化工数学：1.3 条件概率

1、 组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个，取法共有抽球问题：一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是分球入盒问题：一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)，则每盒至多有一球的概率是：分组问题：一般地，把n个球随机地分成m组(nm),要求第 i 组恰有ni个球（i=1,m)，共有分法： 袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问第一个人取得红球的概率是多少？第二 个人取得红球的概率是多少？?1.3 条件概率若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？一、条件概率已知事件A发生的条件下，事

2、件B发生的概率称为A条件下B的条件概率，记作P(B|A)若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; （2）求第二次取到红球的概率（3）求两次均取到红球的概率设A第一次取到红球,B第二次取到红球ABA第一次取到红球,B第二次取到红球显然，若事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率一般地，设A、B是S中的两个事件，则 二、乘法公式设A、B，P（A）0,

3、则 P(AB)P(A)P(B|A)上式就称为事件A、B的概率法公乘式。上式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1)引例：市场上有华泰、金星、荣光三家化工厂生产的同一品牌的化工产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/2和1/4，且三家工厂的次品率分别为2、1、3%。试求：（1） 若任买一化工产品，问买到的是合格品的概率是多少？（2） 若查出某一产品不合格，问该产品最有可能是何厂家的？三、全概率公式与贝叶斯公式市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家

4、工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。B定义 事件组A1，A2，An (n可为)，称为样本空间的一个划分，若满足：A1A2AnB定理1.2（1） 设A1，, An是的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B 有 式(1.7)就称为全概率公式。例1.17 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球这六个球手感上不可区别今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？解：设A1从甲袋放入乙袋的是白球；A2从甲袋放入乙袋的是红球；B从乙袋中任取一球是红球；甲

5、乙定理1.2（2）设A1，, An是的一个划分,且P(Ai) 0，(i1，n)，则对任何事件B ,有 式(1.8)就称为贝叶斯公式。思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答:例1.18 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的. B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1由Bayes公

6、式:例1.19数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.55，发1的概率为0.45。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和“不清”。在发1的时候，接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和“不清”。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?)BA (P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+0.067解：设A-发射端发射0， B- 接收端接收到一个“1”的信号0 (0.55)0 1 不清(0.9)(0.05)(0.05)1 (0.45)1 0 不清(0.85)(0.05)(

7、0.1)例1.20 在肝癌诊断中有一种血清甲胎蛋白法，该方法能够检查出95%的真实患者，但也可能将10%的正常人误判。根据以往纪录，每一万人中约有4人患肝癌。现在有一人被该检验法诊断为患有肝癌，试求此人确实是肝癌患者的概率。解:设事件A=“用该方法判断被检验者患有肝癌”， 事件B=“被检验者确有肝癌”，由Bayes公式:全概率公式和贝叶斯公式 在全概率公式中，事件A1，, An是导致试验结果的原因，P（Ai)称为先验概率；而贝叶斯公式是在某一事件B已发生之后再来判断事件Ai发生的概率，P（Ai|B)称为后验概率。 由贝叶斯公式作出的后验概率判断结果，称为贝叶斯决策。这种决策方法在工程技术、风险

8、管理、投资决策中大量应用。条件概率 小 结缩减样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式（先验概率） 贝叶斯公式（后验概率）1.4 事件的独立性一、事件的独立性定义1.6 设A、B是两事件，P(A) 0,若 P(B)P(B|A) 则称事件A与B相互独立。上式等价于： P(AB)P(A)P(B)从一付52张的扑克牌中任意抽取一张，以A表示抽出一张A，以B表示抽出一张黑桃，问A与B是否独立？定理1.3、以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。例1.21 设有甲、乙两个射手,他们每次命中目标的概率分别是0.8和0.7,现两人

9、同时向一目标射击一次,试求:(1)目标被击中的概率;(2)若已知目标被击中,则它是被甲击中的概率是多少?解 设A,B分别表示甲、乙命中目标,C表示目标被击中,显然A与B相互独立且P(A)=0.8,P(B)=0.7,故(1) 由于C=AB, 则目标被击中的概率 P(C)=P(AB)= P (A)+ P (B)P (AB)= P (A)+ P (B)P (A) P (B)=0.8+0.70.80.7=0.94,(2) 已知目标被击中,则它是被甲击中的概率为定义1.7、若三个事件A、B、C满足：(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), (

10、1.9)则称事件A、B、C两两相互独立；若在此基础上还满足：(2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), (1.10)则称事件A、B、C相互独立。注意:三个事件的独立性除了类似于两个事件的情形需满足(1.10)式外,还需要满足(1.9)式的三个条件, 满足(1.9)式三个条件的事件称作是两两独立的.由此可见,若A,B,C相互独立,则A,B,C一定两两独立.但A,B,C两两独立不能保证A,B,C相互独立,即从(1.9)式不能导出(1.10)式.这是把两个事件的独立性推广到多个事件时一个很主要的差别,例如下面的例子.例1.22 设一个口袋里装有4张形状相同的卡片.在这4张卡片上依次标有数字:11

