江苏省南通市如皋市高一(上)期末数学试卷

1、江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）（5 分）设全集 U=-1, 2, 4,集合 A=-1, 4, M?uA=. TOC o 1-5 h z （5分）已知函数y=2sin（cox工）（0）的最小正周期为空，则=.63（5分）已知幕函数的图象过点（2, 4）,则它的单调递减区间是 .（5 分）设函数 f （x） =2_:。，则 ff （-2L）的值为.l2V2COK 工 Q4（5 分）在 ABC中，向量短（1, cosB）,国=（sinB, 1）,且则角 B的大小为.（5 分）（log 23+log27）义（log 44+log,）的值为.（5

2、分）将函数f （x） =sin （2x+（|） （0（|）兀）的图象向左平移 工个单位 6后得到函数y=g （x）的图象，若y=g （x）是偶函数，则小=.（5分）已知函数f（x）=mx- 2x+m的值域为0,+）,则实数m的值为.（5分）已知sin （a专）则sin （2a 吟）的值为.（5分）已知 sin （a+B） =1, sin （a B） 二，贝悭咚的值为.33 tanp（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P （1,4）是角a终边上一点，将射线O嚼坐标原点。逆时针方向旋转9 （0 9 0有三个不同的实数根，则实数 a的取值范围是.（5分）已知函数f （x） =cosx （xC0, 2

3、兀）与函数g （x） =tanx的图象交于M, N两点，则|而而|=.（5分）如图，在 ABC中，已知AB=2 AC=3 / BAC=60，点D, E分别在边AB, AC上，且菽=2而，正=3近点F位线段DE上的动点，则而?亍的取值二、解答题(共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤)(14 分)已知集合 A=x|f (x) =lg (x1) +6G,集合 B=y|y=2x+a, x 0, 60)的部分图象如图所示.(1)求函数f (x)的解析式；(2)若 f (a$)=等，f(B 毅)且* B C ( 0,),求 a+ B的化(14分)若 | 创二1 , | b|=m,值

4、+b|=2 .(1)若|国翦=3,求实数m的值；(2)若；+E与W-Z的夹角为等，求实数m的值.(16分)如图，经过村庄 A有两条互相垂直的笔直公路 AB和AG根据规划 拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂 P,为了仓库存储和运输方便，在两条 公路上分别建两个仓库 M N (异于村庄A,将工厂P及仓库M N近似看成点， 且M, N分别在射线 AB, AC上)，要求MN=2 PN=1 (单位：kmj), PN!MN(1)设/ AMN=，将工厂与村庄的距离 PA表示为8的函数，记为l (8),并 写出函数1(8)的定义域；(2)当8为何值时，1(8)有最大值？并求出该最大值.*产A杈 k；八(16

5、 分)已知函数 f (x) =m (sinx+cosx ) - 4sinxcosx , xC0,-, m R.(1)设t=sinx+cosx , x 0 ,；,将f (x)表示为关于t的函数关系式g (t), 并求出t的取值范围；(2)若关于x的不等式f (x) 0对所有的x 0 , g_何成立，求实数m的取 值范围；(3)若关于x的方程f (x) - 2m+4=0ft0 ,1上有实数根，求实数m的取值 范围.(16分)(1)已知函数 f (x) =2x+i- (x0),证明函数 f (x)在(0,9) 上单调递减，并写出函数f (x)的单调递增区问；(2)记函数 g (x) =a|x|+2a

6、x (a 1)若a=4,解关于x的方程g (x) =3;若x - 1, +oo),求函数g (x)的值域.参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）（5 分）设全集 U=-1, 2, 4,集合 A=-1, 4,则？uA= 2【解答】解：全集U=- 1, 2, 4,集合 A= - 1, 4,则？uA=2.故答案为：2.（5分）已知函数y=2sin （x+三）（0）的最小正周期为一、则=3 63【解答】解：由题意可得：最小正周期T亭苓,解得：=3.故答案为：3.（5分）已知幕函数的图象过点（2, 4）,则它的单调递减区间是（-巴0）【解答】解：设幕函数的解析式为y=x，其函

7、数图象过点（2, 4）,则 4=2解得a =2,所以y=x2,所以函数y的单调递减区间是（-8,0）.故答案为：（-8, 0）.I/篁）0TT（5分）设函数f （x） = :），则ff L=）的佰为 42V2CQ5K, kQ4【解答】解：:f （x）,f(- ? =2/3 式二航 8ET-=2, ff (-?=f (2) =22=4.故答案为：4.(5分)在 ABC中，向量鼻二(1, cosB),讣(sinB, 1),且三工，则角B 的大小为芋工.4 【解答】解：二相=sinB+cosB=0? tanB= - 1, v B (0,兀)，/. B=L .4 故答案为：理上.4的值为 0(5 分)

