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文档简介

1、运用导数研究函数一、导数的简单应用二、函数的单调性三、函数极值四、函数的最大值、最小值五、函数的凹凸性由拉格朗日中值定理的推论我们已经知道:二、函数的单调性例1解例3证利用函数处理数列例4证三、函 数 的 极 值函数的极值是个局部性的概念. 我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式:极值点可能可导，也可能不可导导数等于零的点有可能是极值点不可导的点也可能是极值点首先考察下列函数的图形:(单调增加)(单调减少)(单调减少)(单调增加)定理列表讨论单调性, 判别极值:例5解极小极小极大自己总结求极值的步骤定理定理例6解怎么办？例7解综上所述, 在工程技术和生产实践中, 常常需要考虑在一定条件下,

2、怎样才能使用料最少、费用最省, 而效率和效益最高等问题. 这些问题反映到数学上就是最优化问题. 优化技术应用价值很大三、函 数 的 最大、最小值 怎样求函数在一个区间上 的最大、最小值呢？求最值的几个特殊情况极大(小)值点 , 则该点就是函数的最大(小)值点 .计算函数值:( 端点值 )例8解用薄铁片冲制圆柱形无盖容器, 要求它的容积一定, 问应如何选择它的半径和高度才能使用料最省 ?设容积(体积)为 V , 半径为 r , 高为 h . 用料最省即指容器的表面积 A 最小.应用题例8解又 A 的最小值一定存在 ,故当要求的容器的容积为 A 时 , 选择半径 如果不放心,可用二阶导数进行判断.极小例11证利用导数的性质证明不等式是一种常用的技巧, 它包含以下几个部分:利用微分中值定理利用泰勒公式 (二阶以上的)利用函数的单调性利用函数的极值和最值某出版社出版一种书, 印刷 x 册所需成本为每册售价 p 与假设书可全部售出, 问应将价格 p 定为多少才能使出版社获利最大？备用1由经验公式, 得于是得唯一极值可疑点解即为 Q 的最大点 . 从而应将价格 p 定为此时最大获利为将一根直径为 d 的圆木锯成截面为矩形的梁. 问应如何选择矩形截面的高 h 和宽 b才能使梁的抗弯截面模量 W 最大？由力学知识, 梁的抗弯截面模量为由右图可以看出：备用2解问题归结为求

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