[PPT]结构力学之渐近法及超静定结构的影响线讲义

1、第十二章 渐近法及超静定结构的影响线12-1 力矩分配法的基本概念12-2 多结点的力矩分配12-3 对称结构的计算12-4 无剪力分配法12-5 力矩分配法与位移法的联合应用12-6 超静定力的影响线12-7 连续梁的最不利荷载分布及内力包络图12-0 简介1本章主要内容：1、位移法的渐近解法(1) 力矩分配法；(2) 无剪力分配法；(3) 力矩分配法与位移法联合应用。2、超静定力的影响线。3、连续梁的最不利荷载分布及内力包络图。本章要求：1、主要掌握力矩分配法求解连续梁和超静定刚架；2、了解利用挠度图作超静定力的影响线；3、了解连续梁的最不利荷载分布及内力包络图。2渐近法：不解联立方程，通

2、过逐步修正的方法，按照一定的步骤循环计算，循环次数越多越接近精确解。单结点力矩分配结果为精确解，多结点力矩分配结果为渐近解。本章介绍两种属于位移法类型的渐近解法力矩分配法和无剪力分配法。适用范围：力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架；无剪力分配法适用于刚架中除两端无相对线位移的杆件外，其余杆件都是剪力静定杆件的情况，它是力矩分配法的一种特殊形式。对于一般有结点线位移的刚架，可用力矩分配法和位移法联合求解。312-1 力矩分配法的基本概念适用范围：连续梁和无侧移刚架。符号规定：杆端弯矩的符号正负规定与位移法相同。一、力矩分配法的基本概念以下例说明力矩分配法概念的建立。(a)ABCDMAiA

3、BiADiAC图 12-11、图示刚架，角位移A，在结点A作用集中力偶M。M、A以顺时针转动为正；各杆线刚度为iAB、iAC、iAD。2、建立转角位移方程4杆端弯矩：(a)MAB=3iABA MAC=4iACAMAD=iADA(b)MBA=0 MCA=2iACAMDA=-iADA根据结点A的力矩平衡条件，得位移法方程：图 12-1AMMABMACMAD(b)(c)MAB+MAC+MAD=M将(a)式代入(c)式可解得：(d)A=M/(4iAC+3iAB+iAD)3、各杆端弯矩将A代入(a)式和(b)式得：5eMiiiiMADACABABAB+=433MiiiiMADACABAD+=43AD)M

4、iiiiMADACABACAC+=434(fMiiiiMADACABADDA+-=43MiiiiMADACABACCA+=432MBA=0)(图 12-1(c)ABCDM图4、引入几个概念(1) 转动刚度式(a)可写成统一式子： MAK=SAKA SAKAK杆A端的转动刚度(近端转动刚度)6SAK的物理意义：SAK表示在杆AK的A端顺时针方向产生单位转角时在A端所需施加的力矩。或者说：抵抗单位转动所需的力矩(表示杆端对转动的抵抗能力)。SAK值取决于杆件的线刚度iAK和远端(K端)的支承。由(a)式可知，对AK杆：远端(K端)铰支：SAK=3iAK (SAB=3iAB)远端(K端)固定：SAK

5、=4iAK (SAC=4iAC)远端(K端)滑动：SAK=iAK (SAD=iAD)(2) 分配系数由(e)式知，可将杆端弯矩写成统一式子：7MMSSMAKAAKAK=m端的转动刚度之和。的所有杆件在汇交于结点AASA力矩分配系数，仅与=AAKAKSSm有关。和AAKSS即：作用在A点的弯矩按AK分配到各杆端。分配系数AK的性质：i1，则近于1(如i220i1，误差在5%以内)。梁端弯矩接近于时，竖柱对横梁而言，起固定支座的作用。此(2) 当横梁比竖柱的刚度大很多时，即i1i2，则近于零(如i120i2，误差在5%以内)。梁端弯矩接近于零。此时，竖柱对横梁而言，起铰支座的作用。从这个例子可以看

