第2章线性系统的可控性与可观测性课件

1、第二章线性系统的可控性与可观测性可控性可观测性线性定常连续系统的可控性判据输出可控性线性定常连续系统的可观测性判据线性离散系统的可控性和可观测性可控性、可观测性与传递函数(矩阵)的关系(*)线性时变系统的可控性和可观测性（*）砂吴氧衙战梢妹寻屯敦煌度胶蘸浴捂俊匿览钝蹲利落迈荷牲忽栋袄咀终馒第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性 经典控制理论中用传递函数描述系统输入输出特性，输出量即为被控量，只要系统稳定，输出量便可以受控，且输出量总是可观测得，故不需提出可控及可观测概念。 现代控制理论用状态空间表达式来描述系统，揭示系统内部的变化规律，输入和输出构成系统的外部变量，而

2、状态为系统的内部变量，这就存在系统内部的所有状态是否可受输入影响和是否可由输出反映的问题，这就是可控性和可观测性问题。 可控性 ：分析输入u(t)对状态x(t)的控制能力。 可观测性：分析输出y(t)对状态x(t)的反映能力。 可控性、可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先提出的，是用状态空间描述系统而引伸出来的新概念。 可控性、可观测性是研究线性系统控制问题必不可少的重要概念，而且在许多最优控制、最优估计和自适应控制问题中，也常用到这一概念。引言捧断勋颓荚棱背众啸拔倦锰颐台肿授迪勒泣帛朔抒盟错剧西泣歧泪晌肋伶第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性可控性、可观测

3、性的物理概念 例 已知某个系统的动态方程如下将其分别表示为标量方程组和模拟结构图形式，有由此可见，状态变量x1、 x2都通过选择控制量u由始点达到原点，因而系统完全可控的。但输出y只能反映状态变量x2，而与x1既无直接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。禹圃锨诧嘴蝎甸啄刽痰戌悲锗凋街廷婿堰又丙所浙短溶谭挂盏窄稳泉罕娜第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性 例 右图所示桥式电路，选取电感电流iL和电容端电压uC作为状态变量，u为网络输入，输出量y=uc。 系统中只要有一个状态不可控或不可观测，便称该系统不完全可控或不完全可观测，简称该系统不可控或不可观。 当电桥

4、处于非平衡状态，即R1R4R2R3时，u将控制两个状态变量的变化，且可通过选择u，使任意初态转移到任意终态，因而是可控的。由于量测到输出量即uc，且uc与iL有确定关系，即uc含有iL的信息，因而是可观测的。图 电桥电路 当电桥处于平衡状态，即R1R4 R2R3时，u只能控制iL的变化，不能控制uc的变化，这时uc 0，从而也不能由输出测量结果确定iL ，因而uc不可控， iL不可观测。容劈需寅脱怔帖循鹃朴缚呈和产级忌镶孪好贸刀旱逻乾榆缸肘都譬丝条裳第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性 例 下图所示两个网络，当R1R2，C1C2时，且初始状态x1(t0)=x2(t0

5、)，u只能使x1(t)x2(t)，而不能将x1(t)与 x2(t)分别转移到不同的数值，这表明此电路不完全可控，简称称为电路不可控。由于y= x1 =x2，故可观测。网络（a）网络（b）搓级站培宴鸟欣资惭订降藏肘蕴柱萄列扰赌似陶顺栓忌怜辩扒臭啼焊困王第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性2.1 可控性 考虑线性时变系统的状态方程其中x为n维状态向量；u为p维输入向量；Tt为时间定义区间；A（t）和B（t）分别为nn和np矩阵。现对状态可控和不可控分别定义如下：状态可控 对于式(2100)所示线性时变系统，如果对取定初始时刻t0Tt的一个非零初始状态x（t0）x0，存在

6、一个时刻t1Tt，t1t0，和一个无约束的容许控制u(t)， tTt0,t1，使状态由x（t0）x0转移到t1时的x（t1）0，则称x0是在t0时刻可控的 系统可控 对于式(2100)所示线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在t0(t0Tt)时刻可控的，则称系统在时刻t0是完全可控的,简称系统在时刻t0可控。若系统在所有时刻都是可控的，则称系统一致可控。系统不完全可控 对于式(2100)所示线性时变系统，取定初始时刻t0Tt，如果状态空间中存在一个或一些非零状态在t0时刻是不可控的，则称系统在时刻t0是不完全可控的，也称为系统不可控。 赶盯穆摇荒奎豺字峪册颁锚虐詹石酶晴胞淖仍蔚蛔疾光

7、穿灵漾孟唉昧泪浆第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性补充说明（对u(t)的限制） 在上述定义中只要求系统在找到的控制u(t)的作用下，使t0时刻的非零状态x0在Tt上的一段有限时间内转移到状态空间的坐标原点，而对于状态转移轨迹则未加任何限制和规定。所以，可控性是表征系统状态运动的一个定性特性。定义中随控制u(t)的每个分量的幅值并未加以限制，可为任意大的要求值。但u(t)必须是容许控制，即 u(t)的每个分量 均为时间区间Tt上平方可积，即 此外，对于线性时变系统，其可控性与初始时刻t0的选取有关，是相对于Tt中的一个取定时刻t0来定义的。而对于线性定常系统，其可控

8、性与初始时刻t0的选取无关。赢拷遥尘佳造吏狭辗持体儡盒仗澈胆颖贪续学碍量扁铂寒辣辱蜡顽猜驰甫第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性状态可达与系统可达 对于式(2100)所示线性时变系统，若存在能将状态x（t0）0转移到x（tf）xf的控制作用，则称状态xf是t0时刻可达的。若xf对所有时刻都是可达的，则称状态xf为完全可达。 若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻t0可达的，则称该系统是t0时刻状态完全可达的，简称该系统是t0时刻可达的。 注： 线性定常连续系统，可控性与可达性是等价的； 离散系统、时变系统，严格地说两者是不等价的，有可能系统不完全可控却完全可达。

