数字信号处理习题答案：第二章 离散时间信号与系统

1、 第二章 离散时间信号与系统2.1 有一任意线性系统,其输入为，输出为，证明：若对所有， =0，则对所有也必须为零。 证明：设,因为对于所有,所以 由于线性系统满足叠加原理，因此 2.2利用线性的定义式(2.25),证明:理想延时系统(例2.1)和滑动平均系统(例2.2)都是线性系统.证明： （1）理想延时系统使 理想延时系统是线性系统。（2）滑动平均系统 使 则 = =滑动平均系统也是线性系统。2.3对于下列系统，判断系统是否是（1）稳定的，（2）因果的，（3）线性的，（4）是不变的，和（5）无记忆的。（a） （已知）（b）（c）（d）（e）（f）（g）（h）（a）解： （已知）令，由线性系

2、统的定义,则 系统是线性的而 系统是时变的若是有界输入序列，而又是已知的，那么它们的乘积也是有界的，即系统在有界输入有界输出（BIBO）意义下是稳定的。由无记忆系统的条件，每一个值上的输出只决定于同一值上的输入，显然该系统是无记忆的。由因果系统的定义，输出序列在的值仅仅取决于输入序列在得值，可以判断系统是因果的。（b） 解：，该系统实现了从以前某时刻到的序列求和。显然是有记忆的。令，由线性系统的定义,则系统是线性的又，系统是时不变的。系统的输出只由时刻以前的序列值决定，那么系统是因果的。当输入为有界序列时，虽然这个响应是有限的，然而却是无界的，不存在一个固定的有限正数，使对于全部的都成立，系统

3、为不稳定系统。（c）解：，该系统实现了从以前某时刻到的序列求和。显然是有记忆的。令，由线性系统的定义,则系统是线性的系统的输出不是只由时刻以前的序列值决定，还与未来的序列值有关，那么该系统是非因果的。当输入为有界序列时，虽然这个响应是有限的，然而却是无界的，不存在一个固定的有限正数，使对于全部的都成立，系统为不稳定系统。又，系统是时不变的。可以得出系统是：线性的、时不变的、不稳定的、非因果的、有记忆的。（d） 解：,显然这是个理想的延迟系统，它是线性时不变的、稳定的、无记忆的因果系统。（e）解：令，由线性系统的定义,则系统是非线性的而，该系统是时不变的。输出序列在的值仅仅取决于输入序列在得值，

4、可以判断系统是因果的由无记忆系统的条件，每一个值上的输出只决定于同一值上的输入，显然该系统是无记忆的。对于一个有界输入，指数预算不能确定一个输出的上界。综上，该系统是一个非线性、时不变、不稳定、无记忆的因果系统。（f）解：令，由线性系统的定义,则系统是非线性的，该系统是时不变的输出序列在的值仅仅取决于输入序列在得值，可以判断系统是因果的由无记忆系统的条件，每一个值上的输出只决定于同一值上的输入，显然该系统是无记忆的。若是有界输入序列，有界输入对应有界输出（BIBO），该系统是稳定的。综上可知：该系统是非线性、时不变、稳定的、因果无记忆系统。（g）,仿照以上判据可知，显然是线性的、时不变的、稳定

5、的、有记忆的、非因果的系统（这是因为在时，系统需要有未卜先知的功能） （h） 令，由线性系统的定义,则系统是非线性的，该系统是时变的输出序列在的值仅仅取决于输入序列在得值，可以判断系统是因果的由无记忆系统的条件，每一个值上的输出只决定于同一值上的输入，显然该系统是无记忆的 由于是已知序列，可以有以上的判据得出系统是非线性、时变的、因果、稳定、无记忆的、稳定的系统。2.4 图P2.4中系统T已知是时不变的，当系统输入是、和时，系统的响应分别为、和，如图所示。（a）确定系统是否为线性的。（b）如果系统的输入是时，系统的响应是什么？（c）对于任意的输入，系统的输出能唯一确定吗？图P2.4解： （a）

