高中数学选修2-3同步练习题库：分类加法计数原理和分步乘法计数原理(较难)

1、共 10 页，第 页分类加法计数原理和分步乘法计数原理（较难）1、某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2 个小品类节目和一个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 （ ）A72B 120C 144D 1682、现安排甲乙丙丁戊 5 名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，要求甲不当语文 科代表，乙不当数学科代表，若丙当物理科代表则丁必须当化学科代表，则不同的选法共有多少种 （ ） A53B67C85D 913、定义 “三角恋写法 ”为 “三个人之间写信，每人给另外两人之一写一封信，且任意两个人不会彼此给对方写信 ”，若五个人 中的每个人都恰好给其余四人中的某一个人写了一

2、封信，则不出现 “三角恋写 法”写法的写信情况的种数为（ ）A704B864C1004D 10144、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有 5 种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数是（ ）A540B480C420D 3605、对于自然数作竖式运算 时不进位，那么称 是“良数”，如 32是“良数”，由于计算 时不进位， 23是“良数”，由于计算 时要进位，那么小于 1000 的“良数 ”有 （）A36 个B39个C48个D64 个6、设集合那么集合 中满足条件的元素的个数为）A130B90C60D 1207、现准备将 6台型号相同的电脑分配给 5所小学，其中 A

3、、B 两所希望小学每个学校至少 2台，其他小学 允许 1 台也没有，则不同的分配方案共有（ ）A13 种B15种C20种D30种8、设集合那么集合 中满足条件”的元素个数为（ ）ABCD9、将 1，2，3，9这 9个数字填在如图的 9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大 .当 3，4 固定在图中的位置时，填写空格的方法为（A6 种B12种C18 种D24 种10、已知 A与 B是集合 1 ， 2， 3， ， 100的两个子集，满足： A与 B的元素个数相同，且为 AB空集 若 nA时总有 2n+2B，则集合 AB 的元素个数最多为 （ ）A62B66C68D 7411、元宵

4、节灯展后，如图悬挂有 9 盏不同的花灯需要取下，每次取 1 盏，共有 种不同取法（用数字作答）12、某校高三年级 5个班进行拔河比赛，每两个班都要比赛一场.到现在为止， 1班已经比了 4场， 2班已经比了 3场， 3班已经比了 2场， 4班已经比了 1场，则 5 班已经比了 场.13、某城市纵向有 6 条道路，横向有 5 条道路，构成如图所示的矩形道路网 （图中黑线表示道路 ），则从西 南角 A 地到东北角 B 地的最短路线共有 条 .14、为了支援边远山区的教育事业，我市决定将某校4 名男老师和 3 名女老师选派到该地区 3 所学校支教，则每所学校既有男老师又有女老师的分配方法共有 种15、

5、如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第 3 个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人 都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第 3 个台2）求 的分布列和数学期望16、如图，在 78 的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或 共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这 56 个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一 条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。12、1、

6、B2、B3、A4、C5、C6、A7、B8、D9、A10、B11、 168013、 126参考答案14、21615、1)16、最少要取走 11个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠解析】1、分两类，一类是歌舞类用两个隔开共种，第二类是歌舞类用三个隔开共种，所N=+=120.种。选 B.2、丙当物理课代表则丁必须当化学课代表，以丙进行分类 第一类，当丙当物理课代表时，丁必须当化学 课代表，再根据甲当数学课代表，乙戊可以当英语和语文中的任一课，有 种，当甲不当数学课代 表，甲只能当英语课代表，乙只能当语文课代表，戊当数学课代表，有 种，共计 种， 第二 类，当丙不当物理课代表时，分四类丙为语文课代

