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1、第五节 综合例题注： 设A为n阶方阵，则称为A的一个m次矩阵多项式。可以归纳证明若 为对角阵，则 例3 设n阶方阵A的伴随矩阵为A*,证明： （1）若|A|0，则| A*|0。 （2）| A*|A|n1。证明：由伴随矩阵的定义显然有 AA*= A*A=|A|En,两边取行列式即得 |A|A*|=det(|A|En)|A|n,故当|A|不等于0时，（2）是显然的。而只要我们证明了（1），则（2）对于|A|0的矩阵A也是成立的。下面我们证明（1）。(反证法）假设则| A*|0，则A*可逆，于是在AA*=|A|En两边右乘(A*)1,有 A |A|En (A*)1O（因为|A|0），因此A的伴随矩阵

2、A*应该为O。与假设矛盾！例4 设A为n阶方阵满足A2A2EO，证明A和A2E均可逆，求它们的逆矩阵。 解 由A2A2EO易得 (AE)A=2E, 即 (AE)A=E.故由逆矩阵的定义可得A可逆，且类似可求得(A2E)(A3E)=4E.即 作业（同济三版）P6669：3，4(1)(2)(5)， 11(1)(5)(用伴随矩阵法和初等变换方法两种方法各作一遍) 21.P9395: 1(3)，12例5 设 ，且A可逆，证明 |Q|=|A|DCA1B|（行列式第一降阶定理） 证明：对分块矩阵作初等行变换和列变换，将之化为分块对角阵。用初等方阵的记号表示出来,即在上式两边取行列式即得要证明的结论。（由此

3、例可解63题）习题补充题提示：7，8题：要用到方程组的通解的思想，可先不管。2729：先把要求的矩阵的一般形式B设出来，再根据ABBA得到n2个等式确定出B的元素或元素之间的关系。(繁但不难）3537：C对称的充要条件为CCT。 C反对称的充要条件为CCT。38: A对称的充要条件为aij=aji.57: 用初等列变换将矩阵化为主对角线为1的下三角矩阵。然后用初等方阵的记号把所作的初等变换过程表示出来即可。6465，77：先设 ，用分块矩阵乘法由AA1E解出A1的4个子阵。66：用65题的结论作为方法。68：用分块矩阵的初等行变换化为分块三角阵，再取行列式。74：先求出f(x)，g(x)的表达式，在代x为A。7980：数学归纳法

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