6、出：结构中相邻部分(如这里的梁和柱)是互为支承的，支承的作用不仅决定于构造作法，也与相对刚度有关。48在本例中只要横梁线刚度i1超过竖柱线刚度i2的20倍(如l1=l2，即)横梁即可按简支梁计算；反之只要竖柱线刚度i2超过横梁线刚度i1的20倍，横梁即可按两端固定的梁计算，误差均在5%以内。4912-4 无剪力分配法前述已知：力矩分配法不能应用于有结点线位移(侧移)的刚架。 无侧移刚架力矩分配法有侧移刚架某些特殊刚架无剪力分配法 (类似于力矩分配法)。刚架：一般有侧移刚架力矩分配法与位移法的联合应用。什么是特殊的有侧移刚架？这就是无剪力分配法的应用条件。一、无剪力分配法的应用条件50条件：刚架

7、中除两端无相对线位移的杆件(可以不是剪力静定杆)外，其余各杆件都是剪力静定杆。问题：什么是剪力静定杆呢？下面用单跨多层刚架说明什么是剪力静定杆。图12-12(a)2P2P2P原结构DCB=(b)PPPPPP对称结构对称荷载+(c)PPPPPP对称结构反对称荷载由图12-12c可知，反对称荷载下的单跨对称刚架，可取半刚架进行求解(如图12-12d)。51图12-12PPPDCBA(d)此时，三根横梁是两端无相对线位移的杆件；竖柱(各层)两端具有相对线位移，但是剪力是静定的(可根据平衡条件直接求出)，称为剪力静定杆(如图12-12e)。Q图P2P3PABCD(e)只有上述情况，才能应用无剪力分配法

8、，否则不能应用。图12-13所示有侧移刚架，两竖柱既不是两端无相对线位移的杆件，也不是剪力静定杆，则不能用无剪力分配法求解。ABCD图12-1352分析图12-14的几种刚架能否应用无剪力分配法计算。(b)(d)(e)(f)(a)(c)图12-14图(a)中横梁两端虽无相对线位移，但是竖柱的剪力不能静定求出，故不能用无剪力分配法计算；图(b)中横梁两端有相对线位移，故也不能用无剪力分配法计算；而图(c)、(d)、(e)、(f)中除两端虽无相对线位移的杆件外，其他各杆都是剪力静定杆，故可以用无剪力分配法计算。53二、剪力静定杆的固端弯矩无剪力分配法的计算步骤与力矩分配法的计算步骤相同，关键是计算

9、固端弯矩mij，求得不平衡力矩Mi。即：第一步，锁住结点，求各杆端的固端弯矩；第二步，放松结点，求各杆的分配弯矩和传递弯矩。图12-15PPPDCBAMDMCMB求：m和约束力矩MB、 MC、 MD。(1) 此时横梁上没有固端弯矩；(2) 各层竖柱有固端弯矩为mij。变形特点：两端无转动，但有相对侧移；受力特点：各杆的剪力静定。 QDC=P QCB=2P QBA=3P54根据竖柱变形特点，每层竖柱均可视为底端固定、上端滑动的杆件，而将结点荷载作为外荷载，查表11-1可求得固端弯矩mij。图12-16 EI=常数，线刚度i=EI/lPDClPDC2PCBl2PCB3PBAl3PBA查表并计算得：

10、由以上分析知，求固端弯矩的步骤是：55(1) 根据静力条件求出杆端剪力；(2) 将杆端剪力视为杆端荷载；(3) 按一端固定一端滑动的杆件计算固端弯矩。三、零剪力杆件的转动刚度和传递系数问题：什么是零剪力杆件？在第二步中，放松结点相当于在结点上加反向力偶荷载。图12-17DCBA-MD D考虑CD杆：D端作用有与MD相反的力偶荷载，此时D点既有转角，同时又有侧移，但是杆上所有截面的剪力Q=0，因而弯矩为常数。即：在结点力偶作用下，剪力静定杆都是零剪力杆。56由前述分析可知图12-17所示的CD杆与12-18a所示的悬臂杆相同。若使D端产生转角D，所需施加的力矩为：图12-18DCQ0DMDCMC

