江苏省淮安市高一(下)期末数学试卷

1、江苏省淮安市高一（下）期末数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）. （5 分）2sin15 cos15 =.（5分）一组数据1, 3, 2, 5, 4的方差是.（5分）若xC （0, 1 ）则x （1 -x）的最大值为.（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的 a的值是（5分）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂端距离都大于2m的概率是r 行了-540y的最小值（5分）已知实数x, y满足2算，+20,则目标函数z=x V。为.如果a： b ：（5分）在zABC中，/A, /B, /C所对的边分别是a, b, c, c=2 : 3: 4,那么 cosC= 8 .

2、 （5 分）若 tan a= 2 , tan（a+,则tan B的值是. （5分）已知an是等差数列，Sn是其前n项和，若2a 7-a5-3=0 ,则Si7 的值是. （5 分）已知zABC 中，AB=Jj, BC=1 , A=30 ,则AC=. （5 分）在数列an中，ai=2 , an+i =2a n, Sn 为an的前 n 项和.若 sn=254 , 贝U n=. （5分）已知an是等差数列，a1=1公差d加，Sn为其前n项的和，若a1, a2, a5成等比数列，S10=. （5 分）在锐角 ABC 中，sinA=sinBsinC , WJ tanB+2tanC的最小值是. （5分）已知

3、zABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若a, b,22c成等比数列，则 且*的取值范围为.、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、 验算过程. （14 分）已知 sin a=g, 口 E （二，冗）. 52（1）求Q ）的值；（2）求mb。-2=）的值. （14分）已知等差数列an中，其前n项和为Sn, a2=4 , S5=30 .（1）求an的首项a1和公差d的值；（2）设数列bn满足bn=1一，求数列bn的前项和Tn. （14分）某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了 50名就餐的教师和学生.根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出

4、了频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组为40 , 50), 50 , 60 ),，90 ,100.(1)求频率分布直方图中a的值；(2)从评分在40 , 60)的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在40 , 50)上的概率；(3)学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于 75分，否则将进行内部 整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分， 并据此回答食 堂是否需要进行内部整顿. (16 分)已知函数 f (x) =ax 2+ (a 2) x 2, aC R.(1)若关于x的不等式f (x) 0的解集为-1 , 2,求实数a的值；(2)当a0时，解关于x的不等式

5、f (x) 0. (16分)如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线， 某公司准备在GH上 的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长 为xkm的正方形无顶中转站 CDEF (其中EF在GH上)，现从仓库A向GH和 中转站分别修两条道路 AB , AC,已知AB=AC+1 ,且/ABC=60 .(1)求y关于x的函数解析式，并求出定义域；(2)如果中转站四堵围墙造价为10万元/km ,两条道路造价为30万元/km , 问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低.20 . （16分）已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=n 2 -4n ,数列bn中

6、, b 1 = %；对任意正整数n=28 b1vH二卷）.（1）求数列an的通项公式；（2）是否存在实数-使得数列3n?bn+心是等比数列？若存在，请求出实数N 及公比q的值，若不存在，请说明理由；（3）求证：.b + b 之+-T+bnb,故a=5 , b=7 ,当 a=5 , b=7 时，不满足 a b ,故 a=9 , b=5当a=9 , b=5时，满足a b ,故输出的a值为9,故答案为：95. （5分）两根相距6m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂端距离都大于2m的概率是上【解答】解：设事件A= 灯与两端距离都大于2m ”2米的部分根据题意，事件A对应的长度为6m长的线段位于中间的、长

7、度为2tn 2m 2m*因此，事件A发生的概率为P （A） =4=1故答案为:（5分）已知实数x, y满足，2h-v+20 ,则目标函数z=x -y的最小值为 3 .【解答】解：作作出不等式组对应的平面区域如图: 由z=x - y,得y=x - z表示，斜率为1纵截距为-z的一组平行直线,平移直线y=x z,当直线经过点A时，此时直线y=x -z截距最大，z最小.卜j k=1止匕时 zmin =1 4= - 3 .（5分）在zABC中，/A, /B, /C所对的边分别是a, b, c,如果a： b： c=2 : 3 : 4,那么 cosC=-十【解答】解：因为a： b: c=2 ： 3: 4,