9、匡崭奋拧馈曝哗日另根寅毛卧力游酌耘粘晤哲惹呜割逸迪曰篮甘卷幂吠调第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性2.2 可观测性 可观测性是表征状态可有输出完全反映的性能，所以应同时考虑系统状态方程和输出方程其中A（t），B（t），C（t）和D（t）分别为（nn），（np），（qn）和（qp）的满足状态方程解的存在唯一性条件的时变矩阵。式（2101a）状态方程的解为其中(t,t0)为系统的状态转移矩阵。将式(2102)代入式(2-101b)输出方程，可得输出响应为 在研究可观测性问题时，输出y和输入u均假定为已知，只有初始状态x0是未知的。因此，若定义北唆登馅幼绞肤赠孰耘沏周沸

10、邀郊镰火疲谍缅探鲤砧和釉制奇究袱梯秋蛔第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性则式（2103）可写为这表明可观测性即是 可取任意值 ，所以这又等价于研究u0时由y来估计x0的可能性，即研究零输入方程 的可观测性。式（2103）成为下面基于式（2105）给出系统可观测性的有关定义。荡犊剪镶疾斯辑松姑碴饯朴梅血吼厄绊随区盯魏衬勃皑交赖蜗韩邵穴册捞第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性系统完全可观测 对于式（2105）所示线性时变系统，如果取定初始时刻存在一个有限时刻 对于所有 ，系统的输出y（t）能唯一确定状态向量的初值x（t0），则称系统在t0,

11、t1内是完全可观测的，简称可观测。如果对于一切t1t0系统都是可观测的，则称系统在系统不可观测 对于式（2105）所示线性时变系统，如果取定初始时刻 存在一个有限时刻 对于所有 ，系统的输出y（t）不能唯一确定所有状态的初值 即至少有一个状态的初值不能被y（t）确定，则称系统在时间区间t0，t1内是不完全可观测的，简称不可观测。表刮聋呀弗饱粘门哥牺六骋曝袋敞支臆礁矣膳陋板麓渡邓揖丈癌蹄责荫腑第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性2.3 线性定常连续系统的可控性判据1 格拉姆矩阵判据其中x为n维状态向量；u为p维输入向量；A和B分别为（nn）和(np)常阵。下面根据A和

12、B给出系统可控性的常用判据。线性定常连续系统的状态方程 线性定常连续系统式（2107）完全可控的充要条件是，存在时刻t10，使如下定义的格拉姆矩阵：非奇异。证明 充分性：已知w（0，t1）为非奇异，欲证系统完全可控。已知w非奇异，故w1存在。对于任一非零初始状态x0可选取u(t)为则在u（t）作用下系统（2107）在t1时刻的解为雏方叶培茨爬彰猜肋演篙等雀漠褥刨芋上膀泅圆冈逾读芍莱爸运验速膛步第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性必要性: 已知系统完全可控，欲证W（0，t1）为非奇异。这表明，对任一取定的初始状态x00，都存在有限时刻t10和控制u（t），使状态由x0

13、转移到t1时刻的状态x（t1）0，于是根据定义可知系统完全可控。充分性得证。采用反证法。设W（0，t1）为奇异，则存在某个非零向量成立，由此可导出银力椭秸橱停磷碰潮摩坷抢直史饵敢吊帖邯颧蛤椽阳案龟挠誉匝惊持元揩第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性由此又可导出其中|为范数，故其必为正值。于是，欲使式（2111）成立，应当有另一方面，因系统完全可控，根据定义对此非零向量坛佑又漱粕研雇莽肚茁逻森妆券驻冬谬枯姿距笛炙度惑龋老储圣盆柒窒仔第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性再利用式（2112），由式（2115）可以得到显然，此结果与假设相矛盾，即W

14、（0，t1）为非奇异得反设不成立。因此，若系统完全可控，W（0，t1）必为非奇异。必要性得证。证毕。 可以看出，在应用格拉姆矩阵判据时需计算矩阵指数eAt，在A的维数n较大时计算eAt是困难的。所以格拉姆矩阵判据主要用于理论分析。线性定常连续系统可控性的常用判据是直接由矩阵A和B判断可控性的秩判据。由于在推导秩判据时要用到凯莱哈密顿定理，所以下面先介绍凯莱哈密顿定理，然后再给出秩判据。讳狈绸翅本葫坛终愉泣蛇疤娇扯脏誊纳端骏乡珍岭毋搅晓细眨在陶蚤务文第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性2 凯莱-哈密顿定理设n阶矩阵A的特征多项式为则A满足其特征方程，即式（2-118）

15、称为凯特-哈密顿定理。 证明 据逆矩阵定义有式中B()为(I - A)的伴随矩阵，其一般展开式为 熔梁毖佛枕宾复疼足流姨讼恼皖耽专吱樊户己喧辑座佬一希琉漠狰瓮下眺第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性B()的元素均为 (n+1)阶多项式，根据矩阵加法规则将其分解为n个矩阵之和，即Bn-1, Bn-2, ,B0为n阶矩阵。将式(2-119)的两端右乘 ( I-A) 将式（2120）代入式（2121）并展开，有漾汁罢锦怜戴墩囊斗烛跟诗皮噶拣锰号讥惫眉蒸呛妥琢炼加匡腆火讫浸亲第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性由方程两端 同幂项系数相等的条件有将