6、否。（b）。（c）仅对给定信号（、和）的时移信号能得到确定的响应信号。2.5 图P2.5中系统L已知是线性的，图中示出三种输出信号，和分别是对输入信号，和的响应。 图P2.5确定系统L能否是时不变的。如果系统L的输入是，系统响应是什么？解：和相对应的线性组合如下图所示： （a）由图可知，由移位所得，而不可能由移位得到L不是时不变的。 (b) 为时，如所示。2.6对图P2.6中每一对序列,利用离散卷积求冲击响应为的线性时不变系统对输入 的响应. 解:（a）(b)（c）如图 （d）如图 2.7 一个线性时不变系统的冲激响应如图P2.7所示，求出并画出该系统对输入的响应。 解：已知系统（LTI）的如

7、题图P2.7所示,当输入时，设输出序列为,2.8 一个离散时间时不变系统的冲激响应是，若输入是一个周期序列，周期为，即。证明：输出也是一个周期序列，周期为。证明：对于LTI系统，当时：。结论得证。一个线性时不变系统冲激响应为 。 求该系统对输入的响应。如图P2.9所示，并描述如下： 图P2.9解: 当 当 2.10已知一个线性时不变系统的冲击响应除去在区间内均为零.已知输入内均为零.其结果就是输出除去某一区间内都为零.试用. 除N个连续点外都为零,除M个连续点外也都是零,试问对不为零的最大连续点数是多少?解:（a）（b）N+M-12.11按卷积和直接计算，求冲激响应为的线性时不变系统的阶跃响应

8、，。解:2.12 证明：线性时不变系统的因果性，就是要求系统的冲激响应满足条件，当时，。提示：可先证明如果时的话，系统不可能是因果的；然后再证明如果时的话，系统必定是因果的。证明：对于LTI系统，恒有。必要性：利用。若系统因果，则必然有在时间上超前或同步于，即，。即当时，必有。必要性得证。充分性：利用。当时。可以看为在时刻点之前的得线性叠加。即充分性得证。在2.5节中曾提到，齐次差分方程 （P2.13-1）的解具有如下形式 ， （P2.13-2）式中是任意的，是下列多项式的根 ， （P2.13-3）也即 。 （P2.13-4）求下列查分方程齐次解的一般形式 。（P2.13-5）若，求齐次解中的

9、系数。现在考虑如下差分方程。（P2.13-6） 如果齐次解中仅包含式（P.2.132）中的那些项，证明：初始条件 和不能被满足。（d）如果（P2.13-3）中有两个根是相同的，那么代替式（P.2.13-2）的将是 ， （P2.13-7） 式中已假定是重根，利用式（P2.13-7）对式（P2.13-6）求的一般形式。明确地证明，你的答案在满足时满足式（P2.13-6）。（e）若 和，求在（d）中所求得的齐次解中的系数和。解：(a) 对应特征方程为 （b） 解之得：（c）对应特征方程为 由P2.13-2式，方程的齐次解为 而有 显然，两式相矛盾 仅由P2.13-2式中的那些项，和不能满足。设则 在

10、满足时满足P2.13-6式 （e） 解之得：2.14有线性常系数差分方程:当.解: 当n=0时, 当n=1时, 当n=2时, 2.15有一个系统的输入为,输出为,且满足下列差分方程：该系统是因果的且满足初始松弛的条件，即若，则有，。若，求（对全部的n）。系统是线性的吗？试证明之。系统是时不变的吗？试证明之。解:该系统的差分方程如下： , 而且该系统是因果且是松弛的。若，有系统松弛的条件有，x-1=0,则y-1=0,当时，,而，相继代入可得的闭式解:证明：令，由线性系统的定义,则 所以系统是线性的。 （c）证明： 假设系统是时不变系统，由时不变特性： 这与假设矛盾，所以原系统是时变系统。2.16