11、D(a) MDC=iDC D ，而：MCD=-MDC所以零剪力杆件的转动刚度：SDC=iDC 传递系数：CDC=-1若考虑C点的剪力Q=0，可将C点视为滑动支座，此时两者的内力、杆轴的弯曲形状和端点转角相同，只是水平位移差一个常数C(是待定值，需考虑额外的条件才能确定)。DMDCMCD(c)MDCCDCDMCD(b)57当放松C结点和B结点时，同样分析有： SBA=iBA， CBA=-1； SBC=iBC， CBC=-1；SCB=iCB， CCB=-1； SCD=iCD， CCD=-1。以上分析，当放松结点时(结点转动和侧移发生)，这些杆件都可以视为一端铰支一端滑动的杆件，且在铰支端作用有集中

12、力偶矩(被分配的不平衡力矩)，且是在剪力为零的条件下进行分配与传递的，称为无剪力分配。还应指出：无剪力分配法更适用于单跨多层和单跨单层刚架的计算，而对于多跨刚架，则应用本章第五节的方法将其推广，想办法将多跨刚架划分成几个单跨对称刚架来处理。 四、例题例12-9 求作图12-19a所示刚架的弯矩图。58图12-19(a)i2=3BCAi1=42m2m4m1kN/m5kN解：刚架中杆BC为两端无相对线位移杆件，杆AB为剪力静定杆，可采用无剪力分配法计算。(1) 计算固端弯矩(查表11-1)特别注意：计算固端弯矩查表11-1时，AB杆是A端固定、B端滑动的杆件；BC杆是一端固定一端简支的杆件。(2)

13、 转动刚度和分配系数 59(3) 分配与计算过程，如图12-19b所示。(b)BCA1/54/5BABC图12-19注意：杆BA的传递系数为-1。(4) 绘制弯矩图，如图12-19c所示。(c)BCA6.611.391.395.7052M图 (kNm)例12-10 求作图12-20a所示刚架在水平力作用下的弯矩图。60(a)3.6m3.3m8kN17kNABC3.527i=3.55527图12-20解：刚架为对称结构，所以其M图与图12-20b所示反对称荷载作用下的情况相同，可取图12-20c所示半边刚架计算。但要注意横梁的线刚度增大一倍。(c)4kN8.5kNABC3.554554DE(b)

14、4kN8.5kNABC4kN8.5kN(1) 固端弯矩立柱AB和BC为剪力静定杆，由平衡方程求得剪力为61将杆端剪力看作杆端荷载，按图12-20d所示杆件可求得固端弯矩如下：(d)12.5kNBC4kNAB图12-20(2) 分配系数以结点B为例：故结点B的分配系数为同理可求出结点A的分配系数。62(3) 力矩分配和传递计算过程如图12-20e所示。结点分配次序为B、A、B。图12-20(e)ACDEB0.02110.97890.02930.95010.0206注意：立柱的传递系数为-1。(4) 作M图(如图12-20f所示)ABCDEF7.0521.646.1527.7923.367.056

15、.1523.3627.7921.64(f)M图 (kNm)63例12-11 书中习题12-14。 (a)ABCDEI=5EI=2EI=210m6m6kN/m图12-21=+ABCD3kN/m3kN/m对称荷载ABCD3kN/m3kN/m反对称荷载AB3kN/m无剪力分配法力法AB3kN/m力矩分配法位移法64(b)20kN/mBCEI=常数AD3m3m8m图12-2110kN/mBC对称荷载AD10kN/mBC反对称荷载AD=+10kN/mB力矩分配法位移法A10kN/mB无剪力分配法力法A65本题特点：原题中的两个小题用力法或位移法求解均有3个基本未知量，且用力矩分配法无法求解。但将荷载分解

16、成对称荷载和反对称荷载后，可取半刚架计算：其中由对称荷所选取的半刚架可用力矩分配法计算(还可用位移法计算，基本未知量只有一个)，由反对称荷载所选取的半刚架可用无剪力分配法计算(还可用力法计算，基本未知量也只有一个) 。叠加这两种情况的计算结果，可得原结构的弯矩图。6612-5 力矩分配法与位移法的联合应用我们知道：力矩分配法适用于无结点线位移的连续梁和刚架；无剪力分配法适用于具有侧移的单跨多层刚架的特殊情况(刚架除两端结点无相对线位移的杆件外，其余杆件必须都是剪力静定杆) 。对于一般有结点线位移的刚架均不能单独应用上述两种方法，这时可考虑力矩分配法和位移法的联合应用。即力矩分配法和位移法的联合

