[文学研究]一、二阶线性微分方程解的结构课件

1、一、二阶线性微分方程解的结构第四模块微积分学的应用第十三节二阶常系数线性微分方程二、二阶常系数线性微分方程的解法三、应用举例一、二阶线性微分方程解的结构二阶微分方程的如下形式y + p(x)y + q(x)y = f (x) 称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程. f (x) 称为自由项，当 f (x) 0 时，称为二阶线性非齐次微分方程，简称二阶线性非齐次方程. 当 f (x) 恒为 0 时，称为二阶线性齐次微分方程， 简称二阶线性齐次方程. 方程中 p(x)、 q(x) 和 f (x) 都是自变量的已知连续函数. 这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边每一项含 y 或 y 或 y，

2、且每项均为 y 或 y 或 y 的一次项， 例如 y + xy + y = x2 就是二阶线性非齐次方程. 而 y + x(y)2 + y = x2 就不是二阶线性方程.定理 1如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的两个解，y = C1 y1 + C2 y2仍为该方程的解，证因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个解，与所以有其中 C1， C2 是任意常数.则函数于是有y + p(x)y + q(x)y = 0所以 y = C1y1 + C2y2 是 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解.定义设函数 y1(x) 和 y2(x) 是定义在某

3、区间 I 上的两个函数，k1 y1(x) + k2 y2(x) = 0不失一般性，考察两个函数是否线性相关， 我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数， 事实上，当 y1(x) 与 y2(x) 线性相关时，有 k1 y1 + k2 y2 = 0， 其中 k1, k2 不全为 0，如果存在两个不全为 0 的常数 k1和 k2，使在区间 I 上恒成立.则称函数 y1(x) 与 y2(x) 在区间 上是线性相关的，否则称为线性无关.即 y1 与 y2 之比为常数.反之，若y1 与 y2 之比为常数，则 y1 = l y2，即 y1 - l y2 = 0. 所以 y1 与 y2 线性相

4、关. 因此，如果两个函数的比是常数，则它们线性相关；例如函数 y1 = ex，y2 = e -x，所以，它们是线性无关的.如果不是常数，则它们线性无关.定理 2如果函数 y1 与 y2 是二阶线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解，y = C1 y1 + C2 y2是该方程的通解，证因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解，所以，由定理 1 知 y = C1 y1 + C2 y2 也是该方程的解.又因为 y1 与 y2 线性无关，即 y1 与 y2 之比不为常数，故C1 与C2不能合并为一个任意常数，因此 y = C

5、1 y1 + C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解.则其中 C1, C2为任意常数.所以它们中任一个都不能用另一个 ( 形如 y1 = ky2 或 y2 = k1 y) 来表示.定理 3如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个特解，y = Y + y*，是线性非齐次方程的通解.证因为 y*与 Y 分别是线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 和线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解，所以有y* + p(x)y* + q(x)y* = f (x)，Y + p(x)Y + q(x)Y = 0 .Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则又因为 y

6、= Y + y*， y = Y + y*， 所以y + p(x)y + q(x)y = (Y + y* ) + p(x)(Y + y* ) + q(x)(Y + y*)= (Y + p(x) Y + q(x)Y) + ( y* + p(x) y*+ q(x)y*)= f (x).求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：(1) 求线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的线性无关的两个特解 y1 与 y2，得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2.(2) 求线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的一个特解 y*.那么，线性非齐次方程的通解为 y

7、 = Y + y*. 又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，故 y = Y + y* 中含有两个任意常数. 即 y = Y + y* 是线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的通解.这说明函数 y = Y + y* 是线性非齐次方程的解，y + p(x)y + q(x)y = f1 (x) + f2 (x)，y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)，和y + p(x)y + q(x)y = f2 (x)则是方程 的特解.定理 4设二阶线性非齐次方程为的特解，证因为 y1* 与 y2* 分别是 与 的特解，y1* + p(x)y1* +

