抽象函数性质(共9页)

1、PAGE 7PAGE 13题根研究(ynji) 抽象函数(hnsh)性质寻根一、抽象(chuxing)函数 考场有约如果把用解析式定义的函数称为“具体函数”,那么,不用解析式而直接用性质定义的函数则可称为“抽象函数”. 抽象函数在近年的考卷中频频出现，如2007年天津卷第7题就是抽象函数的例子.【例1】 在R上定义的函数f (x)是偶函数，且f (x) = f (2 x)，若f (x)在区间1，2上是减函数，则f (x)A.在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是增函数B.在区间2，1上是增函数，在区间3，4上是减函数C.在区间2，1上是减函数，在区间3，4上是增函数D.在区间2，1上是减函数

2、，在区间3，4上是减函数【分析】 习惯于用具体解析式研究函数性质的人，对用抽象定义的函数往往感到不习惯. 其实直接用抽象函数来解决函数问题，有时比用解析式还方便. 本题就是这样的例子. 【解答】 B 由函数是偶函数知函数的图像关于y轴对称，函数在区间2，1的单调性与在区间1，2的单调性相反，为增函数；由 f (x) = f (2 x)知函数的图像关于直线x =1对称，故函数在区间3，4上的单调性与在区间2，1上的单调性相反，为减函数，所以选B.【点评】 本题以抽象函数为载体考查了函数图像和函数的性质. 抽象函数的解法通常采用“形象法”画图. 按给出的性质画出符合性质的最简略图. 如本题所画的略

3、图如下直线段示图它符合题目给出的3条性质.【互动】 抽象与形象互动. 从函数略图上形象看到，这个函数是个周期函数，用函数的抽象性质证明如下：由f (x) = f (2 x)和f ( x) = f (x)可以推得 f (x) = f (2 + x)，由此可知f (x) 是一个周期为2的周期函数的.从形象上还可看到，函数有无穷条对称轴x = m (mZ). 因为x = 0和x = 1是它的对称轴，又函数的周期为2，故x = m都是它的对称轴. 证明从略。【注意】 对称性问题，要弄清：是一个函数本身的对称，还是两个函数的对称. 如由f (a +x) = f ( b x)得函数(hnsh)f (x)的

4、图像关于(guny)直线对称(duchn)，而函数y = f ( a + x)与y = f ( b x)的图像关于直线对称.二、抽象函数 函数集合用性质定义的抽象函数，它往往不是一个具体的函数，有时符合性质的函数是一类函数，或者说是一类函数的集合. 如例1，符合给定的3条性质的函数除了简图中线段表示的函数外，还有没有其他的函数也含有这3条性质我们继续研究例1.【例2】 在R上定义的函数f (x)是偶函数，且f (x) = f (2 x)，若f (x)在区间1，2上是减函数，则函数f (x)可能是：A. sinx B. sinx C. cosx D. cosx 【解答】 D 这4个函数的周期都是

5、2. 符合“偶函数”条件的只有C和D. 而在区间1，2上递减的只有D. 故答案为D. 图像如下【探究】 例1中的函数f (x)，除了上述两图像表示的具体函数以外，还有没有其他的函数呢？显然，这个函数集合中的“元素”多到无穷. 如以下解析式表示的函数都是： f (x) = A cosx + m，其中A为正数，m为任意实数.那么，这里的f (x)到底是个什么函数呢？请不要老是往统一的解析式上寻找. 它是一个函数集合，我们可以用集合的描述法表示如下：A = f (x) | f (x)是R上偶函数，f (x) = f (2 x)，f (x)在区间1，2上递减像这样的抽象函数还有：B = f (x) |

6、 f ( x )= f (x)是偶函数的集合；C = f (x) | f ( x )= f (x)是奇函数的集合；D = f (x) | f ( x+y) = f ( x) + f (y)是正比例函数的集合；E = f (x) |= 是一次函数的集合，等等.对这些抽象函数（集合），随着其他条件（性质）的添加，则抽象函数逐步提出它们的“子集”或“元素”. 如在D中，限制条件f (1)= 2，则得到此集合中的一个“元素”：f (x) = 2 x.三、抽象函数 用方程定义在7大数学思想中，人们把“函数方程思想”放在首位，函数与方程本来就是一对孪生兄弟. 函数的解析式 y = f (x)可视二元方程F

7、 (x，y) = 0；反之，对二元方程F (x，y)，也可把y视作x的函数. 因此，函数不仅可用解析式定义，还可用方程或不等式定义.【例3】 已知函数(hnsh)f(x)的定义域为R，对任意(rny)实数m，n都有f (m+n) = f (m)f (n)，且当x0时0 f (x)1，（）求f (0)的值；求f (1) = a的取值范（）求证(qizhng) 当x1 f (x)是R上的减函数（）设A=(x，y)| f (x2)f (y2) f (1)，B=(x，y)| f (ax y+2) =若AB=，试确定实数a的取值范围.【分析】 这就是用方程和不等式定义的函数，按命题人思想，并不需要先求函