11、 有一系统，输入为，输出为，输入/输出关系由下列两个性质决定：1；2。（a）确定系统是否为时不变的；（b）确定系统是否为线性的；（c）假定差分方程（性质1）仍然不变，而，这会改变（a）和（b）的答案吗？解：（a）(b)( = 1 * roman i)；( = 2 * roman ii)。用递推法求解个时刻点的输出：；时变性：很明显，故而该系统时变。线性： 很明显，故系统非线性。（c）当条件变为( = 1 * roman i)；( = 2 * roman ii)。仍用递推法可得到：；时不变性：很明显，故而该系统仍然时变。线性：此时，。即系统性。 2.17 一个因果线性时不变系统由下列差分方程描述

12、： 。求系统的齐次响应，也即在时，对全部可能的输出。求系统的冲激响应。求系统的阶跃响应。 解：(a) 对应齐次特征方程为 方程的齐次通解为 。（b） 化为频率响应形式为 （c）系统的阶跃响应为 2.18一线性时不变系统,其输入输出满足如下差分方程求其频率响应. 有一系统,其频率响应为写出表征该系统的差分方程.解：（a）两边均进行付氏变换得：（b） 两边进行付氏反变换得： 2.19 下列离散时间信号中，那些能够任何稳定的LTI系统的特征函数？(a) (b) (c) (d) (e) 解：LTI稳定系统的特征函数与相应的特征值相乘来表示输出序列。由线性系统满足叠加性可知（b）,(c)能够作为稳定线性

13、系统的特征函数。2.20 一线性时不变系统的冲激响应为，求系统对激励的稳态响应。解：稳态响应所以： 2.21 有三个系统A，B和C，其输入输出如图P2.21所示，试确定是否每一个系统都能是LTI的，若你的答案是是的，那么请指出是否还有另外的LTI系统也具有给出的输入/输出对关系，清楚地说明你的答案。 图P2.21 解：系统A不是LTI的，因为若系统为时不变的，当输入为时，输出应为，所以系统A不能同时满足线性。所以不是LTI的。 系统B是线性的，但不是时不变的 系统C同时满足线性和时不变性，所以是LTI的 2.22 在图P2.22的非线性系统中,输出M是这里记做幅度.因为M是在全部时间上(也即全

14、部n)的最大值,所以是一个常数. 假设是一个复指数为M是不同的:也就是说,对于这一类输入,M是的函数,记做. 确定来说是否是周期的,若是,求出该周期. 解:因为上式与n无关，所以因此是周期的，2.23 一个线性时不变系统的频率响应为：该系统的输入是一个周期N=16的周期单位冲激串，即.求系统的输出。解：又 Fxn =。（F代表傅立叶变换）系统通过一低通滤波器，2.24 有一种常用的数值运算叫做一阶差分，定义为，这里为一阶差分的输入，为输出。（a）证明该系统是线性时不变的；（b）求该系统的冲激响应；（c）求出系统的频率响应，并画出频率响应图；（d）证明：若，则其中记做离散卷积。（e）设计一个系统

15、，写出冲激响应的表达式。要求所设计系统与一阶差分系统级联时，能恢复出，即要求。（a）证明：设两个输入信号和，分别对应输出和。即；。( = 1 * roman i)线性：( = 2 * roman ii)时变性：；。即，故而系统时不变。（b）解：由可得：（c）解：频谱图如图解2.24。图解2.24（d）证明：同理：（e）令，即： 得：。 考虑图P2.25的系统， 图P2.25求整个系统的冲激响应。求整个系统的频率响应。给出联系输出和输入的差分方程。该系统是因果的吗？在什么条件下该系统是稳定的？解:(a） （b） (c) 差分方程形式为 由于当时，所以系统是因果的。由（a）可知，当时，所以，当时，