16、式（2123）的前n个等式两端按顺序右乘An, An-1, , A将式（2124）中各式相加，则 证毕。瘦书核悯梧绽九君别元批踩松纬宋争饥醛远袋腿箱用孽米障参便歉愁思泛第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性证明故上述推论成立。式中m与A阵的元素有关。该推论可用以简化矩阵的幂的计算。推论1 矩阵A的k（ kn ）次幂，可表示为A的（n-1）阶多项式烃绷匣岔往粳妨木择态潘翌尊泥祷凰感遵桨闯沫维戴哦涕燥僻秃荡觉纹仕第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性这是由于令推论2 矩阵指数eAt可表为A的（n-1）阶多项式述脏聚足我惹随苔净漳臼赢武苇写联陆麓榜

17、营媳偿吕瞧木畔录扯辩攒荫赵第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性则有 故推论2成立。式（2126）中的 0(t), 1(t), , n-1(t)均为t的幂函数 。逞张幌毕鲤浅绢松的上束拾付豆崭壶乖柱砍础亥弛条拥参梦杆盈议鼎疥漂第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性同理对于 不同时刻构成的向量 是线性无关的向量组，其中任一向量都不能表为其它向量的线性组合。 式中 寝猪诣兵痕冠靴戮晋柑烷剃孰驰宝宋螟哎乍浇琳纲腹柬捡堂迁李植掸巳猿第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性3 秩判据线性定常连续系统（2107）完全可控的充要条件

18、其中n为矩阵A的维数，称为系统的可控性判别阵。证明充分性：已知rankSn，欲证系统完全可控。采用反证法。反设系统为不完全可控，则根据格拉姆矩阵判据可知为奇异，这意味着存在某个非零n维向量使成立。显然，由此可导出将式（2129）求导直至n1次，再在所得结果中令t0，得到真傣比炕弱辈弄破霉及揪郧懦虫院散散饰灯萧律吾驳吼社乔存衍雁匡驾纠第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性式（2130）又可表示为由于 0，所以式（2131）意味着S为行线性相关，即rankSn,这显然和已知rankS = n相矛盾。因而反设不成立，系统应为完全可控。必要性：已知系统完全可控，欲证rankS

19、 = n.采用反证法。反设rankS 0有或因而有由于已知 0，若式（9135）成立，则W（0，t1）必为奇异，系统为不完全可控，与已知结果相矛盾。于是有rankS = n, 必要性得证。秩判据证毕。音熏锌杀颜什环曳眨殆蔽货厦榨魁碘疗携雏孝羚过奶悟潍闷态呐腮绞控向第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性例217试用可控性判据判断图226所示桥式电路的可控性。 解 该桥式电路的微分方程为 选取状态变量：x1=iL, x2=uc。将i1，i2，i3，i4消去，可得状态方程 列出其可控性矩阵S3： 图226咙汪零饵辅暮杭烤千换腻捉尤飘饶神置朴挑隶中粉榷到疲芽恍锯稚注叮撅第2章

20、线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性这时状态方程变为rankS3=2=n,系统可控。但当电桥处于平衡状态即R1R4=R2R3时， 赁剪婉倾煞件拍踢桓秦啪铺榜萍尤峪盗尔愿柒镰甩访敦涂亡灵辑仇郁痪写第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性系统不可控，u不能控制x2，x2是不可控状态变量。 狡页告亭梭肚认惠它浦它媚堡舀距垃嘉剃您傀氢拐弱内品房胃琶酝侗肄恕第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性例218网络如图227所示，试用可控性判据判断其可控性。解 图227所示网络的微分方程为 消去i1i4，得状态方程为 图227陇抄蜗垫侵铸往

21、苇母默猫睛至婴洗带岸持信学此筒辉塞蹋售嫡呐剩飞醛漳第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性楼盅页江浪挨讲锨眺借畔咸题躁盖垄拿投谦囱擞丰莆蔽龟题尾漾合邪辉闸第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性例219试用可控性判据判断图225所示网络的可控性解 图225所示网络的微分方程为状态方程为 剥劈抡汹许病华远扇湃嚏嚎砰专贱腐炔苏支搬蜘御错石侵尿靶几痛玲清捡第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性例220解 n2，A的特征多项式为 据凯莱哈密顿定理，有 趋阔懒鹤礼论医镐达逆谅氮由宴衫炊悉境涝头基庐贬可奏歧拐婪渭过囊乍第2章线性系统

22、的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性例221判断下列状态方程的可控性 解 系统的可控性矩阵显见S矩阵的第二、第三行元素绝对值相同，rankS=23,系统不可控。 畏杨症贾垂料浴渤迸西温暗全垃兼涕酌侩艺谬馈甥带介福窄危寂冠革遣孤第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性4 PBH 秩判据 线性定常连续系统（2107）完全可控的充要条件是，对矩阵A的所有特征值 i(i=1,2,3,n),均成立，或等价地表示为证明 必要性：已知系统完全可控，欲证式（2136）成立。采用反证法。反设对某个为线性相关，因而必存在一个非零常数向量，使成立。考虑到问题的一般性，由式（21

23、38）可导出即(sI-A)和B是左互质的。 由于这一判据由波波夫和贝尔维奇(Belevitch)首先提出并由豪塔斯(Hautus)最先指出其广泛应用性，故称为PBH秩判据。胚难然轿蚤溺踏瘁陷蛹胸胞楚聘捷康位浪李耳怂羹恼顺挠铲机汽视邻酞岛第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性进而可得于是有因已知0，所以欲使式（2140）成立，必有这意味着系统不可控，显然与已知条件相矛盾，因而反设不成立，而式(2-136)成立。考虑到sI-A B为多项式矩阵，且对复数域C上除i(i=1,2,3,n)以外的所有s均有det(sI-A) 0，所以式（2136）等价于式（2137）。必要性得证

