2022年精品解析北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测试试题(含详解)

1、九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系综合测试考试时间：90 分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100 分，考试时间 90 分钟2、答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I 卷（选择题 30 分）一、单选题（10 小题，每小题 3 分，共计 30 分）1、在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，BAC 的位置如图所示，则sinBAC

2、 的值为（）235A 1BCD22252、已知某水库大坝的横断面为梯形，其中一斜坡AB 的坡度i 1:3 ，则斜坡 AB 的坡角 为（）A30B45C60D1503、如图，某建筑物AB 在一个坡度为i1：0.75 的ft坡 BC 上，建筑物底部点B 到ft脚点C 的距离BC20 米，在距ft脚点C 右侧同一水平面上的点D 处测得建筑物顶部点A 的仰角是 42，在另一坡度为 i1：2.4 的ft坡DE 上的点E 处测得建筑物顶部点A 的仰角是 24，点E 到ft脚点D 的距离DE26 米，若建筑物AB 和ft坡BC、DE 的剖面在同一平面内，则建筑物AB 的高度约为（）（参考数 据 ：sin24

3、0.41，cos240.91，tan240.45，sin420.67cos420.74， tan420.90）A36.7 米B26.3 米C15.4 米D25.6 米4、如图，滑雪场有一坡角为 20的滑道，滑雪道的长AC 为 100 米，则BC 的长为（）米A 100cos20 B100cos20C 100 sin 20D100sin205、学习了三角函数的相关知识后，小丽测量了斜坡上一棵垂直于地面的大树的高度如图，小丽先在坡角为30 的斜坡 AB 上的点A 处，测得树尖E 的仰角为15 ，然后沿斜坡走了 10 米到达坡脚B 处， 又在水平路面上行走 20 米到达大树所在的斜坡坡脚C 处，大树

4、所在斜坡的坡度i 3: 4 ，且大树与坡脚的距离CD 为 15 米，则大树ED 的高度约为（ ）3（参考数据： sin15 0.26,cos15 0.97, tan15 0.27, 1.73 结果精确到 0.1）A10.9 米B11.0 米C6.9 米D7.0 米6、如图，正方形ABCD 中，AB6，E 为 AB 的中点，将ADE 沿 DE 翻折得到FDE，延长 EF 交 BC 于G，FHBC，垂足为 H，连接BF、DG以下结论：BF ED；DFG DCG； FHB EAD；tanGEB 4） ；其中正确的个数是（3A4B3C2D1 7、cos60的值为（）32AB22C 1D1228、如图，

5、一艘轮船在小岛A 的西北方向距小岛40海里的C 处，沿正东方向航行一段时间后到达小岛 A 的北偏东60的 B 处，则该船行驶的路程为（）A80 海里B120 海里C (40 402) 海里D (40 403) 海里9、如图，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处，若将ABC 绕着点A 逆时针旋转得到ABC，则cosBCB的值为（）5A 1B25CD32 52510、如图，在4 4 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，已知 的顶点位于正方形网格的格点上，且cos ，则满足条件的 是（）3 13ABCD13第卷（非选择题 70 分）二、填空题（5 小题，每小题 4 分，共计 20 分）1、

6、如图，在 44 的正方形网格中，ABC 的顶点都在边长为 1 的小正方形的顶点上，则tanACB 的值为22、如图， ABC 中，BAC90，BC4，将 ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 90，点B 的对应点 B 落在 BA 的延长线上，若sin B AC0.8，则 AC3、若一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了 10cm，此时小球距离桌面的高度为 5cm，则这个斜坡的坡度为4、如图，在正方形 ABCD中，对角线 AC ， BD 相交于点O，点E 在DC 边上，且CE 2DE ，连接AE 交 BD 于点 G，过点D 作DF AE ，连接OF 并延长，交DC 于点 P，过点O 作OQ OP 分别交

7、AE 、 AD 于点 N、H，交BA 的延长线于点Q，现给出下列结论：AFO 45 ； DP2 NH OH ； Q OAD ； OG DG 其中正确的结论有 （填入正确的序号）5、计算：cos245tan30sin60sin245 三、解答题（5 小题，每小题 10 分，共计 50 分）1、在平行四边形ABCD 中，E 为 AB 上一点，连接CE，F 为 CE 上一点，且DFE=A求证：DCFCEB；若 BC=4，CE=3，tanCDF=152，求线段BE 的长2、如图，在RtABC 中， ACB 90 在线段 AC 上求作一点D，使得BDC 2A ；（用尺规作图，不写作法，但应保留作图痕迹）