16、系统时稳定的。2.26令一般是复数. 利用式(2.92),证明的系统的频率响应,这里*记做复共轭. 为实,频率响应就是共轭对称的,即.解:（a）证明：由（2.92）可得 将3）与1）比较可得的频率响应。（b）由1）式可得： 为实数 而 2.27 若，求出并画出下列以为变量的函数。解： （a） ,偶函数，如下图：（b） ,奇函数，如下图：（c）,偶函数，如下图：（d） ，奇函数，如下图：2.28 （a）求序列的傅里叶变换（b）考虑序列，画出，并利用的傅里叶变换来表示的傅里叶变换。提示：先利用和复指数、来表示。（c）画出和的幅度特性。解：（a）（b）如图解2.28-1。图解2.28-1 其中 （c

17、）和的幅度特性如图解2.28-2。2.29 令是的傅立叶变换，利用傅立叶变换综合式或分析式式(2.112)和式(2.113)证明： （a） 的傅立叶变换是。 （b） 的傅立叶变换是。 解： (a) 所以，的傅立叶变换为。 （b） 所以，的傅立叶变换是2.30对为实序列证明:表2.1性质7直接可由性质1得到,而性质811可直接由性质7得到.证明：1）为实序列对上式两边进行傅立叶变换，利用性质1可得：性质7得证。 2）上式可改写成如下形式： =其中均为实数。 性质8 性质9将性质7改写如下： 性质10 性质112.31 在2.9节陈述的几个傅立叶变换定理都没有作证明，请用傅立叶分析或综合式，证明表

18、2.2中定理1-5的真实性证：令，的傅氏变换分别为。由DTFT的定义知（2） 也就是说，时移定理得证。（3） （4）（5） 2.32 利用卷积和的傅里叶变换证明其中、和分别为系统输出、冲激响应和输入的傅里叶变换。证明：作变量替换，则得：2.33 将傅立叶综合式（2.112）应用到式（2.151）中，并利用表2.2中的定理3，说明调制定理（表2.2中定理7）的真实性。 证明: 所以 的傅立叶变换为2.34令为复序列,为它们的傅立叶变换.利用卷积定理(表2.2中定理6)以及表2.1中适当的性质,求一个序列,其傅立叶变换是,并用来表示该序列.的结果,证明 (P2.34) 式(P2.34)是2.9.5

19、节中给出的帕斯瓦尔定理更一般的形式.利用式(P2.34),求下列和式的数值解. 解：（a） （b）而时，有 （c） 2.35 令是的傅立叶变换，如图P2.35所示。不需要明确求出而完成下列计算。求求求求出并画出傅立叶变换是的信号。解：如图示，令为的傅氏变换。 （1）可以看成是一个实偶序列移位得到，（3）（4） 2.36 令和分别代替一个序列及其傅里叶变换，利用求、和的变换。并且，画出每一种情况下，相应与图P2.36所示的的。（a）采样器：（b）压缩器：（c）扩展器：提示：，而。图P2.36解：设图解2.36-1（a）所示，则相应的、和有如图解2.36-1（b）、（c）和（d）所示的信号。图解2

20、.36-1（a）（b）（c）故可得相对应的频谱关系如图解2.36-2。图解2.36-2 2.37 对图P2.37系统，当输入时，求输出，是一个理想低通滤波器，即 图P2.37 解： 2.38令都是平稳,不相关随即信号,证明:如果,那末.证明: 互不相关 2.39令是一个白噪声序列，是一个与不相关的序列。证明序列 也是白噪声序列，即，式中A是一个常数。证： 2.40 设是一个实平稳白噪声过程，且均值为零，方差为。令是一个冲激响应为的线性时不变系统当输入为时的输出。证明：（a）（b）2.40 证明：（a）其中白噪声。令，则有：。（b）当时，显然有。作变量代换，则有：其中为的自相关序列。又 令是一个时平稳白噪声序列，均值为零，方差为，将输入到两个因 果的线性时不变系统的级联上去，如图P2.41所示。(a) 成立吗？（