，连BC、BF。（1）求证：CDEAFB；（2）当=时，求的值。CEB=AED,AE=EB,AD=DF,AB=2AE,AF=2AD,AE:AB=AD:AF,EAD=DAF,EADBAF,AED=ABF=CED,BCE=BAF,(同弧所对圆周角相等),故CBE=AFB,因此CBEAFB(AAA)；BE/FB=CB/AF=CB/(2AD),CB/AD=2BE/FB=2*5/8=5/4.2、平行四边形ABCD中，以AB为直径的O交CD于M，交AD于E，且AM平分BAD，连接BE交AM于F。（1）求证：DM=

2、CM；（2）若AD=5，AM=8，求MF的长。DM=CM AO=BO则：AD/OM/BCAD=OM=5o内，AB=2OM=2*5=10三角形ABM是Rt AMB=90三角形ABM中，AM=8则：BM2=AB2-AM2 =102-82则：BM=6因为：AM平分BAD 和AD/OM所以：DAM=OAM=AMO 而：o内 AEB=90则：OMBEMFB内： FMB=90由于直角三角形非直角和为90 则：AMO=MBF=t（设为t）ABM中：tant=MB/AM=6/8=3/4MFB中：tant=MF/MB=MF/6则：MF/6=3/4 MF=9/2.3.如图，O是ABC外接圆，AB=AC=10，BC

3、=12，P是弧上一动点，过点P作BC的平行线交AB延长线与点D.（1）当点P在什么位置时，DP是O的切线？说明理由；（2）当DP是O的切线时，求DP的长. （1）当P是BC中点时，DP是O的切线.理由如下：.1分AB=AC，又PA是O的直径. 又AB=AC，PABC.DP/BC，PDAP.DP是O的切线.（2）连接OB，设PA交BC于点E. 由垂径定理得，BE=.在RtABE中，据勾股定理，.设O的半径为r，则OE=8-r.在RtOBE中，.解得r=. 4.如图，P是O直径AB延长线上的一点，过P作直线分别交O于C、D两点，弦DFAB于H点，CF交AB于点E.(1)求证：DEEF；(2)若DE

4、CF，P15，O半径为4，求CF的长. 解：(1)EA垂直平分DF，故DEEF.(2)DEF是等腰直角三角形，DCFP+450600，连OF，则HOF600，OHOF2，DHHF，DEEF，在RTCDE中，CE，CF+5.如图，ABC内接于O，AB=AC，CD平分ACB交O于点D，交AB于点F，连接AO并延长交CD于点E(1)求证：AD=DE；(2)若DF=CE=2，求的值(1)证明OA平分BAC；(2)设EF=xDCADAF，即解之得，,.6、如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上，过点O作BC的平行线交AC于点E，交过点A的直线于眯D，且D=BAC。（1）求证：AD是半圆O的切线；（2）

5、若BC=2，CE=，求AD的长。解 析 （1）要证AD是半圆O的切线只要证明DAO=90即可；（2）由两组角对应相等的两个三角形相似可得到DOAABC，据相似三角形的对应边成比例可得到AD的长 解 答 （1）证明：AB为半圆O的直径，BCA=90又BCOD，OEACD+DAE=90D=BAC，BAC+DAE=90AD是半圆O的切线（2）解：BCOD，AOEABC，BA=2AO， AOBA= AEAC= 12，又CE= 2，AC=2CE=2 2在RtABC中，AB= AC2+BC2= (2 2)2+22=2 3，D=BAC，ACB=DAO=90，DOAABC ADAC= OABC即 AD2 2=

6、 32AD= 67、如图，已知AB为O的直径，弦CDAB，垂足为H。（1）求证：AHAB=AC2；（2）若过A的直线与弦CD（不含端点）相交于点E，与O相交于点F，求证：AEAF=AC2；（3）若过A的直线与直线CD相交于点P，与O相交于点Q，若AH=1，AB=4，请直接写出APAQ的值（不必写过程）（1）连接CB，证明CAHBAC即可；（2）连接CF，证AECACF，根据射影定理即可证得；（3）由（1）（2）的结论可知，APAQ=AC2成立解答：证明：（1）连接CB，AB是O的直径，ACB=90，而CAH=BAC，CAHBAC，ACABAHAC，即AHAB=AC2；（2）连接FB，易证AHE

7、AFB，AEAF=AHAB，AEAF=AC2；（也可连接CF，证AECACF）（3）结论APAQ=AC2成立（同理）8、如图，点A、B、C、D在O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE=ED，延长DB到点F，使FB=BD，连接AF。（1）证明：BDEFDA；（2）试判断直线AF与O的位置关系，并给出证明。（1）根据题意可得出 BDFD= EDAD，ADB=ADF，根据一个角相等，夹这个角的两边对应成比例从而得出BDEFDA；（2）连接OA，OB，OC，由AB=AC，得出OAB=OAC，又OB=OC，从而得出AOBC即可；（3）直线AF与O相切由BDEFDA，得出EBD=AFD，可得出BEF

