高中数学题型全面归纳（教师版）：12.4 二项式定理52

1、 二项式定理考纲解读能用计数原理证明二项式定理.会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题.命题趋势探究高考对本节内容的考查常以选择题或填空题的形式出现，并且高于中等偏易试题.主要考查内容是： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 利用通项求解展开式中的某指定项； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 利用二项式特别是的展开式求解系数或求某些类似于二项展开式的式子的值； = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 二项式系数的有关问题.知识点精讲一、二项式定理 .展开式具有以下特点：（1）项数：共项.（2）二项式系数：依次为组合数.（3）每一项的次数是一样的，都为次

2、，展开式依的降幂、的升幂排列展开.特别地，.二、二项式展开式的通项（第项） 二项式展开的通项为.其中的二项式系数.令变量（常用）取1，可得的系数.注 通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数.在应用通项公式时要注意以下几点： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 分清是第项，而不是第项； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 在通项公式中，含这6个参数，只有是独立的，在未知的情况下利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求和.二项式展开式中的系数 （1）二项式系数与项的系数 二项式系数仅指而言，不包括字母所表示的式子中的系

3、数.例如：的展开式中，含有的项应该是，其中叫做该项的二项式系数，而的系数应该是（即含项的系数）.二项式系数的性质 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即，. = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 二项展开式中间项的二项式系数最大. 如果二项式的幂指数是偶数，中间项是第项，其二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间项有两项，即为第项和第项，它们的二项式系数和相等并且最大.（3）二项式系数和与系数和 = 1 * GB3 二项式系数和 .奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和， . = 2 * GB3 系数和

4、求所有项系数和，令；求变号系数和，令；求常数项，令。题型归纳及思路提示题型172 二项式定理展开式的应用思路提示 对二项展开式的认识不仅要关注展开式中对各项的特点，更重要的是要理解等式两边的关系，右边是左边个因式积的结果，而左边是右边各项和的结果，这就为此类问题的解决提供了思考的方向和解决的思路。例12.30 用计数原理证明： .解析: ，其展开式的通项为，是由个中的个中每一个取，个中每一个取相乘取得的，这样的取法（只需从个中取，自然剩余个中取）共有种，即 .故 变式1 在的展开式中，的系数为（ ）A. B. C. D. 解析 展开x项系数为1x2x3x4+2x3x4x5+1x3x4x6+1x

5、2x3x5+1x2x4x5=274.故选D.变式2 在的展开式中，的系数为_（用数字作答）.解析 将多项式看作，通项公式为，因为,时都不含有x的项，故要求x的系数，r只能等于1，x的系数为.评注 本题也可把二项式定理进行推广，原式看成5个相同的因式相乘，要得到只含x的项，只要从其中一个因式取出4x，另外四个因式全取2，即只含x的项为：，即含x的项的系数为320.变式3 的展开式中整理后的常数项为_（用数字作答）.解析 解法一 将看做整体，则展开式中的常数项，当5-r=0时，即r=5, ,当5-r=2时，即r=3, ,当5-r=4时，即r=1, ,则展开式中的常数项为.解法二 .则展开式中的常数

6、项为.评注 在解法二中不妨设，常数项为，此解法更简捷.题型173 二项展开式通项的应用思路提示二项展开式的通项从微观角度反映了二项展开式的全貌，是展开式的缩影，它可以用于求二项展开式的任意指定项及其系数等。例12.31 （1）的展开式的常数项是（ ）A. B. C. D. (2)展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 解析：（1）利用计数原理求解，当左边因式取2，所得常数项为，当左边因式取， 所得常数项为，故展开式中常数项为 ，故选. .故展开式中含的项 .故选.变式1 展开式中的系数为_。解析 将展开式中项为，所以项的系数为变式2 展开式中的常数项为_。解析 两个二项式的通项分别为，

7、当时，即4i = 3j，有3种情况：i = j = 0；i = 3，j = 4；i = 6，j = 8；因此常数项为.变式3 已知的展开式中没有常数项，且，=_.解析 的通项公式为，要使多项式展开后没有常数项，则的展开式中，则，n被4整除不能余0,2,3，所以n被4整除只能余1，又，故n = 5.例12.32 （1）求证： .（2）求证：.解析 （1）因为，又，所以展开式至少有4项，即 .证毕.（2）首先，显然有 ；同时 （至少有3项），故有.变式1 ，.求证：.解析 设a = x + y，b = x y，则，于是：=变式2 求证： .解析 ，所以变式3 对于，求证：. 解析 展开式的通项 展

8、开式的通项 因为，所以，当r = 0时，；当时，由二项式展开的通项可知例12.33 (1)展开式中的系数为，=_.(2) （2017新课标理数）(+)(2-)5的展开式中33的系数为A-80B-40C40D80解析 （1），令x=1得系数为，的幂，由展开式中的 QUOTE 的系数为，得， 。22x-y5展开式中 Tr+1=C5r2x5-r-yr 因此只需展开式中的含x3y2与x2y3的系数之和。C5223(-1)2+C5322(-1)3=40 选c变式1 的展开式中含的项的系数为_(用数字作答)。解析 二项展开式的通项为，令18 = 15，解得r = 2，所以含的项的系数为17变式 2 设二项