7、表时，乙只能从英语、物理和 U 学中选择一课，剩下 的甲丁戊任意排给剩下的三课，有种 ，丙为数学课代表时，甲只能从英语、物理和化学课，剩下的乙丁戊任意排给剩下的三课，有种， 丙为英语课代表时，继续分类，甲当数学课代表时，其他三位同学任意当有种，当甲不当数学课代表，甲只能从物理和化学课中选一课,乙只能从语文和甲选完后的剰下的一课中选一课，丁和戊做剰下的两课，有 ,共计 种丙为化学课代表时，同的选法 一样有 种，根据分类计数原理得，不同的选法共有 故选 . 【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能

8、解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多 读题才能挖掘出隐含条件 .解题过程中要首先分清 “是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数 加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率 .3、由题意，写信的情况共有种，不妨设之间出现“三角恋写法”， 则共有 种情况，故出现“三角恋写法”写法的写信情况的种数为 种，所以不出现“三角恋写法”写法的写信 情况的种数为 ，故选 A.4、分两步，由题设四棱锥的顶点所染颜色互不相同，则共有 ，当 染好时，不妨设所染颜色依次为 ，若 染 ，则 可染 或 或 ，共三种，若 染 ，则 可染或 ，共 种，若 染 ，则 可染 或 ，共

9、种，即当 染好时， 还有 种染法， 所以共有 ，故选 C.【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理综合应用，属于中档题.两个原理的应用不是孤立的，往往是两个原理交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含 条件 .解题过程中要首先分清 “是分类还是分步 ”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又 不能遗漏，这样才能提高准确率 .5、如果 是良数，则 的个位数字只能是 ，非个位数字只能是 （首位不为 ），而小于的数至多三位，一位的良数有 ，共 个，二位良数个位可取 ，十位可取 ，共有个，三位良数个位可取 ，十位可取 ，百位可取 ，共有 ，综上，

10、 小于“良数 ”的个数为个，故选 C.【方法点睛】本题考查分类技术加法原理分步计数乘法原理及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅 读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的 遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求， “照章办事 ”， 逐条分析、验证、运算，使问题得以解决 .本题通过定义 “良数 ”达到考查两计数原理的目的 .6、由于只能取 或 ，且 “ ”，因此 个数值中有 个是 ， 个是和 个是 三种情况： 中

11、有 个取值为 ，另外 从 中取，共有方法数： ；中有 个取值为 ，另外 个从 中取，共有方法数： ； 中有 个取值为 ，另外 个从 中取，共有方法数： ，所以总共有方法数： ，即元 素个数为 .7、先给 A、B 两所希望小学分配电脑，若每个学校2台，由于电脑型号相同，故只有 1种情况，其次将剩余的 2 台电脑分给其他 3所小学，若一所小学 2台，其他的没有，有 3种情况；若 2 所小学各 1台，另 一所小学没有，有 3 种情况，共有 6 中情况；若 A、B 两所希望小学其中一所得 3台，另一所 2台，有 2种情况，再将剩余的 1台电脑分给其他 3 所小学，有 3种情况，共 32=6种情况；若给

12、 A、B 两所希望小学各分配 3台电脑，有 1种情况；若 A、B 两所希望小学其中一所得 4台，另一所 2台，有 2种情况 . 综上，共 6+6+1+2=15 种情况，故选 B考点：计数原理 .8、试题分析：分以下三种情况讨论，（1），则上述五个数中有一个为 或 ，其余四个数为零，此时集合 有个元素；或 ，其余三个数为零，其中这两个或 ，其余两个数为零，其中这两个1、2、9只有一种填法， 5 只能填在右（2），则上述五个数中有两个数为数的所有可能搭配有中，此时集合 有个；（3），则上述五个数中有三个数为数的所有可能搭配有中，此时集合 有个；综上所述，集合 共有个元素 .故选 D.【考点定位】本

13、题考查分类计数原理，属于较难题 .9、试题分析：每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大， 上角或左下角， 5 填后与之相邻的空格可填 6、7、8任一个； 余下两个数字按从小到大只有一种方法共有 23=6 种结果，故选 A.考点：计数原理 10、先证 |AB| 6，6只须证 |A| 3，3为此只须证若 A是1，2，49的任一个 34元子集，则必存在 n A，使得 2n+2B。证明如下：将1，2，49分成如下 33个集合： 1，4，3，8，5，12，23，48共 12个； 2 ，6 ，10 ， 22 ， 14 ， 30 ， 18 ， 38共 4个； 25 ，27 ，29 ，49 共 13个；