8、所以设a=2k , b=3k , c=4k ,则根据余弦定理得:故答案为一cosC=8 . （5 分）若 tan a= 2 , tan（a+,则tan B的值是7【解答】解：由 tan a= 2 , tan ( a+ 0 ) =g,J得 tan B=tan( a+ B ) - o=口+3 j t anQ了(-2)4x (-a T故答案为：7.9. (5分)已知an是等差数列，Sn是其前n项和，若2a 7-a5-3=0 ,则Si7的值是 51.【解答】解：设等差数列an的公差为d, V2a7- a5-3=0 , ；2 (ai+6d )-(ai+4d ) -3=0 ,化为：ai+8d=3 ,即 a

9、9=3 .,17 (si + a i y )则 Si7 =1=17a 9=17 X3=51 .2故答案为：51 .10 . (5 分)已知AABC 中，AB=6, BC=1 , A=30 ,贝叭C= 1 或 2 .【解答】 解：-AB=c= V3, BC=a=1 , cosA=由余弦定理得：a2=b 2+c2 2bccosA ,即 1=b 2+3 -3b,解得：b=1或2,则AC=1或2.故答案为：1或2. (5 分)在数列an中，a1=2 , an+1 =2a n, Sn 为an的前 n 项和.若 sn=254 ,贝U n= 7 .【解答】解：由数列an中，ai=2 , an+i=2an,可

10、知：此数列为等比数列，首项为 2,公比为2.又 Sn=254 ,254=空上包2-1化为 2n=128 ,解得n=7 .故答案为：7. (5分)已知an是等差数列，ai=1公差d加，Sn为其前n项的和，若ai ,a2, a5成等比数列，Si0=100.【解答】解：若a1，a2, a5成等比数列，贝U a1a5= (a2)2,即 a1 (a1 +4d ) = (a1+d ) 2,贝U 1+4d=(1+d ) 2,即 2d=d 2,解得d=2或d=0 (舍去),M S10= 10+1Q = = 2=10+90=100,故答案为：100 . (5 分)在锐角 AABC 中，sinA=sinBsinC

11、 ,则 tanB+2tanC的最小值是3+2 返.【解答】 解：锐角zABC中，sinA=sinBsinC ,. sin (B+C ) =sinBsinC即 sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC . cosBsinC=sinB (sinC cosC ),. sinC=乙(sinC cosC ), cosB两边都除以cosC ,得tanC=tanB(tanC - 1),. tanB=tanCtanC-1又 tanB 0,tanC - 1 0, tanB+2tanC=二 +2tanC =1+ 高+2（tanC-1）+2 告2 人丁2（*-1）=3+2点， 当且仅当Ur=2（tanC

12、 - 1）,即tanC=1+当时取“=”；tanCT + 1tanC-1+2tanC；tanB+2tanC的最小值是 3+2/L故答案为：3+2 V2.14. （5分）已知zABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若a, b,22c成等比数列，则 且”的取值范围为2 , ,同一.【解答】解：a, b, c成等比数列，设，=q，q 0， a b贝U b=aq , c=aq 2,.: aq+a q”社1）递减，在（1,1二）递增,可得f （1）取得最小值2,由f （与L =f （岑工）=正， 即有 f (q) e 2,黄).故答案为：2,相）.、解答题：本大题共6小题，共90分.解

13、答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15 . （14 分）已知 sin a=豆，口 E （,冗）. 52（1）求十）的值；（2）求2篁）的值.cos2 a=cos 2 a sin 2 a二725nK7ThQ )=sin -7cos a+cos sin aJJJ=V!x(j_)jx21 5 力 5 - 10 ?cospcosS Qsirr-sin2 Q=-L-I匕 7乂寻甯S5=30 .16 . (14分)已知等差数列an中，其前n项和为Sn, a2=4 ,(1)求an的首项ai和公差d的值；(2)设数列bn满足bn=*,求数列bn的前项和Tn.【解答】解：(1)因为an是等差数列，a2=4

14、 , S5=30 ,所以解得 a1=2 , d=2(2)由(1)知 5r二口/十虱旦d=2n十世/X2即 sn=n2+n所以bn=$3n n2+n n于是数列bn的前n项和Tn=b 1+b 2+b 3+b n =117. (14分)某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了 50名就餐的教师和学生.根据这50名师生对餐厅服务质量进行评分，绘制出了频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组为40 , 50), 50 , 60 ),，90 ,100.(1)求频率分布直方图中a的值；(2)从评分在40 , 60)的师生中，随机抽取2人，求此人中恰好有1人评分在40 , 50)上的概率；(3)学校规