11、0,101,011,000.从袋中任取一张卡片,用Ai表示事件“取到的卡片第i位上的数字为1”(i=1,2,3).证明:A1,A2,A3三个事件并不相互独立,但A1,A2,A3是两两独立的.证明 容易求出:从而但是 由此可见,对这三个事件,虽然(1.9)式成立,但(1.10)式却不成立.即这三个事件是两两独立的,但并不是相互独立的.一般地，设A1，A2，An是n个事件，如果对任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) 则称n个事件A1，A2，An相互独立。思考：1.设事件A、B、C、D相互独立，则2.

12、一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次至少得一个双六，这两件事，哪一个有更多的机会遇到？答:0.518, 0.496事件独立性的应用1、加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立, 则 2、在可靠性理论上的应用如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。设A-L至R为通路,Ai-第i个继电器通,i=1,2,5由全概率公式可靠性问题：元件能正常工作的概率称为该元件的可靠性。由多个元件构成的系统能正常工作的概率称为该系统的可靠性。二、伯努利(Bernoulli)概型 一般地,把只有两个对立结果A和 的随机试验

13、称为伯努利试验. 把伯努利试验在相同条件下重复进行n次,如果每次试验相互独立,则称这样的试验为n重伯努利试验,或称为伯努利概型.称独立重复进行的可列次伯努利试验为一个伯努利独立试验序列.定理1.4 在伯努利试验中,若事件A发生的概率P(A)=p(0p0,则 P(AB)P(A)P(B|A)上式就称为事件A、B的概率乘法公式。上式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) 一般地，有下列公式： P(A1A2An)(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1)设A1，, An是的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B 有 （3）全概率公式：（4）贝叶

14、斯公式：设A1，, An是的一个划分,且P(Ai) 0，(i1,n)，则对任何事件B ,有 概型（古典概型、伯努利(Bernoulli)概型）设事件A中所含样本点个数为nA,以n记样本空间中样本点总数，则有（1）古典概型中的概率概型（古典概型、伯努利(Bernoulli)概型）（2）伯努利概型中的概率在伯努利试验中,若事件A发生的概率P(A)=p(0p1)，则在n重伯努利试验中,事件A恰好发生k次的概率为 其中q=1p,k=0,1,2,n. 上式也称为伯努利公式.第二章 随机变量 随机变量的概念 离散型随机变量及其分布分布函数连续型随机变量及其分布 随机变量函数的分布随机试验的结果数量化随机变

15、量数学方法概率问题随机试验结果的概率研究问题随机变量的概率分布问题随机变量引入的意义 关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量随机试验的结果数量化 定义. 设=是试验的样本空间，如果量X是定义在上的一个单值实函数，即对于每一个 ，有一实数X=X()

16、与之对应，则称 X=X()为随机变量。随机变量常用X、Y、Z 等表示。（变异性和随机性）随机变量的特点: 1. X的全部可能取值是互斥且完备的2 .X的部分可能取值描述随机事件?请举几个实际中随机变量的例子EX例2.1例2.5借助于随机变量可以方便地表述随机事件随机变量的分类：随机变量离散型随机变量(P43)定义 若随机变量X取值x1, x2, , xn, 且取这些值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称X为离散型随机变量，而称PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为X的分布律或概率分布。可表为 X PX=xk=pk, (k=1, 2, )，或 Xx1 x2xKPkp1p2pk(

17、1) pk 0, k1, 2, ;(2) 例1 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X为k的概率。解 k可取值0，1，2分布律的性质例2.某射手对目标独立射击5次，每次命中目标的概率为p，以X表示命中目标的次数，求X的分布律。解：设Ai第i次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5 则A1,A2,A5,相互独立且 P(Ai)=p,i=1,2,5. X=0,1,2,3,4,5,(1-p)5 几个常用的离散型随机变量1. 两点分布 XB（1，p） 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从两点分布(01)分布) X PX kpk(1p)1k, (0p

18、1) k0，1或两点分布来自于伯努利试验，所以两点分布又称为伯努利分布，它是最简单的离散型分布。 若以X表示n重伯努利试验事件A发生的次数，则称X服从参数为n,p的二项分布。记作XB（n,p) ,其分布律为： 2.二项分布 二项分布是概率统计中重要的离散型分布之一，它涉及的是n重伯努利试验。也就是说各次试验是独立的，且各次试验条件是稳定的。现实生活中的许多现象程度不同地符合这个条件。如产品的质量检验，从N个产品中有放回地取出n个，其中所含的次品数X就服从二项分布。例3.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3.(1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律.(2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.解:(1)由题意,XB(