8、若A 22.5 ，利用上述作图，求 1的值tan A3、先化简，再求代数式(a1) (a 1)的值，其中a tan 60 2sin30 a2 1a 14、如图，在平面直角坐标系中，直线ykx3k 交 x 轴于点B，交y 轴于点A，tanABO2求 k 的值；点 G 为线段AB 上一点，过点G 作 CGAB 交y 轴正半轴于点C，若点G 的横坐标为t，线段OC 的长为 d，求 d 与 t 之间的函数关系式，并直接写出t 的取值范围；如图 3，在（2）的条件下，延长GC 交 x 轴于点D，连接BC，在 BC 上截取 BHOC，F 为第一象限内一点，且FBx 轴，连接FH，点E 在第三象限，连接AE

9、、BE、DE，若CBO2FHB， ，AEB+OBC90，且 BF 3DE，求点 E 坐标152485、如图，从甲楼AB 的楼顶A，看乙楼CD 的楼顶C，仰角为 30，看乙楼（CD）的楼底D，俯角为60；已知甲楼的高AB=40m求乙楼 CD 的高度，（结果精确到 1m）-参考答案-一、单选题1、D24 10【分析】10先求出ABC 的面积，以及利用勾股定理求出AC 2进而求解即可【详解】22 621022 222解：如图所示，过点B 作 BDAC 于 D， AB 2，利用面积法求出BD 10，由题意得： SABC= 1 4 2=4= 1 AC BD ，22AC 2，AB 2，4 10 BD 10

10、，5sinBAC = BD =，AB5故选 D【点睛】本题主要考查了勾股定理和求正弦值，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造直角三角形 2、A【分析】直接利用坡角的定义得出答案【详解】解： 某水库大坝的横断面是梯形，其中一斜坡AB 的坡度i 1:3 ，设这个斜坡的坡角为 ，313故tan 3 ，故 30 故选：A【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据题意正确得出坡角与坡比的关系 3、D【分析】如图所示，过E 点做 CD 平行线交AB 线段为点H，标 AB 线段和CD 线段相交点为G 和 H 由坡度为i 1：0.75，BC20 可得 BG=16,GC=12,由坡度为 i1：

11、2.4，DE26 可得 DF=24,EF=10，分别在在AGAHAGB 中满足 GD tan 42，在AEH 中满足 HE tan 24 化简联立得AB=25.6【详解】如图所示，过E 点做 CD 平行线交AB 线段为点H，标 AB 线段和CD 线段相交点为G 和 HBGC 中在BC20，坡度为i1：0.75， BG2 GC2 BC2 ，3 BG2 (BG)2 BC2 ，4 BG2 9 BG2 BC2 ，16 2516 2516BG2 202 ，BG2 400 ， BG2 400 16 ，25 BG2 256 ， BG 16 ， CG 3 BG 12 4BGC 中在DE26，坡度为 i1：2.

12、4， DF 2 EF 2 DE 2 ，12 (EF)2 EF 2 DE2 ，5 14425EF 2 EF 2 DE2 ， 16925EF 2 262 ， EF 2 67625 ，169 EF2 100 ， EF 10 ， DF 12 EF 24 ，5AGAH在 AGB 中满足 GD tan 42，在AEH 中满足 HE tan 24 ,即 AB BG 0.9 ,AB BH 0.45GC CDGC CD DF其中 BG=16、BG=12、BH=BG-EF=6、DF=24， AB 16 0.9(12 CD)代入化简得 AB 6 0.45(36 CD) ，令 2 - 有2 AB AB 2 6 16

13、2 0.45 36 0.9 12 2 0.45 CD 0.9CD AB 4 21.6 ，AB=25.6故选：D【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用三角形的坡度和斜边长通过勾股定理可以求得三角形各边长度，再根据角度列含两个未知数的二元一次方程组，正确的列方程求解是解题的关键4、B【分析】首先根据坡角的概念得到C 20 ，然后由C 的余弦值可得cos C 【详解】解：滑道坡角为 20， C 20 ，AC 为 100 米， B 90 ， cos C BC ，ACBC，代入AC 的值求解即可ACcosC BC AC100cos20 故选：B【点睛】此题考查了解三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌

14、握锐角三角函数的表示方法 5、D【分析】过点 A 作AGED 交 ED 延长线于点G，过点A 作 AFCB，交 CB 的延长线于点F，延长BC 交ED 的延3长线于点H，可知四边形AFHG 为矩形，解直角三角形ABF 得 AF=5，BF= 5，解直角三角形CDH 得DH=9，CH=12，从而得到AG，再通过解直角三角形AGE 求得EG 的长，进一步得出结论【详解】解：过点A 作 AGED 交ED 延长线于点G，过点A 作 AFCB，交 CB 的延长线于点F，延长 BC 交 ED 的延长线于点H，如图，则四边形AFHG 为矩形，AG=FH，GH=AF在 RtABF 中， AB 10，ABF 30

15、 AF 1 AB 1 10 5m=GH 22AB2 AF2102 52 BF 5 3 8.65mDH在 RtCHD 中，3 ， CD 15mCH4可设DH =3xm， CH 4xm由勾股定理得， CH 2 DH 2 CD2 (3x)2 (4 x)2 152解得， x 3 DH 9m，CH 12m DG DH GH 9 5 4m AG FH 8.65 20 12 40.65mEG在 RtAGE 中， tan15 AGtan15 EG AG40.65 0.27 10.98m ED EG DG 10.98 4 6.98 7.0m故选：D【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作

16、出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键6、A【分析】根据正方形的性质以及折叠的性质依次对各个选项进行判断即可【详解】解：正方形ABCD 中，AB=6，E 为AB 的中点AD=DC=BC=AB=6，AE=BE=3，A=C=ABC=90ADE 沿 DE 翻折得到FDEAED=FED，AD=FD=6，AE=EF=3，A=DFE=90，BE=EF=3，DFG=C=90，EBF=EFB，AED+FED=EBF+EFB，DEF=EFB，BFED，故结论正确；AD=DF=DC=6，DFG=C=90，DG=DG，RtDFGRtDCG，结论正确；FHBC，ABC=90ABFH，FHB=A=90EBF=BFH

17、=AED，FHBEAD，结论正确；RtDFGRtDCG，FG=CG，设 FG=CG=x，则 BG=6-x，EG=3+x，在 RtBEG 中，由勾股定理得：32+（6-x）2=（3+x）2，解得：x=2，BG=4，tanGEB= BG 4 ，BE3故结论正确 故选：A【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数，综合性较强7、C【分析】根据特殊角的余弦值即可得【详解】解： cos60 1 ，2故选：C【点睛】本题考查了特殊角的余弦，熟记特殊角（如30,45 ,60 ）的余弦值是解题关键 8、D【分析】过点 A 作AD

18、BC 于点 D，分别在RtACD 和RtABD 中，利用锐角三角函数，即可求解【详解】解：过点A 作 ADBC 于点D，2根据题意得： AC 40海里，ADC=ADB=90，CAD=45，BAD=60，在 RtACD 中，2AD CD AC sin 45 402 2 40海里，在RtABD中，3BD AD tan 60 40海里， BC CD BD 40 403 海里，即该船行驶的路程为(40 403) 海里故选：D【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键 9、B【分析】利用勾股定理逆定理得出CDB 是直角三角形，以及锐角三角函数关系进而得出结论【详解】解

19、：如图，连接BD， BB，2,2由网格利用勾股定理得： BC 10, CD BD 2CD2 BD2 BC 2 CDB 是直角三角形， BD BC2105cosBCB CD CB5故选：B【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、余弦等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键 10、B【分析】先构造直角三角形，由cos 邻边求解即可得出答案斜边【详解】A.cos 2222 32132 1313，故此选项不符合题意；B.cos 3332 22133 1313，故此选项符合题意；C.cos 2222 125255，故此选项不符合题意；D.cos 3332 12103 1010，故此选项不符合题意