8、(log 23+log27) X ( log 44+log,)【解答】解：原式=log281 x log 41=0,故答案为：0(5分)将函数f (x) =sin (2x+(|) (0(|)九)的图象向左平移 三个单位6后得到函数y=g (x)的图象，若y=g (x)是偶函数，则小=_=.【解答】 g (x)解：图象向左平移三得到f(2x+-+ 小)，J=2sin, g (x)为偶函数，因止匕工+小=卜冗+工,_2又0 3 兀，故小=.故答案为：卫(5分)已知函数f (x) =mx-2x+m的值域为0 , +00),则实数m的佰为 1【解答】解：f (x) =m)- 2x+m的值域为0 , +

9、00),.l|A=4-4ni2=0解得m=1故答案为:(5 分)已知sin ( a【解答】解：:sin （asin (2a +- 6-2sin 2 ( a故答案为:兀T兀T)=cos q -_三7|)=L贝(J sin (23(2a +6)=1 - 2 X ()32=_3）的值为)=cos (2a)=cos2 ( a ) =1 6(5分)已知 sin (a+B ) -, sin (a B )。，则3tan口tanF【解答】解：: sin ( a + B ) =sin aQcos B +cos a sin B 吟，sin ( a B ) =sin3cos B - cos a sin p =7-s

10、in a cos B=y, cos a sin B二3,二_ =-二 I ;tanP cos Cl sin 3 _L故答案为：3.（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P （1,4）是角a终边上一点，将射线。障坐标原点。逆时针方向旋转8（0 8 几）角后到达角看冗的终边，贝Man0 = .3 【解答】解：由题意可得，a + 9 =,tan a =4, . tan (a+8)二1,tanCH-tan944-1 an 9an CL tan 61-4t an 8=-1,求得tan 0挡J故答案为：一(5分)已知函数f (x) = 十其/,若关于x的方程f (x) - a2+2a=0 x-ls有三个不同

11、的实数根，则实数 a的取值范围是 0 a 1或1 a 2 .【解答】解：由题意，关于x的方程f (x) - a2+2a=0有三个不同的实数根，则f (x) =a2 - 2a有三个不同的交点，xi+Ss,工K 一匕尺0. .- 1 a - 2a 0,0 a 1 或 1 a2,故答案为0a1或1a2.(5分)已知函数f (x) =cosx (xC0, 2兀)与函数g (x) =tanx的图象交于M, N两点，则|画+55|二 r.【解答】解：由题意，M N关于点(用，0)对称, . | 而+而=2 X 二二九，(5分)如图，在 ABC中，已知AB=2 AC=3 / BAC=60，点D, E分别在边

12、AB, AC上，且菽=西，正=3通点F位线段DE上的动点，则际?亍的取值范围是 ()16 z【解答】解：设而“近二维。筋4就=记得力薪行二4DF二台九）AB+tt A AC?X-l) ACBFCF=（入2=）苏+昌-与八2卷入）品白。十（ 2卷入）AC 二工,若人卷, 当人=（）时，f （入）二九2咯靛/最大为！，当入m时，f （入）=x2-x4-222422最小为-白；16则丽标的取值范围是-, 16 2故答案为：2,1,16 z二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）（14 分）已知集合 A=x|f （x） =lg （x - 1） W?r,集合 B=y|y

13、=2、+a, x 0且2x30, 解得 1x02,故 A=x|1 vx2;（2分）若 aC,则 y=2,当 x0 时，0 2、0 1,二, 2222 2故 B=y|_y;（5分）所以 AUB=x1 x-|.门分）（2）当 X00 时，0201, a2x+a a+1,故 B=y|a y&a+1,（9 分）因为 APBq, A=x|1 x2 或 a+12 或 a2或a&0.（14分）16. (14分)已知函数 f (x) =Asin (cox-)(其中A, 6为常数，且A0,0）的部分图象如图所示.（1）求函数f （x）的解析式;(2)若 f (a+一6+27r)_3VioB e（ 0,萼），求a

14、+ B的化【解答】（本题满分为14分）解：（1）据函数y=f （x）的解析式及其图象可知 A=22（2分）且Lt二2(4分)=兀，其中T为函数y=f （x）的最小正周期，故T=2兀，所以二2冗，解得二1, w所以 f (x) =2sin (x-).（6分）(2)由 f (a +），历,可知 2sin （ 口 + 57T）=R5 即$访 5TT因为 a C (0,由f （ B片二）耳电，可知2sin35*上.,罡逗，即sin 5（8分）)故 cos B 二10IT因为 b e( 0,。喑,（10分）于是 cos （ a + B ） =cos a cos B sin a sin B =2正 义型迫