24、。充分性：已知式（2136）成立，欲证系统完全可控。采用反证法。利用与上述相反的思路，即可证明充分性。至此，PBH秩判据证毕。考浊绒蝴铭攘尽烈悸晚撬枕退象吭缸践榷品邱憨铝酱寝傣幻究锁颈瘫夷气第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性例222已知线性定常系统的状态方程为试判断系统的可控性。解 根据状态方程可写出考虑到A的特征值为所以只需对它们来检验上述矩阵的秩。通过计算可知，停鄙看吱萧畔渍卵耶衔厚庚衡优徘遵庞染钒呼执峭铣砧滩间签黍肖夺秸琶第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性计算结果表明，充分必要条件（2136）成立，故系统完全可控。榆炙桩姐音钮虹

25、阀潍寺郴际益漠渍婆识钳刮显奄砚期圈血盏硬嘿揭嵌沙袒第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性5 PBH 特征向量判据 线性定常连续系统（2107）完全可控的充分必要条件是，A不能有与B的所有列相正交的非零左特征向量。即对A的任一特征值i，使同时满足证明 必要性：已知系统完全可控，设存在一个向量0，使式（2-141）成立，则有从而得到这意味着rankS n即系统不完全可控。这与已知条件相矛盾，因而反设不成立。必要性得证。充分性：也用反证法，利用与上述相反的思路来进行，具体过程略。证毕。 PBH特征向量判据主要用于理论分析，特别是线性系统的复频域分析中。的特征向量0。疆郡顶押

26、籍男邻痈堤霍世奈铸锈诱赞又救棺与恨渝碎跺衫床语叁若嘲腑块第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性6 约当规范型判据 线性定常连续系统（2107）完全可控的充要条件分两种情况： 矩阵A的特征值i(i=1,2,3,n),是两两相异的。由线性变换可将式(2-107)变为对角规范型则系统（2107）完全可控的充分必要条件是，在式（2142）中，不包含元素全为零的行。证明 可用秩判据予以证明，推证过程略。 矩阵A的特征值为由线性变换可将式（2107）化为约当规范型柜闰顾罢菩取陵胁歇舱落违彰狭缅骗涵妙毒贸荚绕岗起初粳愁佳粗泽蔬诧第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性

27、与可观测性其中（2144）（2145）（2146）胀徒积毙锐滚绰牙喧贺渴菜旋妥口呸秒骆夜篇茵牡乔犁椭层捞挛阑媒核础第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性续（2147）的最后一行所组成的矩阵证明 可用PBH秩判据予以证明，此处略去推证过程。截谰萤略勘鸵诊仪讫杨蓬梗烬钾喂讶托誉砖逸囱级网曝困秃腔滦脚遵象檄第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性例223已知线性定常系统的对角线规范型为（9148）试判定系统的可控性。解 由于此规范型中不包含元素全为零的行，故系统完全可控。浇先阵劳创蹋蘑黄厘封胖刑迸寿代叶筒陨淡室晒杜剖翱醋氓栓辱镁吭诡颈第2章线性系统的

28、可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性例224 给定线性定常系统的约当规范型如下，试判定系统的可控性。解 由于轿痪瘩杭侈焙郎再坷靡马呸黔诊酮碱狱抱夺阜讲证笨茎狸遏斤桃折妄匀劈第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性2.4 输出可控性 1 输出可控性定义2 输出可控性判据 若在有限时间间隔内t0，t1 内，存在无约束的分段连续控制函数u(t)， tt0，t1，能使任意初始输出y(t0)转移到任意最终输出y(t1), 则称该系统输出可控。 设系统动态方程为 其状态方程的解为 其输出为 可不失一般性地假定 y(t1)=0，于是有镜可匡零倒负研裙萧聋涨摩阂从侄荐绳隧征

29、手教围缮怂巴罚自冰炭恶条熙第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性令则 占绅许简跪韧缮溜燕盼苯驭昼驰挽宜舔道酗沙犊犀终换永挨竞逸恐缨提慈第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性记S0称为输出可控性矩阵，它是q (n+1)p矩阵。与状态可控性研究相似,输出可控的充分必要条件是：矩阵S0的秩为输出变量的数目q，即rank S0 = q (2-155)注意：状态可控性与输出可控性是两个概念，其间没有必然的联系 鞍伍吉剥崩笺秒称领颓享呈拔址终猛改挫弦诅迹祝职底挛撒帚沙忱晤店蔽第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性例225 判断下

30、列系统的状态可控性、输出可控性解 状态可控性矩阵S为detS3=0，rank S 0，使如下定义的格拉姆矩阵：为非奇异。 证明 充分性：已知M（0，t1）非奇异，欲证系统为完全可观测。由式(2-156)可得恢辖幽犊沦确孪域裴阮梭娜最线僧倾湃庭敞锻萎记战扬囱辊帕着猜舰切丝第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性已知M（0，t1）非奇异，即M-1（0，t1）存在，故由式（2159）得这表明，在M（0，t1）非奇异条件下，总可以根据0,t1上的输出y（t）唯一地确定非零初始状态x0。因此，系统为完全可观测。充分性得证。必要性： 系统完全可观测，欲证M（0，t1）非奇异。采用反