15、定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿，试用组中数据估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否需要进行内部整顿.0.028- -(J.02 工，- rdbll-1oots y i!. .一0 0Q4- |。4。50 M 70 凰J M i 面 教【解答】 解：(1)由(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018) X10=1 ,解得a=0.006 .(4分)(2)设被抽取的2人中恰好有一人评分在40 , 50)上为事件A.(5分) 因为样本中评分在40 , 50)的师生人数为：m 1=0.004 X10 X50=2 ,记为1 , 2号

16、样本中评分在50 , 60)的师生人数为：m 2=0.006 X10 X50=3 ,记为3,4,5 号( 7 分)所以从5人中任意取2人共有：(1, 2), (1 , 3), (1 , 4), (1 , 5), (2, 3), (2, 4),(2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)共 10 种等可能情况，2人中恰有1人评分在40 , 50)上有：(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)共 6 种等可能情况.2人中恰好有1人评分在40 , 50)上的概率为P (A)=阖肉(10分)(3)服务质量评分的平均分为：G=45 X0

17、.004 X10+55 X0.006 X10+65 X0.022 X10+75 X 0.028 X10+85 X 0.022 X10+95 X0.018 X10=76.2 .（13 分）.76.2 75, 食堂不需要内部整顿.(14分)18 . (16 分)已知函数 f (x) =ax 2+ (a 2) x 2, aC R.(1)若关于x的不等式f (x) 0的解集为-1 , 2,求实数a的值；(2)当a0时，解关于x的不等式f (x) 0 且一1 乂2=个，解得：a=1；(2)由 ax2+ (a-2) x - 2 0 ,得(x+1 ) (ax2) 0 ,当-2a-1, a当a= - 2时，解

18、集为R;当a-2时，解集为x|x 0 -1或xnZ. a19 . (16分)如图，GH是东西方向的公路北侧的边缘线， 某公司准备在GH上 的一点B的正北方向的A处建设一仓库，设AB=ykm，并在公路北侧建造边长 为xkm的正方形无顶中转站 CDEF (其中EF在GH上)，现从仓库A向GH和 中转站分别修两条道路 AB , AC,已知AB=AC+1 ,且/ABC=60 .(1)求y关于x的函数解析式，并求出定义域；(2)如果中转站四堵围墙造价为10万元/km ,两条道路造价为30万元/km , 问：x取何值时，该公司建设中转站围墙和两条道路总造价M最低.【解答】（1）在zBCF 中，CF=x ,

19、 /FBC=30 ,CFBF,所以 BC=2x .在zABC 中，AB=y , AC=y - 1 , /ABC=60 ,由余弦定理，得 AC2=BA 2+BC 2 - 2BA ?BCcos ZABC ,（2 分） 即 （y 1） 2=y2+ （2x） 2 2y?2x?cos60 ,所以（5分）由 AB AC1,.又因为y=-所以函数行的定义域是（1 , +8）.（6分）（2） M=30 ?（2yT） +40 x .（8 分）2 i2因为尸:k:1 . （x1）,所以M=30O 誓 -L+40h即 M=10 712k -3MD .（10 分）x-1Q I令 t=x - 1 ,则 t 0 .于是

20、M （t） =10 （16t+ y+25）, t0,（12 分）由基本不等式得 M 10 （2V144+25） =490 ,当且仅当t=同,即乂二1时取等号.（15分）答：当x=km时，公司建中转站围墙和两条道路最低总造价M为490万元.（16 分）20 . （16分）已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=n 2 -4n ,数列bn中, b 1=对任意正整数n券2 *耳、十1十、二（y）n（1）求数列an的通项公式;（2）是否存在实数-使得数列3n?bn+心是等比数列？若存在，请求出实数N及公比q的值，若不存在，请说明理由；（3）求证：卷b+b之+.【解答】解：（1）当n=1时，ai=Si= -3,（1分）当 n2 时，an=S n - Sn i=n 因为3nbn+心是等比数列，所以（林弋）2=从）（以昔），解得（7分）3% 41-3