9、式()的展开式中的系数为A，常数项为B，若B=4A，则的值为_。解析 二项式展开的通项，令， 令，由B = 4A解得，又a 0，所以a = 2【例12.33变式3】变式 3 展开式中与的系数和为_(用数字作答)。解析 ,由题意知r = 7或3，当r = 7，；当r = 3，这两项系数和为 240例12.34 展开式中系数为有理数的项共有_项。解析：= QUOTE ()依题意，为4的整数倍，.故展开式中系数为有理项的项共有6项。变式1 的第三项和第二项系数之比为11：2，求展开式中有理项有多少个？解析 的系数为，的系数为，。是有理项，故展开式中有3个有理项变式2 (为有理数)，则=（ ） A.

10、45 B. 55 C. 70 D. 80解析 ，故选C变式3 展开式中存在常数项，正整数的最小值为_.解析 为常数项，故，故题型174 二项展开式的系数和问题思路提示有关系数和的问题不仅要注意二项式系数和的结果，重要的是研究二项式系数所用的方法即赋值法，这里就需要读者根据题目结合已知条件进行赋值。例12.35 已知=.求（1）；（2）；（3）；（4）.解析 令，则 = 1 * GB3 令，则. = 2 * GB3 (1)因为，所以.(2)( = 1 * GB3 - = 2 * GB3 )2得.(3) ( = 1 * GB3 + = 2 * GB3 ) QUOTE 得(4) 解法一：因为展开式中

11、大于零，而小于零，所以=（）（）=2187.解法二：即为展开式中各项的系数和，故只需要对中令即可得的值等于=2187.评注： 求关于展开式中的系数和问题，往往根据展开式的特点给其中字母一些特殊的数值，如1，-1等，此即赋值法。变式1 已知二项展开式，则=_.分析 ，在中，令x = 1，；令x = 1， 解析 变式2 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）A. -40 B. -20 C. 20 D. 40解析 令x = 1得，因此展开式中的常数项即为展开式中的系数与x的系数和。展开式的通项为，令5 2r = 1，得r = 2，因此展开式中x的系数为80令5 2r = 1，得r =

12、 3，因此展开式中的系数为40，所以展开式中的常数项为40，故选D例12.36 若=（），则的值为（ ）A. 2 B. 0 C. -1 D. -2解析：在二项式展开式中，令，得，令得，所以，故选C.变式1 已知=.若，那么自然数的值为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6解析 令x = 1时，得，又，所以，即，解得n = 4，故选B变式2 若，则=_.解析 由题意可知，所求结果为x = 1时，的值，即令，则即为所求，又，所以 = 14题型175 二项展开式中系数或项的最大、最小问题思路提示 二项式系数最大（小）问题按前述“知识点精讲”原理求解.系数或项的最大、最小问题需按该项大于（或小于

13、）等于相邻两项，列不等式组求解。例12.37 展开式中：（1）只有第7项的二项式系数最大，则=_;（2）第7项二项式系数取最大值，= _.分析：只有一项的二项式系数最大是偶数；有两项二项式系数最大是奇数。解析：（1）=只有二项式系数最大， QUOTE 为偶数，最大值为，得. (2)当为偶数时，；当为奇数时，最大二项式系数为和或或.所以。变式1 求展开式的系数最大项和最小项。解析 ,各项系数为，在正数里找最大系数，为界，最大系数为，系数最大项为和，在负数里找最小系数，系数最小项变式2 求展开式中二项式系数最大项数和系数最大项数。解析 ，二项式系数最大为第6,7项，设系数最大项满足（分母都大于0）

14、，即r = 7或8系数最大，即第8,9项两项系数最大。最有效训练题52（限时30分钟）1.的二项展开式中，的系数为（ ）A. 10 B.-10 C.40 D. -402. (其中且)展开式中，与的系数相等，则=（ ）A. 6 B. 7 C.8 D. 93的展开式中，的系数为10，则实数等于（ ）A. B. C. 1 D. 24. （2017新课标理数）展开式中的系数为A15B20C30D355.若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（ ）A. -84 B. 84 C. -36 D. 366. 设=，则的值为（ ）A. 2 B. -1 C. -2 D. 1 7. 若的展开式

15、中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的的系数为_8. （2017山东理）已知的展开式中含有项的系数是，则 .9. 已知，若数列（）是一个单调递增数列，则的最大值为_.10. （2017浙江）已知多项式，则=_，=_11. 12. 。（1） 若，求的值； （2） 若，求中含的项的系数；（3） 证明： 最有效训练题52D 解析 由，令10 3r = 1，得r = 3，代入得x的系数为40B 解析 ，由已知解得n = 7D 解析 依题意，令5 2r = 3，得r = 1，所以的系数5a = 10，得a = 21+x6展开式中 Tr+1=C6rxr因此只需展开式中的含x4与x2的系数之和。C64+C62=30选项为cB 解析 依题意，得n = 9，令18 3r = 0，得r = 6，常数项为84C 解析 令x + 2 = 1，得x = 1，代入等式得，所以56 解析 由已知得，所以n = 8，令8 2r = 2，得r = 5，所以