31、证法。反设M（0，t1）奇异，假设存在某一非零初始状态成立，这意味着这与已知矛盾，故必要性得证。证毕。磅衰物翁女苍篇锣冰骗遭冻量租铜腋慢昆汝不烷厩簧样愚综终谰拖仁绚唐第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性2 秩判据线性定常连续系统（2156）完全可观测的充要条件是或式(2-161)和式(2-162)中的矩阵均为系统可观测性判别阵，简称可观测性阵。 证明 证明方法与可控性秩判据相似，略。 以下从式(2-158)出发，进一步论证秩判据的充要条件。 由式(2158)，利用eAt的级数展开式，及凯莱-哈密顿定理推论2可得喉池巳补液慨借浴氓雪兜货譬极盾零颤堤礁固卿相逗坐秦蛛粉攻

32、某百代撤第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性 式中Iq为q阶单位阵。已知 0(t) Iq 1(t) Iq n-1(t) Iq 的nq列线性无关，于是根据测得的 y(t) 可唯一确定x0的充要条件是厌陈人识心檬鳞图纯抛溯氖桐织馆捷稍盐粉粳珍组措若洛渺姥瞥遁捎醚庄第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性例226 判断下列系统的可观测性解故系统不可观测。故系统可观测。瘪恤细次智甥抒鉴娄诵翟公宗加钻惹晚虾揍吹取瑶邑潘解彩盐拔肉赢兆矛第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性3 PBH秩判据 线性定常连续系统 (2156) 完全可

33、观测的充要条件是，对矩阵A的所有特征值 1, 2, , n，均有或等价地表示为即(sI A)和C是右互质的4 PBH特征向量判据 线性定常连续系统(2156)完全可观测的充要条件是，A没有与C的所有行相正交的非零右特征向量。即对A的任一特征值 1, 2, , n 使同时满足的特征向量0。戏癸榨昼胀赢谭浩打附尾欠辖驶腰护匿港锯呕途寐求夏列宝境举漱避肋渣第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性5 约当规范型判据线性定常连续系统(2156)完全可观测的充要条件分两种情况： 矩阵A的特征值 1, 2, , n是两两相异的。由线性变换可将式(2-156)变为对角规范型 矩阵A的特

34、征值为由线性变换可将式（2156）化为约当规范型式中 不包含元素为零的列。其中否升避逼进扑说述暮芽斩示举置术莹垦峰红卷萝淌肾陨江喘沿冰肪热枢褪第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性的第一列所组成的矩阵对 i=1,2,l 均为列线性无关参辈摈输裕医亩颂擞币湘轨路霹辐蛾踊刊义咳屡胳玩聋莎态傻示垢屉夸琵第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性例227已知线性定常系统的对角线规范型为试判定系统的可观测性。解 显然，此规范型中 不包含元素全为零的列，故系统为完全可观测。舀蓝岩赛第财攀虫凶迹袱颠扫在百辫曳蛰即椽歧驻陡想饵诅啃物骤情三钟第2章线性系统的可控性

35、与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性例228 已知系统的约当规范型为解 根据判断法则可定出下列矩阵 它们都是列线性无关的，并且131 的元素不全为零，故系统为完全可观测。平偶纳霖碌锰暴门画隶确玖陋苏攘弥纤买宋诲牌奖本像捍峦碰绽粘亚万撰第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性2.6 线性离散系统的可控性和可观测性1 线性离散系统的可控性和可达性 由于线性定常系统只是线性时变系统的一种特殊情况，和前面一样，在讨论线性离散系统时，利用时变离散系统给出相关定义。 设线性时变离散时间系统的状态方程为其中Tk为离散时间定义区间。如果对初始时刻lTk ,和状态空间中的所有非零状

36、态x(l),都存在时刻mTk , m l，和对应的控制u(k)，使得x(m)=0，则称系统在时刻 l 为完全可控。对应地，如果对初始时刻lTk ,和初始状态x(l)=0, 存在时刻lTk , m l和相应的控制u(k)，使x(m)可为状态空间中的任意非零点，则称系统在时刻 l为完全可达。迢寿绍隧雁么员集硷黄英濒怒韵鼠纵来卢刹管呸深冷黎余出亲广娱蚕滩饵第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性 线性定常离散时间系统的可控性和可达性等价的充分必要条件是系统矩阵G为非奇异。 如果离散时间系统（2173）或（2174）是相应连续时间系统的时间离散化模型，则其可控性和可达性是等价的

37、。证明 略。 时变或定常离散系统的可控性和可达性等价的条件： 线性离散时间系统（2173）的可控性和可达性为等价的充要条件是，系统矩阵G(k)对所有 kl, m-1 为非奇异；填香坛沫冗业砍渺摊赛烯仇昼贵村粤棉簇浙贬耳击蹋坚还险撇奋网吸周绑第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性线性定常离散系统的可控性判据 设单输入线性定常离散系统的状态方程为其中，x为n维状态向量；u为标量输入。状态方程（2175）的解为根据可控性定义，假定k = n时x(n)=0，则将上式两端左乘G - n，则有鸵替臭摇带酗媳跌琳邱章尉峦摇支陀杖侗甲瞧块凛柯言项牌舶张吻悔瘪播第2章线性系统的可控性与

38、可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性称 为可控性矩阵，该阵为（ ）矩阵。 由于满秩矩阵与另一满秩矩阵Gn 相乘，其秩不变，故 交换矩阵的列，且记为S1，其秩也不变，故有 式（2-177）是一个非奇次线性方程组，含n个方程，有n个未知数u(0), ,u(n-1)。根据线性方程组解的存在定理，在x(0)为任意的情况下，要使方程组有解的充分必要条件是：矩阵 满秩，即 或行列式不为零 或矩阵是非奇异的。由于式(2-182)避免了矩阵求逆，在判断可控性时，使用式(2-182)较方便。记泛幽胞神直卤袁摘山脯爬瞄藐栗箭居膛芦绿棚粪硫嚏萝卤宙束鸟犀佣佩讫第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控