8、q(x)y1* = f 1(x)，与y2* + p(x)y2* + q(x)y2* = f 2(x) .于是有= f 1(x) + f 2(x) ， 所以有= y1* + p(x)y1* + q(x)y1*+ y2* + p(x)y2* + q(x)y2*即 y1* + y2* 满足方程 ，二、二阶常系数线性微分方程的解法如果二阶线性微分方程为y + py + qy = f(x) ，其中 p、 q 均为常数， 则称该方程为二阶常系数线性微分方程.设二阶常系数线性齐次方程为y + py + qy = 0 .考虑到左边 p，q 均为常数， 我们可以猜想该方程具有 y = erx 形式的解，其中 r

9、 为待定常数. 将 y = rerx, y = r2erx 及 y = erx 代入上式，erx (r2 + pr + q) = 0 . 1.二阶常系数线性齐次方程的解法由于erx 0，因此，只要 r 满足方程r2 + pr + q = 0，即 r 是上述一元二次方程的根时，y = erx 就是式的解.方程称为方程的特征方程. 特征方程根称为特征根.得1 特征方程具有两个不相等的实根 r1 与 r2，2 特征方程具有两个相等的实根，这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个特解 y1 = erx.还需再找一个与 y1 线性无关的特解 y2，为此，设 y2 = u(x)y1，其中 u(x)为待

10、定函数. 将 y2 及其一阶、二阶导数 y2 = (uerx) = erx(u(x) + ru(x)，y2 = erx (u(x) + 2ru(x) + r2u(x)， 代入方程 y+ py + qy = 0 中，得因而它的通解为所以 y1 与 y2 线性无关， 都是 的解， 即 r1 r2.那么，这时函数即注意到 是特征方程的重根， 所以有 r2 + pr + q = 0及 2r + p = 0.且 erx 0，因此只要 u(x) 满足则 y2 = uerx就是 式的解， 为简便起见，取方程 u(x) = 0 的一个解 u = x， 于是得到方程 且与 y1 = erx 线性无关的解 y2

11、= xerx. 因此，式的通解为3 特征方程具有一对共轭复根 r1 = a + ib 与 r2 = a ib . 这时有两个线性无关的特解 y1 = e(a + ib )x 与 y2 = e(a - ib )x.这是两个复数解， 为了便于在实数范围内讨论问题，我们再找两个线性无关的实数解. 由欧拉公式 (这公式我们将在无穷级数章中补证)，可得于是有由定理 1 知，以上两个函数 eax cosbx 与 eax sinbx均为 式的解，且它们线性无关. 因此，这时方程的通解为 上述求二阶常系数线性齐次方程通解的方法称为特征根法，其步骤是：(1) 写出所给方程的特征方程；(2) 求出特征根； (3)

12、 根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其通解.例 1求方程 y - 2y - 3y = 0 的通解.解该方程的特征方程为 r2 - 2r 3 = 0, 它有两个不等的实根 r1 = - 1， r2 = 3, 其对应的两个线性无关的特解为 y1 = e- x 与 y2 = e3x,所以方程的通解为例 2求方程 y - 4y + 4y = 0 的满足初始条件 y(0) = 1， y(0) = 4 的特解.解该方程的特征方程为 r2 - 4r + 4 = 0，求得将 y(0) = 1，y(0) = 4 代入上两式，得 C1 = 1，C2 = 2，y = (1 + 2x)e2x. 其对应的

13、两个线性无关的特解为 y1 = e2x 与 y2 = xe2x，所以通解为因此，所求特解为 它有重根 r = 2.例 3求方程 2y + 2y + 3y = 0 的通解.解该方程的特征方程为 2r2 + 2r + 3 = 0，它有共轭复根对应的两个线性无关的解为所以方程的通解为例 4求方程 y + 4y = 0 的通解.解该方程的特征方程为 r2 + 4 = 0，它有共轭复根 r1,2 = 2i. 即a = 0，b = 2. 对应的两个线性无关的解 y1 = cos 2x. y2 = sin 2x.所以方程的通解为 2.二阶常系数线性非齐次方程的解法1 自由项 f (x) 为多项式 Pn(x)

