高中数学必修5-均值不等式

1、高中数学必修 5- 均值不等式 均值不等式复习(学案)基础知识回顾1均值不等式：abab2均值不等式成立的条件：时取等号成立的条件：当且仅当 等号2几个重要的不等式(1) a2b22ab(a，bR) (2) abba2(a，b同号)ab 2a b abab 2 2( a，bR) (4) 2 22( a，bR)注意：使用均值不等式求最值，前提是“一正、二 定、三相等” 3算术平均数与几何平均数设 a0， b 0，则 a，b 的算术平均数为 2 ，几 何平均数为 ab，均值不等式可叙述为两个正数的算术 平均数大于或等于它的几何平均数 4利用均值不等式求最值问题已知 x0， y0，则(1) 如果积

2、xy 是定值 p，那么当且仅当 时，有最 值是 ( 简记：积定和最 小)（2） 如果和 xy 是定值 s，那么当且仅当 时，有最 值是 .（ 简记：和定积最 大） 双基自测1 1函数 yxx（x0） 的值域为 （） xA（ ， 2 2 ， ） ）C2 ， ）（0，(2，121）11. 其中正确的个数是 （A 0BD33若正实数 a，b 满足 ab1，则（）211A.1a1b有最大值 41Bab 有最小值 4C. a b有最大值 2D a2 b2 有最小ab2下列不等式： a212a； ab2； x2值 224.若实数 a,b满足 a b 2，则 3a 3b的最小值是 ()A 18B. 6 C.

3、 2 3D. 24 35. 若 正 数 a,b 满 足 ab a b 3 ， 则 ab 的 取 值 范 围 是.6.若 x,y R ,且 2x y 1，则 1x 1y 的最小值为.xy典型例题类型一 利用均值不等式求最值11 若 函 数 f （x） x（x 2） 的 最 小 值 为x22已知 t 0，则函数 yt 2 4t 1t的最小值为3. 当 x 0 时 ， 则 f(x)2xx21的最大值为11已知 x0，y0，且 2xy1，则x1y1的最小 值为；若 x，y（0 ， ） 且 2x8yxy0，则 xy 的最小值为 22已知 0 x 0，b0，c 0，且 abc1. 求证：a112. 正数

4、a，b，c 满足 abc1，求证：（1 a）（1 b）（1 c） 8abc类型三 . 恒成立问题x1. 若对任意 x0，x23x1 a恒成立，则 a的取值范 围是 2. 已知不等式 (x y)(1x ay) 9对任意正实数 x, y恒成立，则正实 xyc，d，y 成等比数列，则2(a b)2 的最小值是 cd2已知0 x0，y0，x，a， b，y 成等差数列， x， TOC o 1-5 h z 则两个正方形面积之和的最小值为 () A4 B 8 C 16 D 32144. 设 x、y 为正数，则有(x+y)( xy) 的最小值为()xyA15 B 12 C 9 D 65. 已知 x,y R ，

5、且 x 4y 1，则 x y的最大值为.6. 已知 x 5 ，则函数 y 4x 2 1 的最大值为4 4x 5已知 x、 y 为正实数，且 1x+ 2y= 1，则 x+y 的最小 值。8. 已 知 x 0，y 0 ， 且 x 2y xy 30 ， 则 xy 的 最 大 值9. 已知 lg x lg y 1，则 5 2 的最小值是.xy10. 若 x，y 是正数，则 (x 21y)2 (y 21x)2 的最小值是11. 函数 y a1 x(a 0，a 1)的图象恒过定点 A ，若点 A在直线 mx ny 1 0(mn 0)上，则 1 1 的最小值为mn1212. 已知 a0，b0，且 ab1，则

6、 ab的最小 ab 值13. (1)求 y x 7x 10(x 1)的值域。x12)求函数 y x22 5 的值域14求下列函数的最小值， 并求取得最小值时， x 的值 .y x2 3x 1,(x 0)x1y 2x x13,( x 3)y 2sin x sin1x,x (0, ) sinx15. 已知 x 0,y 0 且 1x 9y 1，求使不等式 x y m恒成立的实 xy数m的取值范围16已知 x 0， y 0，且 2x 8y xy 0，求： (1) xy的最小值； (2) x y 的最小值17. 某种汽车，购买时费用为 10 万元；每年应交保险费、 养路费及汽油费合计 9 千元；汽车的维修费平均为第 一年 2 千元，第二年 4 千元，第三年 6 千元，依次成 等差数列递增。问这种汽车使用多少年报废最合算 （及使用多少年的年平均费用最少）？18.研 究 函 数 f （