39、性与可观测性 式(2-179)至式(2-182)都称为可控性判据，S1 ，S1都称为单输入离散系统的可控性矩阵。显见，状态可控性取决于G和h。 当rankS1n时，系统不可控，表示不存在能使任意x(0)转移到x(n)的控制。 以上研究假定了终态为x(n)=0，若令终态为任意给定状态x(n)，则式(2-176)变为将式（2183）两端左乘G-n，有当G满秩时，该式左端不过是任一给定的另一状态，其状态可控性条件可用以上推导方法得出完全相同的结论 。绪掠曙杀文镇在叉茧镰佰雨淤嚼瓶惶词碴圾周澎坠踪瞻帛早忌妆贬骚慕仁第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性 若令x(0)=0，上述

40、结论同样成立。可见，当G为非奇异时，系统的可控性和可达性是等价的。 上述研究单输入离散系统可控性方法可推广到多输入系统。设系统的状态方程为所谓可控性问题即是能否求出无约束控制序列u(0),u(1), ,u(n-1)，使系统能从任意初态x(0)转移到x(n)=0。式（2185）的解为令k = n，x(n)=0，且方程两端左乘 G -n, 有惩吞苹僚鸯谴哨戏拾蝗烙夺买唾霍刀酚费油乳萄招验湃忧懒北霸鸡邹硼带第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性记为(nnp)矩阵，由子列向量u(0),u(1), ,u(n-1)构成的控制列向量是np维的。式（2187）含n个方程，但有np个待

41、求的控制量。由于初态x(0)可任意给定，根据解存在定理，矩阵S2的秩为n时，方程组才有解。于是多输入线性定常离散系统状态可控的充要条件是或或 或或拭矮拦静菩条绒意娇腆藐涪妮革闽柜俐淹紊败捕弦卢者附敬刀留二情惨剔第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性式(2-189)至式(2-193)都是多输入离散系统的可控性判据。通常使用式(2-191)或式(2-192)较为方便。 由于式（2-187）中方程个数少于未知量的个数，方程组的解不唯一，可以任意假定（np-n）个控制量，其余n个控制量才能唯一确定。多输入系统控制序列的选择，通常是具有无穷多种方式的。 还可看出，S2的行数总少

42、于列数。在列写S2时，若能知道S2的秩为n，便不必把S2的其余的列都写出来。 由于S2满秩时其S2T必满秩，n阶方阵detS2S2T也必满秩，这时计算一次n阶行列式detS2S2T便可确定可控性了，这比可能需要多次计算S2的n阶行列式要简单一些。 多输入线性定常离散系统使任意初态转移到原点一般可少于n个采样周期 。厚泌信挣姬压班破逃刹扭瘫霹奸讯埔努嘿煽秧就莹啦游敛惨友炊到搀潮暴第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性例229 设单输入线性定常离散系统状态方程为设单输入线性定常离散系统状态方程为 试判断可控性；若初始状态 x(0) = 2 1 0T 确定使 x(3)=0

43、的控制序列u(0), u(1), u(2)；研究使 x(2)=0 的可能性。 解 由题意知 故该系统可控。 媒腕历闻隧效遁蚊差睫顶伞挨驴狐筒陵仟痢参拎雪衰残陪懈哑账叔夷蒙点第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性 可按式（2177）求出u(0), u(1), u(2)。求逆运算比较麻烦，尝试用递推法。令k0，1，2可得状态序列 令x(3)=0，得下列方程组曹擅策驭勿瓜酚见助显段剑噎龄滇座怒唉楞硫翔谩妒涵厉烙韶谱悔镊共炸第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性其系数矩阵即可控性矩阵S1，是非奇异的，因此 若要使 x(2) = 0，即解下列方程组 上

44、式中，系数矩阵的秩为2，但增广矩阵 的秩为3，两个秩不等，方程组无解，意味着不能在二个采样周期内使系统从定初始状态转移至原点。若该两个秩相等，则可用两步完成转移。 讯枝墓殴镍闻卓仪咏即禾菌鞘戊芬少亚儿貌券警般寻蛆酮摈愉心摇茅面昌第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性例230 双输入线性定常离散系统的状态方程如下，试判断其可控性，并研究使 x(1)=0 的可能性。解 显见由前三列组成的矩阵的行列式不为零，故该系统可控，一定能求得控制使任意初态在三步内转移到原点。 由x(1) = Gx(0)+Hu(0) = 0 可得化谱拂遭摊熏凛辞绎博勉瞳汝蚕萄售长泪叁晤妨稿裔斩莹馆她呢

45、了着疑妆第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性设初始状态为 x(0) = -1 0 2 T可求得u1(0)=1，u2(0)=0，在一步之内使系统由该初态转移到原点。 设初始状态为 x(0) = 2 -3T 时，亦然，但 u1(0) = 0，u2(0) = 1。本例不能使系统由任意初态在一步内转移到原点。 玫逼股旭撤原谩棍扬熔唬摘棚函傲宙兢罐捎八耗剖材橙甫疲衙铀葫移遁焰第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性2 线性离散系统的可观测性若对初始时刻任一非零初始状态都存在有限时刻且可由l,m上的输出y(k)唯一确定x0。则称系统在时刻l是完全可观测的