8、A，根据AOBE，可得出AOFA，即直线FA与O相切解答：证明：（1）在BDE和FDA中，FB12BD，AE12ED，BDFDEDAD23（2分）又BDE=FDABDEFDA（5分）（2）连接OA，并连接OB和OC，如下图所示，AB=AC，OA=OA，OB=OC，OABOAC，OAB=OAC（6分）又OB=OCAOBC（7分）（3）直线AF与O相切（8分）由BDEFDA，那么EBD=AFDBEFA（9分）由AOBE知，AOFA，直线FA与O相切（11分9、如图，四边形ABCD内接于O，AC为直径，BD平分ADC，BD与OC相交于E。（1）求证：BC2=BEBD；（2）若直径AC=6，BEED=

9、31，求OE的值。1.证明:BCE=ADB=CDB;CBE=DBC.CBEDBC,BC/BE=BD/BC,BC=BExBD。2.解：ADB=CDB.弧AB=弧BC,连接OB,则OB垂直AC.OC=OB=AC/2=32,则BC=OC+OB=36.BE:ED=3:1,设BE=3X,则BD=4X.BC=BExBD(已证),即36=3X*4X=12X.X=3,BE=3X=33.故OE=(BE-OB)=3.10.已知：如图，在ABC中，A=45，以AB为直径的O交AC于点D，且AD=DC，CO的延长线交O于点E，过点E作弦EFAB，垂足为点G（1）求证：BC是O的切线；（2）若AB=2，求EF的长（1）

10、证明：连接BD，AB为O的直径，ADB=90，BDAC，AD=CD，AB=BC，A=ACB=45， ABC=90，BC是O的切线；（2）解：AB=2， BO=1，AB=BC=2，CO=BO2+BC2=5，EFAB，BCAB，EFBC，EGOCBO，EGBCEOCO，EG215，EG=255，EF=2EG=45511、如图，已知，已知ABC，以边BC为直径的圆与边AB交于点D，点E为弧BD的中点，AF为ABC的角平分线，且AFEC。（1）求证：AC与O相切；（2）若AC=6，BC=8，求EC的长。证明：（1）如图，连接BE，AF是BAC的角平分线，AFEC，ACH=AHCBHE=AHC，ACH=

11、BHEE是 BD的中点，EBD=BCEBC是O的直径，BEC=90（ 3分）EBH+BHE=90BCE+ACE=90AC是O的切线（4分）解：（2）在RtABC中，AC=6，BC=8，AB=10又ACH=AHC，AH=AC=6BH=AB-AH=10-6=4（6分）EBH=ECB，EBHECB EBEC= HBBC= 12在RtEBC中，EC=2EB，BC=8，EC2+EB2=BC2EC= 16 55 12、如图，O与A相交于C、D两点，A、O分别是两圆的圆心，ABC内接于O，弦CD交AB于点G，交O的直径AE于点F，连接BD。、（1）求证：ACGDBG；（2）求证：AC2=AGAB。（3）若A

12、、O的直径分别为6、15，且CGCD=14，求AB和BD的长。解：（1）在和中，。（2）连结AD，则在和中又即。（3）连结CE，则与相交于C，D两点圆心O，A在弦CD的垂直平分线上，即AO垂直平分弦CD的直径分别为，15在和中，即在中，由勾股定理，得即解得（舍去负值）在中，由勾股定理，得（舍去负值）由（2），有即解得由（1），有，得。13、如图，在RtABC中，BC=9，CA=12，ABC的平分线BD交AC于点D，DEDB交AB于点E。（1）设O是BDE的外接圆，求证：AC是O的切线；（2）设O交BC于点F，连接EF，求的值。证明：（1）DEDB，O是RtBDE的外接圆BE是O的直径，点O是B

13、E的中点，连接ODC=90DBC+BDC=90又BD为ABC的平分线ABD=DBCOB=ODABD=ODBODB+BDC=90ODC=90又OD是O的半径AC是O的切线（2）设O的半径为r，在RtABC中，AB2=BC2+CA2=92+122=225AB=15（7分）A=A，ADO=C=90ADOACBAO/AB=OD/BC (15-r)/15=r/9 r=45/8 BE=45/4又BE是O的直径BFE=90BEFBACEF/AC=BE/BA=45/4/15=3/414、如图，A是以BC为直径的O上一点，ADBC于点D，过点BO的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P。（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是O的切线；（3）若FG=BF，且O的半径长为3，求BD和FG的长度。证明：（1）BC是O的直径，BE是O的切线EBBC又ADBCADBEBFCDGC，FECGAC G是AD的中点DG=AGBF=EF（2）证明：连接AO，ABBC是O的直径BAC=90在RtBAE中，由（1），知F是斜边BE的中点AF=FB=EFFBA=FAB又OA=OBABO=BAOBE是O的切线EBO=90EBO=FBA+ABO=FAB+BAO=FAO=90PA是O的切线（3）解：过点F作FHAD于点HBDAD