14、26 ，34 ，42 ，46 共 4个。由于 A是1 ， 2， ，49的 34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个 2元集合中的数均属于 A，即存在 n A，使得 2n+2B。如取 A=1， 3，5，23，2，10，14，18，25，27，29，49，26，34，42， 46，B=2 n+2|n A ，则 A、 B满足题设且 |AB| 6。611、 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题 “捆邦法 ”； (2)元素相间的排列问题 “插空法 ”； (3)元素有顺序限制的排列问 题“除序法 ”； (4)带有“含”与“不含”至“多”至“少 ”的排列组合问题

15、间接法 .12、设、分别代表、 、 、 、 班，赛了 场，则是和、每人赛了 场；由于只赛了 场，则一定是找赛的；赛了 场，是和、赛的；赛了 场，是和、赛的；所以此时赛了 场，即是和、赛的，每班的比赛情况可以用如图表示：答：号已经比了 场，即 班已经比了 场，故答案为.因此，从 A 地到 B 地归结为走完 5 条13、要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左走或向下走横线段和 4 条纵线段 .设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取 4 个时段走纵线段，其余5 个时段走横线段，共有种走法，故从 A 地到 B 地的最短路线共有 126 条 .14、依题意：先分女教师有种；由

16、于每所学校至少有 1名男老师，则先将男老师分成 2，1，1 三组，有种，再将男老师分配到三所学校，有 种；根据分步计数原理得分配方法共有 种15、试题分析：( 1)根据等可能性知每次赢、平、输的概率皆为再分两种情况分别计数：一种是小华在第 1 个台阶，并且小明在第 2个台阶，最后一次划拳小华平；另一种是小华在第2个台阶，并且小明 也在第 2 个台阶，最后一次划拳小华输，逆推确定事件数及对应划拳的次数，最后利用互斥事件概率加法 公式求概率，（ 2）先确定随机变量取法 ,再分别利用组合求对应概率 ,列表可得分布列 ,最后根据数学期望公 式求期望 .试题解析：解：（ 1）易知对于每次划拳比赛基本事件

17、共有个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件 “第 次划拳小华赢 ”为 ；事件 “第 次划拳 小华平 ”为 ；事件 “第 次划拳小华输 ”为 ，所以 因为游戏结束时小华在第 2 个台阶，所以这包含两种可能的情况： 第一种：小华在第 1 个台阶，并且小明在第 2 个台阶，最后一次划拳小华平；其概率为 ， 第二种：小华在第 2 个台阶，并且小明也在第 2 个台阶，最后一次划拳小华输， 其概率为所以游戏结束时小华在第 2 个台阶的概率为（2）依题可知 的可能取值为 2、 3、 4、5，所以 的分布列为：2345所以 的数学期望为：16、最少要取出 11 个棋子，

18、才可能满足要求。其原因如下： 如果一个方格在第 i行第 j 列，则记这个方格为 （i，j）。 第一步证明若任取 10 个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，即五个棋子在一条直线（横、竖、斜方 向）上依次相连。用反证法。假设可取出 10 个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠。如图 1，在每一行的前五格中必须各取出一个棋子，后三列的前五格中也必须各取出一个棋子。这样， 10 个被取出的棋子不 会分布在右下角的阴影部分。同理，由对称性，也不会分布在其他角上的阴影部分。第1、2 行必在每行取出一个，且只能分布在 （1，4）、（1，5）、（2，4）、 （2，5）这些方格。同理 （6，4）、（6，5）、（7，4）、（7，5）这 些方格上至少要取出 2 个棋子。在第 1、2、3 列，每列至少要取出一个棋子，分布在（3，1）、（3，2）、（3，3）、 （4，1）、