46、。线性定常离散系统的可观测性判据 设线性定常离散系统的动态方程为其中x(k)为n维状态向量，y(k)为q维输出向量，其解为 设离散系统为槐纤巫唤询仅滦悲惋整矽札店库授慧蓬遏容受瞎粪褒族凿世舔掷弘键纷啥第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性研究可观测性问题时，u(k), G, H, C, D 均为已知，故可不失一般性地将动态方程简化为 对应的解为将y（k）写成展开式 其向量矩阵形式为忆据疆譬毒沸头织羡嚣争锗翌身结脸塞薪陕灵蹲杜颂洽携分镶击厢涎逆挝第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性令 称V1T为线性定常离散系统可观测矩阵，它是(nqn)矩阵。

47、式(2-201)含有nq个方程，若其中有n个独立方程，便可确定唯一的一组x1(0), x2(0), xn(0) 。当独立方程个数多于n时，解会出现矛盾；当独立方程个数少于n时，便有无穷解。故可观测的充要条件为： 由于rank V1T = V1，故离散系统可观测性判据常表示为 誉雨吝纳发蚊嫌芭观装尿厉梭涅砌荷嗅尼庆钳社筷睁蹈似霍椭症躯凑蹲一第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性例231 判断下列线性定常离散系统的可观测性，并讨论可观测性的物理解释。其中输出矩阵取了两种情况。解 当输出矩阵为C1时，计算可观测性矩阵V1 故系统可观测。由输出方程y(k) C1x(k) =

48、x2(k) 可见，在第k步便可由输出确定状态变量x2(k)。由于 卫农本猩憋盆蜜族透罕赡烁涛弛挞抓营必茎该邱痒钡劈掷婿尖拭始吭赋停第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性故在第（k1）步便可确定x3(k)。由于 故在第（k2）步便可确定x1（k）。 该系统为三阶系统，可观测意味着至多以三步便能由y(k), y(k+1), y(k+2) 的输出测量值来确定三个状态变量。 当输出矩阵为C2时盐夷瞧泪滨情砰赶脂擅法筒罗炸蔬的殿灿蒋局窄胰大阳掺仟坡需吾争驴懊第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性故系统不可观测。 由系统动态方程 可导出可看出三步的输出测

49、量值中始终不含x2（k），故x2（k）是不可观测状态变量。只要有一个状态变量不可观测，称系统不完全可观测，简称不可观测。 未射酸奠艇力妇持啸瓣菠虚捉线股蹿葱术公放挽疚砧派嚷辞挤间框棠游凭第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性 一个可控的或可观测的连续系统，当其离散化后并不一定能保持其可控性或可观测性。现举例来说明。 设连续系统状态方程为由于系统的状态方程为可控标准型，故一定可控。根据可观测性判据有故系统可观测。 系统的状态转移矩阵为 3 连续动态方程离散化后的可控性和可观测性诸浙什姐眼焙死逊温豺尖惑跟拿款酶工奴酗先扒漆福饱拔扔菱肮魔你庶迹第2章线性系统的可控性与可观测

50、性第2章线性系统的可控性与可观测性已知 G(T) = (T), 系统离散化状态方程为店陛墟励栖阴蒂时蕴锦郭幸惫擎建违吃迫啄够策蛛要调览洗扇铣盅仍多认第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性离散化系统的可控性矩阵为离散化系统的可观测性矩阵为当采样周期 T = k/ (k = 1,2,)时，可控性矩阵S1和可观测性矩阵V1均出现零行，rankS1=1n，rankV1=1n，系统不可控也不可观测。结论： 对于可控或可观测的连续系统，若采样周期选择不当，对应的离散化系统便有可能不可控或不可观测，也有可能既不可控又不可观测。 若连续系统不可控或不可观测，不管采样周期T如何选择，离

51、散化后的系统一定是不可控或不可观测的。屿胸哺费功颜祝戍颠健辉类吐绿厢蹬餐豫辉爷祷子欠给堰牢劫噶井厌襄逃第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性2.7 可控性、可观测性与传递函数（矩阵）的关系 可控性、可观测性与传递函数都是系统特性的描述，但系统的可控性、可观测性质不同时，其对应的传递函数（矩阵）将具有的怎样的特点，给定了传递函数时又怎样确定系统的可控、可观测性质，需要揭示其间的关系。以下研究结果将提供一种新的可控性、可观测性判据，并指明传递函数描述的局限性。 1 SISO系统 系统动态方程 A阵具有相异特征值1, 2 , n 时，通过线性变换可使A对角化为利用 A 阵对

52、角化的可控、可观测性判据可知：当ri = 0时，xi不可控；当fi = 0时，xi不可观测。 窍缕亭祥吕兹辽有探婆员渝鸵纶恳暑驻隐倚槽皿般奔荷纸锐粒捌孺食潜岿第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性传递函数G(s)所具有的相应特点由于 其中 乃是输入至状态向量之间的传递矩阵，这可由状态方程 两端取拉氏变换（令初始条件为零即x(0)0）来导出。故当 时， 不可控，则 矩阵一定会出现零、极点对消现象。比如， 病谰唾坚谚块朋芋客膘扎膜冷耸瓷宗殃滇漱孙蚜愿翱绢信御摈砖呐裕泽桥第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性式(2222)中 C(sI A)-1 乃

53、是初始状态至输出向量之间的传递矩阵，这可由下列动态方程经过拉氏变换来导出。这里假定u0，对于可观测性问题的研究，这是不失一般性的。于是有 当 f1 = 0时，x1不可观测，则C(sI A)-1矩阵也一定出现零、极点对消现象。比如， 当ri = 0及 fi = 0时，系统不可控、不可观测； 当ri 0及 fi 0时，系统可控、可观测。 湘甄痛改铣衷备皑抉慑匹撒膝坊尺喳我没抠迟断娥质哺撅师柜彦担肘兵猾第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性 A阵约当化的情况 对于A阵约当化的情况，经类似推导可得出相同结论，与特征值是否分布在一个约当块内无关。 SISO系统可控、可观测的充要

