离散时间信号处理：第5章 离散傅立叶变换与快速算法1(DFT1)

1、1第五章 DFT与FFT在科学研究和工程实践中：信号时域很宽甚至无限长数字设备只能对有限个离散数据进行处理。为了能够对信号进行处理，必须采取以下三项措施：(1)时域采样（时域离散化）(2)时域截断或分段（有限化）(3)频率离散化有限长序列的重要性时域采样后的截断对应有限长序列数字频率主值区间内的抽样也同样形成了频域中的一个有限长度序列由信息的等效性可知有限长度的频域抽样序列会与时域的同样有限长度离散序列对应它们之间是否存在着某种变换关系？23离散傅立叶变换(DFT)变换需要反映有限长度序列特点，并且处理更加有效信息未丢失，等量对应适宜用计算机或专用数字设备计算有快速有效计算方法FFT具有很高的

2、实用价值，在离散时间信号处理中起着核心作用。4主要内容5.1 离散傅立叶变换(DFT)傅立叶变换四大形式抽样Z变换-频域抽样理论离散傅立叶变换及性质5.2 快速傅立叶变换(FFT)基-2 DIT算法基-2 DIF算法5.3 若干常用FFT算法戈泽尔算法，Chirp Z变换5.4 DFT的应用LTI的DFT实现，信号的DFT分析55.1 离散傅立叶变换(DFT)5.1.1傅立叶变换的表现形式傅里叶变换建立信号时域表达与其频域表达之间的变换关系。当自变量“时间”或“频率”分别为连续或离散时，就形成了各种不同表象形式的傅里叶变换对。6一、连续时间、连续频率 傅里叶变换(CTFT)若信号为连续时间的非

3、周期信号，其傅里叶变换是频域连续的非周期函数。7二、连续时间、离散频率 傅里叶级数(CTFS)按照狄义赫利条件，周期性信号为功率信号，能量无限，不满足变换的充分条件因此其傅立叶变换必有特殊的表现形式。我们仍旧按照傅立叶变换式来进行考察：8无论模拟频率为何值，上式恒为零。 仅仅在有限可数个频点 处为零，就要求在其他频段 皆为零，为离散频率函数。时域上的周期性造成了频域上的离散。由帕塞瓦尔定理知：时、频域能量相等，周期信号能量是无限的，所以离散频点 处的能量为冲激函数。 9实际上， 可展成傅立叶级数，引入广义函数的条件下有：10时域周期性相应于频域的离散化11三、离散时间、连续频率 序列的傅里叶变

4、换(DTFT)12序列的傅立叶变换为频域周期性函数13设 是周期为N的一个周期序列，由于周期序列不是绝对可和的，所以不能用DTFT表示四、离散时间、离散频率 离散傅立叶级数(DFS)14与连续时间周期信号一样，周期序列应该可以用傅里叶级数表示。周期为N的复指数序列基频序列为：其k次谐波序列为： 连续周期信号与离散周期序列的复指数连续傅立叶级数有无穷多个谐波成分离散傅里叶级的谐波只有N个是独立15基频序列周期基频k次谐波序列连续周期离散周期16假设信号可展成如下的离散傅里叶级数其中N为常数，选取它是为了表达式成立的需要， 是k次谐波的系数。假设17系数的求取1819 通常对变换因子采用以下符号：

5、 则DFS变换对为：正变换反变换周期序列的傅立叶级数(DFS)20周期矩形脉冲串的DFS-10 01234 91021需要注意的是，周期序列的离散傅立叶级数可以看成是对序列主值周期作Z变换，在单位圆上按等间隔抽样而得到。设 ，则Z变换为：2223例题：DFS与主值区间的DTFT关系-10 01234 91024255.1.2 抽样Z变换-频域抽样在采样定理的限制条件下，信号在时域的采样可以恢复原始信号。信号的Z域的单位圆上的变换(DTFT)也可以恢复信号。更为一般的讨论，在单位圆上抽样将导致信号在时间域上发生怎样的变化？是否也可以利用单位圆抽样恢复原始信号呢？2627不考虑信号的具体形式，直接

6、对单位圆抽样值经过IDFS变换得到的序列为：2829由此看出：单位圆上N点的频率抽样变换得到的是原序列在时轴上以抽样点数为周期的延拓 。为此：如原序列不是有限长，则时域延拓必然造成混叠；若原序列是一个有限长且长度小于采样点数N的序列，则可以通过乘以窗函数得到原始序列，即：30长度为M的有限长序列，频域抽样不失真的条件是频域抽样的点数N要大于或等于序列长度M。因此，若频域抽样可以无失真的恢复原序列，则它们必然也可以完整的表达 及频率响应。31频域重构32其中： 称为内插函数。分子有N个零点：内插函数的极点与第k个零点相抵消，仅在该点处值不为零，在其他抽样点处皆为零。 Z域内插公式33频域重构公式同样道理可以得到：可见 具有线性相位。 34例题：已知6点周期序列x1(n)的DFS为X1(k);若假设一个周期为3的序列x2(n)的DFSX2(k)与上述6点周期序列之间存在如下关系：X2(k)=X1(2k),请确定3点周期序列若未知序列为12点， X2(2k)=X1(k),则能否唯一