20、；故选：B【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握在直角三角形中，cos 邻边是解题的关键斜边二、填空题11、 3【分析】先根据勾股定理求出AC，再根据等积关系求出 BD，再根据勾股定理求出 AD 以及 CD，最后再求出角的正切值即可【详解】解：过点B 作 BDAC 于点D，如图，22 425由勾股定理得， AC 2根据等积关系得， 1 AB CE 1 AC BD22AB CE2 2AC2525 BD 5AB2 BD222 ( 255 )2455由勾股定理得， AD 4556555 CD AC AD 2 tan ACB BD156525CD 35故答案为： 13【点睛】本题考查解直角三角形，三角形的

21、面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题2、5【分析】2作 CDBB于 D，先利用旋转的性质得CBCB4，BCB90，则可判定BCB为等腰直角三角形，可由CDBCsinB 求出 CD4，然后在 RtACD 中利用正弦的定义求AC 即可【详解】解：作 CDBB于 D，如图，ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 90，点B 对应点B落在BA 的延长线上，2BCBC4，BCB90，BCB为等腰直角三角形，B=45，2在 RtBCD 中，CDBCsinB=2 44，2CD在 RtACD 中，sinDAC AC0.8，CDAC 0.8 5故答案为：5【点睛】本题考查旋转的性质、等

22、腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数，熟练掌握旋转的性质，会利用锐角三角函数解直角三角形是解答的关键33、3【分析】过 B 作 BC桌面于 C，由题意得AB=10cm，BC=5cm，再由勾股定理求出 AC 的长度，然后由坡度的定义即可得出答案【详解】由题意得：AB=10cm，BC=5cm， AC AB2 BC 2 53 ，如图，过B 作 BC桌面于 C，BC这个斜坡的坡度i AC 55 333 ，3故答案为：3【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及勾股定理；熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键4、【分析】由“ASA”可证ANODFO，可得 ON=OF，由等腰三角形的性质可

23、求AFO=45；由外角的性质可求NAO=AQO由“AAS”可证OKGDFG，可得 GO=DG；通过证明AHNOHA，可得，进而可得结论 DP2=NHOH【详解】四边形ABCD 是正方形，AO=DO=CO=BO，ACBD，AOD=NOF=90，AON=DOF，OAD+ADO=90=OAF+DAF+ADO，DFAE，DAF+ADF=90=DAF+ADO+ODF，OAF=ODF，ANODFO （ASA），ON=OF，AFO=45，故正确； 如图，过点O 作OKAE 于 K，CE=2DE，AD=3DE，tanDAE= DE = DF 1 ，ADAF3AF=3DF，ANODFO，AN=DF，NF=2DF

24、，ON=OF，NOF=90，OK=KN=KF= 12FN，DF=OK，又OGK=DGF，OKG=DFG=90，OKGDFG （AAS），GO=DG，故正确；DAO=ODC=45，OA=OD，AOH=DOP，AOHODOP （ASA），AH=DP，ANH=FNO=45=HAO，AHN=AHO，AHNOHA， AH = HN ，HOAHAH2=HOHN，DP2=NHOH，故正确；NAO+AON=ANQ=45，AQO+AON=BAO=45，NAO=AQO， 即Q OAG故错误综上，正确的是 故答案为：【点睛】本题是四边形综合题，查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质

25、，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键5、 12【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案【详解】解： cos2 45+tan30sin60 sin2 45= (2)2 + ()2 .332123222故答案为 1 2【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键 三、解答题1、（1）证明见解析13（2）BE=【分析】由平行四边形的性质有AB/CD，AD/BC，可得DFE=A，DFC=B，故DCFCEB过点E 作 EHCB 交 CB 延长线于点H，由题意可设EH=x，CH=2x，由勾股定理即可得 EH=3，13CH=6，再由勾股定理即可求得

26、 BE=（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB/CD，AD/BCDCE=BEC，A+B=180DFE+DFC=180又DFE=ADFC=B（2）DCFCEBDCFCEBCDF=ECBtanCDF= tanECB=12过点 E 作EHCB 交 CB 延长线于点H在 RtCEH 中EH1CH tan ECB 2设 EH=x，CH=2xEH 2 CH 2CE=5x5CE= 5x 3x=3，则有EH=3，CH=6BC=4BH=6-4=2EH 2 EH 2在 RtEBH 中有BE=32 229 413则 BE=【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质解直角三角形以及勾股定理，第二问作