15、 一JL xL=!JL . 510510 2（12 分）因为a , b e （ 0,）,所以a+BC （0,九），所以+ +04三.（14分）4（14分）若 |=1 , |b|=m, |h|=2.（1）若|；+2M=3,求实数m的值;（2）若W+E与g的夹角为岑，求实数m的值.【解答】解：（1）因为而+S|=2,所以|W+E|2=4.即以 ai2+b2+2日？b=4.,（2 分）（3分）又|W|=1 , |E|=m,所以之用上尹 由|亲2%=3，所以所以 昌加2=9.即以；+4.2+4r?l：=9,所以1+4X 3m+4n2=9,解得m= 1,（6分）又| b| 0,所以m=1.（7分）_21

16、（2）因为，| 对=1 , | b|=m,2（9所以 | 3- b| 2=a2+b2 - 2a?b=1 - 2X+nn=2nn- 2, | a - b|=J21rl2_?.分） 又因为:a+b与B b的夹角为2了，所以（a+l）?ab）=以 - b2=| a+b | X |11cos即，所以1-m=2x,解得m=/3,（13分）又| b| 0,所以m=3.（14分）(16分)如图，经过村庄 A有两条互相垂直的笔直公路 AB和AG根据规划 拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂 P,为了仓库存储和运输方便，在两条 公路上分别建两个仓库 M N (异于村庄A,将工厂P及仓库M N近似看成点， 且M,

17、 N分别在射线 AB, AC上)，要求MN=2 PN=1 (单位：kmj), PN!MN(1)设/ AMN=，将工厂与村庄的距离 PA表示为8的函数，记为l (8),并 写出函数1(8)的定义域；(2)当8为何值时，1(8)有最大值？并求出该最大值.【解答】解：(1)过点P作PD) AG垂足为D,连结PA,故 NA=2sin 9 ,在 RtzXMANfr, sin 0 =瓶=电cos 9段段MN 2在 RtzXPND, / PND= , sin 9 =PD JD PN 1故 PD=sin 0 , ND=cos8 .在 RtzXPDA中，pa=pd2+Ad2=/pd2+(AN+MD)4=7sin

18、2 9 -F(2sin9 +cos 3 ) ?，所以1( )=7si n2 9 + (2sin6 +cos 6 ) 2 5函数1 ( 8 )的定义域为(0, 5) .(2)由(1)可知，1 (8)制夕八6+(2式口。+皿6)2,即 1 ( 8)=/sin 0 -F4si n9+4sin.0 cds = +cos 6 = 4sin?8 4-4sin9 cos 6 +L=V2(l-cns2 6 )+ 2sin2 = -Fl=72sin2 9 -2cns2 0 =2 =2-/2sin(2 -)+3，又8 e( 0, W-),故 28 -巴e 芋)，所以当 2 8 -H即8 &L时，sin (20 -

19、21)取最大值1, 84l ( 8 ) ma=J 3 + 2/=1+/ -答：当8 =时，1(8)有最大值，最大值为1+7L 8* ：IJ I、RE 、 i ,tiK,-4u n(16 分)已知函数 f (x) =m (sinx+cosx ) - 4sinxcosx , x 0 , , mR.(1)设t=sinx+cosx , x 0 ,；,将f (x)表示为关于t的函数关系式g (t), 并求出t的取值范围；(2)若关于x的不等式f (x) 0对所有的x 0 , g_何成立，求实数m的取 值范围；(3)若关于x的方程f (x) - 2m+4=0ft0 ,1上有实数根，求实数m的取值范围.【解

20、答】解：(1)因为 t=sinx+cosx= V2sin(x+-) , x 0 ,萼,所以 t 1V2 , sinxcosx=-. (2 分)2所以 g (t) =mt- 4?-=- 2t +mt+2.(5 分)包成立,(2)因为关于x的不等式f (x) 0对所有的x C 0 ,用 据(1)可知g (t) =-2t2+mt+20对所有的t 1 ,也恒成立，(6分)所以,得mWL所以实数m的取值范围是亚，+8).(10分) 据(1)可知关于t的方程-2t2+mt+2 - 2m+4=0 t 1 ,6上有实数解, 即关于t的方程2t2-mt+2m_ 6=0在t C 1，卜历上有实数解，(11分) 所以=nm 16 (m- 3) 0,即 me4或01 12.(3)因为关于x的方程f (x)-2m+4=0ft 0 ,管上有实数解,令h (t) =2t2- mt+2m- 6,开口向上，对称轴t=里,4当m 12时，对称轴t3,函数h (t)在t C1 ,、用上单调递减,解得m不存在.(13分),6上单调递增,当me 4时，对称轴t 01,函数h (t)在t C1解得 2+/2m0),证明函数f (x)在(0，乎)上单