17、应用适用于具有侧移的一般刚架。该方法的特点是：(1) 用力矩分配法考虑结点角位移的影响；(2) 用位移法考虑结点线位移的影响。67下面以图12-22a所示刚架为例说明计算的原理。(a)qABC图12-22首先用位移法求解，但注意只将结点线位移作为基本未知量，而结点角位移不算作基本未知量。基本体系的两个分解状态如图12-22b、c所示。(b)qABCF1P(c)ABCk111=+第一个状态控制结点线位移1=0，即为基本体系在荷载单独作下的情况，可用力矩分配法求解，并作出相应的MP图，求出附加反力F1P。68第二个状态控制结点发生线位移1(结构实际的线位移)，所需施加的力为k11 1。为计算方便，

18、给定1=1可获得M1图，同时可求得此时的附加支反力k11。两种状态叠加，相应的位移法方程为：按式(a)可求得： 1=- F1P/k11 按式(b)可求得M1图。可以看出：关键的问题是求出k11和F1P。例12-12 求图12-23所示刚架的内力。解：(1) 在D点加水平链杆，然后求作荷载作用下的弯矩图MP。69Aq=20kN/mB4I05I0CD4I03I0FE3I06m4m5m4m4m图12-23在D点加水平链杆可获得基本体系，此时由于没有结点线位移，可用力矩分配法计算，得出的弯矩图如图12-24所示(此时与例12-3完全相同，此时的MP图即是例12-3的最后M图)。利用MP图可以很简单的求

19、出附加链杆的支反力F1P。ABCDFE3.454062.543.446.918.21.726.99.814.624.44.9F1P=1.16kNQFCQEB图12-24MP图(kNm)70由杆端弯矩求出柱底剪力：3.45kNm1.7kNmEQEBQBEB4.9kNmFQFC9.8kNmQCFC由刚架整体平衡X=0，求得：(2) 计算支座D向右产生单位位移时刚架的弯矩图此时，结点线位移已知为1=1，可用力矩分配法计算，固端弯矩由1=1产生(见下页图)。 71ABCDFE1=1k11BE1=1mEBmBE同理：分配系数ij(由例12-3知)：BA=0.3， BE=0.3， BC=0.4，CB=0.

20、445， CF=0.222，CD=0.333 令EI0 =1， 则 mBE=-1.125， mCF=-0.50分配与传递过程略。作弯矩图(见图12-25)。72图12-250.3180.3400.4360.0960.4880.8060.9650.467ABCDFEk11=0.594求k11：由杆端弯矩求出的柱底剪力为：再由整体平衡求出k11：(3) 求结点水平位移1由位移法方程求得注意：1=-1.95是假值，并非真值，因EI0=1。73(4) 作弯矩图利用弯矩计算公式求解即将图中的各个控制截面的标距乘以与MP图中的各个控制截面的标距叠加，就可得出最后的弯矩图，如图12-26所示。， 再图12-

21、26ABCDEE47.842.85.018.526.714.88.93.64.04062.5MP图 (kNm)74对于具有多个结点线位移的刚架，求解的步骤与单个结点线位移完全一样。力矩分配法与位移法的联合应用的计算步骤如下：1、选取基本体系，只限制结点线位移(i ，i=1、2n)；2、力矩分配法解基本体系受外荷载作用时的MP图，由MiPFiP；3、力矩分配法计算i=1时的Mi图，并求kii，kij；(i=1、2n)4、位移法方程为：由此解出i ， (i=1、2n)5、叠加法作M图7512-7 超静定力影响线在第七章我们曾经介绍过静定结构影响线的作法，方法有两种：即静力法、机动法。实际上影响线是