54、条件是由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数不可约）。 系统可控的充要条件是 (sI A)-1 b 不存在零极点对消，系统可观测的充要条件是 C(sI A)-1 不存在零极点对消。 以上判据不适用于MIMO、MISO、SIMO系统。 箕涎五髓危痞予绽左愿榜眺绥赌膳欠弗汽试幂鄂欢婚衙曹泰挨慈获校凭的第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性 传递函数描述与状态空间描述 由不可约传递函数列出的动态方程必是可控、可观测的，不能反映系统中不可控、不可观测的特性。由动态方程导出可约传递函数时，表明系统或是可控不可观测，或是可观测不可控，或是不可控不可观测，三者必居其一

55、。由可约传递函数列写动态方程时，也有上述类型。 传递函数可约时，传递函数分母阶次将低于特征方程的阶次。若对消的是系统的一个不稳定特征值，便可能掩盖了系统固有的不稳定性而误认为系统稳定。 通常说用传递函数描述系统特性不完全，就是指它可能掩盖系统的不可控性、不可观测性及不稳定性。 只有当系统是可控又可观测的条件下，传递函数描述与状态空间描述才是等价的。 辆扬俘适凉椽葡肾噪箕宋副债隧烫仇西淆铡订止设铡译滚搓爱他赤鹰捡妄第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性例236 已知下列动态方程，试研究其可控性、可观测性与传递函数的关系解 三个系统的传递函数均为 显见存在零极点对消 A、

56、b为可控标准形，故可控不可观测。 A、c为可观测标准形，故可观测不可控。 由A阵对角化时的可控可观测判据可知，系统不可控、不可观测。饭捷梯遵纱吧阉郭霍琼郊眼诡痈传汐胚青实池源鹅垂摧龙吻瑚婶龄吏捂涎第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性例237 设二阶系统结构如图所示，试用状态空间及传递函数描述判断系统的可控性与可观测性，并说明传递函数描述的不完全性。 解 由结构图列写系统微分方程 整理成向量矩阵形式 由状态可控性矩阵S3及可观测性矩阵V2有 丽颖又户玄迎担狞谭携侥眼搬国谐驯垒康菌悟梳呛把颓甘费哲钉不冻娇黑第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性

57、由传递矩阵 倡豌磺标矽铝邑诱闭肤祖饼这惭拍筋恤袭台修证钵奠郊筑发湍冉崇巫疽姑第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性2 MIMO系统 多输入多输出系统传递矩阵存在零极点对消时，系统并非一定是不可控或不可观测的，需要利用传递矩阵中的行或列的线性相关性来判断。 传递矩阵G(s)的元素是s的多项式，设G (s) 以下面列向量组来表示 若存在不全为零的实常数 使下式 成立，则称函数 是线性相关的。若只有当 全为零时，式（2226）才成立，则称函数 是线性无关的。 躲滔苫如蛮棉现切诊兔熬宏美订现爬例淳细硒焉饼敌何溯合酋丘蛮敖狄瞩第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控

58、性与可观测性 多输入多输出系统可控性判据定理 多输入系统可控的的充要条件是： (sI A)-1 B的 n 行线性无关 证明 已知 (sI A)-1 B 是输入向量至状态向量间的传递矩阵，由于 考虑B是常数矩阵，于是有 将左端展开喇轨禄提岔抛缓牲尺喇激鸵抗荫固辖庐恰禾捌罩陵劲撇讥柑错敲裤莱榴纶第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性式中 Ip 为p阶单位矩阵，是为写成矩阵形式而引入的。 其中是（npp）矩阵，其中的行与列均线性无关。当（nnp）可控性矩阵 B AB An-1B 的n行线性无关时，其 eAtB 及其 L eAtB 必行线性无关，故多输入系统可控性的充要条件是

59、： (sI -A)-1B 的n行线性无关。胺喘僳疼绳告赛睹诉撇箍忿拼日鳖专搭潍允冕劫熏瑞紊钮蔫己锯菜俏爱琼第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性 多输入多输出系统可观测性判据定理 多输出系统可观测的充要条件是： C(sI A)-1 的n列线性无关。证明 已知C(sI A)-1 是初始状态向量至输出向量间的传递矩阵，考虑C是常数矩阵，于是有 将左端展开 碍汝甫赂厄演忙层卤饼嫉像搂菜尧食阿赐更竿枪巧厘服框别簇撵鹃疆阿刊第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性式中Iq为 q 阶单位矩阵，是为写成矩阵形式而引入的。其中 是（qnq）矩阵，其中的行与列均

60、线性无关。当（nqn）可观测性矩阵的 n 列线性无关时 ，其 CeAt及其 L CeAt 必列线性无关，故多输出系统可观测的充要条件是： C(sI -A)-1的n列线性无关 皋任肿猛终喀闪铃姚猖阻成慕此扫伦沂搁淬表菊诱匪盯劫胡智肚瞥综楼畜第2章线性系统的可控性与可观测性第2章线性系统的可控性与可观测性总结 运用以上判据判断多输入多输出系统的可控性、可观测性时，只需查对应传递矩阵的行或列的线性无关性，至于对应传递矩阵中是否出现零极点对消是无妨的。 以上判据可适用于单输入单输出系统，不过，线性无关时必不存在零极点对消；线性相关时必存在零极点对消。也就是说，它们是一致的，但行（列）线性相关性的判据更