27、辅助线将三角函数值转化到直角三角形中是解题的关键2、（1）见解析；（2） 2+1【分析】作BC 的垂直平分线，交 AC 于点D ，则点D 即为所求；根据（1）的结论可得BC CD ，设BC a ，则CD a, BD 2a ，进而根据正切的定义即可求得答案【详解】解：（1）如图，作BC 的垂直平分线，交 AC 于点 D ，则点D 即为所求，连接BDDB DADAB DBABDC A ABD 2A（2） A 22.5BDC 2A 45ACB 90BC CD设 BC a ，则CD a, BD 2a AC AD CD BD CD 2 1a211 AC 1BCBCtan AAC【点睛】本题考查了等腰三角

28、形的性质，三角形的外角性质，垂直平分线的性质，正切的定义，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键33、 1，.a 13【分析】由题意根据分式的运算规则进行化简后，进而代入特殊锐角三角函数值进行计算即可.【详解】解：(a1) (a 1)a2 1a 1a (a 1) (a 1)a2 1a2 11 (a 1) (a 1)(a 1)1a 1a tan 60 2sin 30 2 1 3321 ，31 代入 1a 133把a1.3【点睛】本题考查分式的化简求值以及特殊锐角三角函数值，熟练掌握分式的运算规则以及特殊锐角三角函数值是解题的关键.4、（1）k=-2；（2）d=6- 5 t ， 0 t 12 ，（3）

29、点 E（ 21， 15 ）2588【分析】先求出直线ykx3k 交 x 轴于点B（3，0），OB=3，根据三角函数求出 tanABO2=OAOAOB ，点 A（0，6）利用待定系数法求即可；362 +325GL2 + LB 26 2t 2 + 3 t 25过 G 作 GLx 轴于L，根据点G 的横坐标为t，得出 OL=t，BL=3-t，利用三角函数求出 GL=6-OA2 + OB252t，根据勾股定理AB= 3，GB= 3 t ，利用线段差求出GA=AB-GB= 3 3 t 5t ，再求出cosOAB= OA 6，得出AC= 5 t 即3 525AB525可；作OBC 的平分线交y 轴于T，过

30、O 作 OQBT 交 BC 与 Q，交BT 于V，过 B 作BSAE 于 S，过E1作 EJx 轴于点J，根据角平分线可得OBT=CBT= CBO ，根据CBO2FHB，得出21OBT=CBT= CBO132FHB FHB ，先证OCQHBF（ASA），得出 CQ BF22315= = 4 ，再证OBVQBV（ASA），得出 OB=QB=3，可求BC=CQ+BQ= 3 ，利用勾股定理在RtCOB 中，OC=44BC2 OB2 4 152 32 9d 99 15AC=OA-OC=6- =BC，再证 CG 为 AB 的垂直平分，求出3 104= 4 ，可证442线，可证ASB 为等腰直角三角形，求

31、出SB=ABcos45 3 5 2 2，再证EBSCBO，可求3 10 159 99BE 24 153810 ，可求 OD=2OC= 2 4 ， 设 OJ=m，JD=OD-OJ= m ，BJ=3+m，根据勾股定2215 22 92 15 10 22115理 JE2= DE2 DJ 2 BE2 BJ 2 即 m 28 3 m2 解得m ,88JE 8 即可【详解】解：（1）直线 ykx3k 交 x 轴于点B，当 y=0 时，x=3，点 B（3，0），OB=3，OAOAtanABO2= OB 3 ，OA=6，点 A（0，6），点 A 在直线ykx3k 上，3k=6，k=-2；过 G 作 GLx 轴

32、于L，点 G 的横坐标为t，OL=t，BL=3-t，GLGLtanABO2= LB 3 t ，62 +32GL=6-2t，OA2 + OB25在 RtAOB 中 AB= 3 5 ，GL2 + LB 26 2t 2 + 3 t 255在 RtGLB 中 GB= 3 t ，GA=AB-GB= 3 3 t 5t ，3 525cosOAB= OA 6，25AB55tcosOAB=cosGAC= AG ACAC 5，5AC= 2 t ，5CO=OA-AC=6- 2 t ，5d=6- 2 t ， 0 5 t 6 ，2 0 t 12 ，55d=6- 2 t ，（ 0 t 125 ）；作OBC 的平分线交y 轴于T，过O 作 OQBT 交 BC 与 Q，交BT 于V，过 B 作BSAE 于 S，过E 作 EJx 轴于点J，1OBT=CBT=