22、一种计算结构内力的工具。超静定力影响线的作法也有两种：1、用解超静定结构的方法(力法、位移法、力矩分配法等)直接求出影响系数的方法(和静定结构求影响线的静力法相对应)；2、利用超静定力影响线与挠度图间的比拟关系(和静定结构求影响线的机动法相对应)。本节主要介绍第二种方法。76特点：能方便的绘出影响线的形状，有利于判断不利荷载的分布。一、方法原理以连续梁(两跨超静定梁)为例。作图12-27a所示连续梁支座B的支座反力Z1的影响线。(a)xBACZ1P=1图12-27解：(1) 设P=1作用在距A点为x的任一点。(2) 去掉支座B，代之以支反力Z1(注意：此时的结构仍为超静定)，作为基本体系，如图

23、12-27b所示。(b)xBACZ1P=177力法方程为：由此解得这里1P、11都是单位力产生的位移，如图12-27c、d。(c)xBACZ1P=11P(d)xBACZ1=111P1图12-27利用位移互等定理 1P=P1 ，式(12-13)可写为其中：P1是单位力Z1=1所引起的沿荷载P作用点的竖向位移，如图12-27d所示。78(3) 考虑荷载移动支座反力Z1和位移P1都随荷载P的移动而变化，都是荷载位置参数x的函数，即： Z1(x) ，P1(x) 。11则是常数，与荷载位置参数x无关。因此上式可写成如下形式：这就是Z1的影响线函数，由此可得出影响线。(4) 分析由图12-27d可知：P1

24、(x)的变化图形就是荷载(P=1)作用点的挠度图。由此可以看出影响线与挠度图之间的关系：影响线等于挠度图乘以因子：79二、作影响线的步骤1、撤去与所求约束力Z1相应的约束，代之以约束力Z1；2、使体系沿Z1的正方向发生位移，作出荷载作用点的挠度图(P1(x)曲线)，即为影响线的形状；3、将P1(x)除以常数11，(或在P1图中令11=1)，便得出影响线的数值。4、横坐标以上图形为正，以下图形为负。三、P1、11的计算在求得单位荷载作用下(Z1=1)的M图后，对每一跨来说都是端点受集中力偶作用的静定梁，则两端转角A和B为：80AxlyMABMBAB图12-28任一点处的挠度为：下面给出(a)、(

25、b)两式的推导。(a)式中A的推导：ABMAMBMP图MAMBAB1P=1图81同理可计算出：y(x)的推导：图ABP=1xMP图ABMAMBMAMB计算可得出：82四、举例例12-13 求图12-29a所示连续梁支座弯矩MB的影响线。(a)6m6m6mABCDP=1P=1P=1x1x2x3图12-29解：(1) 作挠度图P1撤除与B截面弯矩相应的约束(在B截面加铰)，并施加一对方向相反的力偶MB=1，使体系沿MB的正向发生位移，产生挠度图P1(图12-29b)。则有：11= 11+ 11。(b)AMB=1CD 11 11(2) 求P1和11用力矩分配法作MB=1引起的弯矩图(图12-29c、

26、d)。(c)ACD0.50.51-1-0.50.583注意下面两种情况的固端弯矩。A-1BmAB=-0.5B1CmAB=0.5由MB=1引起的弯矩图如图12-29d所示。(d)AMB=1CD0.2510.5图12-29利用公式(a)计算11、也可以直接利用图乘法简单求出。这里：84计算P1 ：利用(b)式求y(x)即可得出P1 。第一跨挠度方程为第二跨挠度方程为第三跨挠度方程为85将相应的x值代入后，求得EIy(x)图如图12-30a所示，此即为EIP1图。(a)ABCD0.352m0.5630.4920.9141.691.6171.2661.1250.422mX2=1.5(挠度图)EIP1(x) 图12-30 (3) 验算第二跨x2=1.5时的挠度86将P1除以11即得影响线如图12-30b所示。(b)ABCD0.108m0.1750.1510.2810.5200.4970.3890.3460.123mMB的影响线 X=1.5图12-30(4) 验证第二跨x2=1.5处的影响线的竖距等跨度等截面连续梁各截面弯矩的影响线和支座截面剪力的影响线均有制成的表格，设计时可以直接查用。8712-8 连续梁的最不利荷载分布及内力包络图一、概述连续梁通常承受两种荷载