14、.设二阶常系数线性非齐次方程为y + py + qy = Pn(x),其中 Pn(x) 为 x 的 n 次多项式. 当原方程 中 y 项的系数 q 0 时， k 取 0；当 q = 0，但 p 0 时，k 取 1；当 p = 0， q = 0 时，k 取 2. 因为方程中 p、q 均为常数且多项式的导数仍为多项式， 所以可设 式的特解为其中 Qn(x) 与 Pn(x) 是同次多项式，例 5求方程 y - 2y + y = x2 的一个特解.解因为自由项 f (x) = x2 是 x 的二次多项式，则代入原方程后，有且 y 的系数 q = 1 0，取 k = 0 .所以设特解为比较两端 x 同次

15、幂的系数，有解得A = 1，B = 4，C = 6.故所求特解为例 6求方程 y + y = x3 x + 1 的一个特解.解因为自由项 f (x) = x3 x + 1 是一个 x 的三次多项式，则代入原方程后，有且 y 的系数 q = 0， p = 1 0，取 k = 1.所以设方程的特解为比较两端 x 同次幂的系数：解得故所求特解为2 自由项 f (x) 为 Aeax 型设二阶常系数线性非齐次方程为y + py + qy = Aeax，其中 a，A 均为常数.由于 p，q 为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，其中 B 为待定常数， 当 a 不是 式所对应的线性齐次方程的特征方程 r2

16、+ pr + q = 0 的根时，取 k = 0；当 a 是其特征方程单根时，取 k = 1； 当 是其特征方程重根时，取 k = 2.因此，我们可以设 的特解例 7求方程 y + y + y = 2e2x 的通解.解a = 2 它不是特征方程 r2 + r + 1 = 0 的根，取 k = 0，则代入方程，得故原方程的特解为所以，设特解为.B72=例 8求方程 y + 2y - 3y = ex 的特解.解a = 1 是特征方程 r2 + 2r - 3 = 0 的单根，取 k = 1，则代入方程，得故原方程的特解为所以，设特解为,41=B3 自由项 f (x) 为 eax (Acos wx +

17、 Bsin wx)型设二阶常系数线性非齐次方程为y + py + qy = eax (Acos wx + Bsin wx)，其中 a，A ，B 均为常数.由于 p，q 为常数，且指数函数的各阶导数仍为指数函数， 正弦函数与余弦函数的导数也总是余弦函数与正弦函数，因此, 我们可以设 有特解其中 C，D 为待定常数.取 k = 0，是根时，取 k = 1，代入 式，求得 C 及 D. 当 a + wi 不是 式所对应的齐次方程的特征方程的根时，例 9求方程 y + 3y - y = ex cos 2x 的一个特解.解自由项 f (x) = ex cos 2x 为 eax(Acoswx + Bsin

18、wx) 型的函数，则 且 a + wi = 1 + 2i，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程 r2 + 3r 1 = 0 的根，取 k = 0，所以设特解为代入原方程，得比较两端 cos 2x 与 sin 2x 的系数，得解此方程组，得故所求特解为例 10求方程 y + y = sin x 的一个特解.解自由项 f (x) = sin x 为 eax(Acoswx + Bsinwx) 型的函数，且 a = 0，w = 1，则代入原方程，得 且 a + wi = i 是特征方程 r2 + 1 = 0 的根，取 k = 1，所以，设特解为比较两端 sinx 与 cosx 的系数，得故原方程的

19、特解为而对应齐次方程 y + y = 0 的通解为Y = C1cosx + C2sinx.故原方程的通解为例 11方程 y + 4y = x +1 + sinx 的通解.解自由项 f (x) = x +1 + sinx可以看成 f1 (x) = x +1 和 f2 (x) = sin x 之和，y + 4y = x +1，y + 4y = sin x .和方程 的特解易求得，设方程 的特解为的特解.所以分别求方程代入，得3Asin x = sin x.所以得原方程的特解原方程所对应的线性齐次方程为 y + 4y = 0，其通解为Y = C1cos 2x + C2sin 2x，故原方程的通解为三、应用举例例 12 弹簧振动问题设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为 m 的物体，当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹性恢复力大小相等，方向相反，设给物体一个初始位移 x0 初速度 v0， 则物体便在其平衡位置附近上下振动. 已知阻力与其速度成正比，O 试求振动过程中位移 x 的