8、数解析式（即使是已经知道这个函数是个指数函数），而是用函数的性质直接解题.【解（）】 f (0) = f (0+0) = f (0)f (0) = f 2 (0)即 f (0) f 2 (0) = f (0)1 f (0)= 0 故 f (0) = 1或f (0) = 0舍去f (0) = 0的证明假设f (0) = 0，则有 f (n n) = f (n)f ( n) = 0f (n)，f ( n)中至少有一个为0，设f (n) = 0按n的任意性，则有f (x) = 0，这与x 0时，0 f (x) 0，所以0 f (1) = a 0，0 f (x) 1，用x( 1.设x1 x2，易知f

9、( x2 x1) f (x2) f (x)是R上的减函数.【解（）】 f (x)是R上的减函数，由f (x2)f (y2) f (1) f (x2+y2) f (1) x2+y2 1 由 f (ax y +2) = 1 ax y +2 = 0 故有 A=(x，y)|x2 + y2 1，B=(x，y)|ax y + 2 = 0依题意，以下混合组无解按几何意义，单位圆x2 + y2 = 1的圆心O（0，0）到直线l：ax y+2 = 0的距离大于半径1. 即 【点评】 本题是用“函数方程”解题的典型例子. 实际上按题设所给的方程（外加不等式）可以确定了这个函数：f (x) = ax，其中，0 a

10、1. 它是典型的指数函数.四、函数方程 探求函数解析式既然函数方程与函数解析式都能表示函数，那么它们(t men)之间就具有等价性. 如从指数函数f (x) = ax（0 a 0时0 f (x) 0时0 f (x)0时0 f (x)1.由此猜想,函数的解析式是f (x) = ax. 0 a 1时，f (x) 0 成立，（1）设x，y(0，+ )，求证；（2）设x1，x2(0，+ )，若f (x1) f (x2)，试比较x1与x2的大小；（3）解关于x的不等式【分析】 本题是以对数函数为模型的抽象函数，可以参考对数函数的性质解题.【解（1）】 因为f ( xy) = f (x) + f ( y)

11、，所以 ，所以 【解（2）】因为f ( x1) f ( x2)，所以f ( x1) f ( x2) 1时，f (x) 0成立，所以当f (x) 1，所以，.【解（3）】令x = y =1代入f ( xy) = f (x) + f (y)得f (1) = f (1) + f (1)，f (1) = 0，所以关于x的不等式为，由（2）可知函数f (x)在定义域(0，+ )上是减函数，所以0 x2 (a + 1)x+a+1 1，由x2 (a + 1)x+a 1时，1 x a，此时x2 (a + 1) x+a 0成立；当a 1时，a x 1，此时x2 (a + 1) x+a 0成立；当a = 1，x1

12、，此时x2 (a + 1) x+a 0，恒有f (x + T ) = f (x)，则在区间0，2T上，方程f (x) = 0根的个数最小值为A. 3个 B.4个 C.5个 D.6个【分析】 本题的抽象函数是奇函数与周期函数的“交”：解题时要想把抽象性质“用足”，不仅要充分利用各个函数方程（）和（），还要充分利用方程（）和（）的互动.【错解】 A. 因为f (x)是R上的奇函数，先由方程（）得 f (0) = 0 x1= 0再由方程（）得 f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0 x2 = T，x3 = 2T.即在区间0，2T上，方程f (x) = 0根的个数最小值为3个（0，T

13、，2T）.【正解】 C. 由方程（）得f (0) = 0 x1= 0再由方程（）得 f (2T ) = f (T ) = f (0) = 0 x2 = T，x3 = 2T.又因为 令x = 0得 又 联立，得 x4再由（）得 【点评(din pn)】 方程(fngchng)f (x) = 0根x4和x5的求得，是充分(chngfn)地利用了函数方程（）和（）的互动.错解中漏掉x4和x5的原因是，孤立地考虑了奇函数，把“起始根”只定在x1 = 0上. 正解中，在周期性的互动下，找到了另一个“起始根”x4 .【说明】 定义在R上、周期为T的奇函数f (x)，在区间上有3个零点. 如正弦函数f (x

14、) = sinx的周期为2，它在区间，上有3个零点（，0，）.八、抽象函数 命题人也出错误 抽象函数，曾出现过高考大错题. 命题人出错，也出现在“奇函数周期函数”的零点问题上.【例9】 f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是A.2 B.3 C.4 D.5【说明】 这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D，即答案为5.答案D从何而来？以下是“D”的一种解法. 【错解】f (x)周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (

15、-4) = f (2-6) = f (2)=0 f (x)为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得 f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0于是，求得 f (x)=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D.【正解】 除了上述解法得 f (x)=0的5个解外，还有如下的解. 根据方程 f (x)=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下：由 f (x)的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1）由 f (x)的奇偶性，知 f (-1.5)

16、 = - f (1.5) （2）从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0.所以，1.5和4.5也是方程 f (x)=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5.【结论】 按上面讨论的结果，方程 f (x) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D是错的. 【实例】 f (x)同时满足4个条件：（1）定义在R上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到 f (x)的一个解析函数具体例子：并在区间(q jin)（0，6）上找到 f (x)=0的7个解，列表(li bio)如下：这7个解