a第三章参数曲面第一基本形式

1、微分几何 Differential GeometryChapter 3 参数曲面第一基本形式第一基本形式设 是 中一个正则参数曲面. 则 是曲面上任意一点 处的切向量，这个向量作为 中的向量可以计算它的长度. 这三个函数 称为曲面 的第一类基本量. 第一基本形式而矩阵 称为切空间(关于基底 )的度量矩阵(metric matrix). 由于 的度量是正定的，这是一个正定矩阵. 事实上，它的2个顺序主子式均 ：(Lagrange 恒等式)第一基本形式利用第一类基本量 的定义，有 这是一个关于变量 的二次型，称为曲面 的第一基本形式(first fundamental form)，记为记参数变换

2、的Jacobi矩阵为 则第一类基本量之间的关系为 新的参数 下，第一基本形式保持不变：第一基本形式第一基本形式与参数选择无关，也与 的标架选择无关，是一个几何量. 其实，这一结论也可由微分形式不变性直接得到：如果 和 是 处的两个切向量，则它们的内积为 因此切向量 的长度为两个切向量 和 之间的夹角 满足 它们相互正交的充分必要条件是正交曲线网在参数曲面 上，参数曲线网是正交曲线网 . 对于参数曲面 上的一条曲线 ，它的弧长为面积元素定义 称 为曲面S的面积元素，称 为曲面 的面积.曲面的几何量曲面上曲线的弧长 ，曲面的面积元素 以及曲面的面积 都是几何量. 证明 假设参数变换为 ，其中 则在

3、新参数 下， 的参数方程 与原参数方程 之间满足曲线的参数方程由 变成了 所以由(3.12)可见，在新参数 下，第一类基本量 满足 其中 是 的逆映射 的Jacobi行列式. 另一方面根据二重积分的变量代换公式， 所以在新参数 下的面积元素根据二重积分的变量代换公式，有EXAMPLES例1 求旋转面 的第一基本形式. 所以 这说明在旋转面上，经线和纬线构成正交曲线网. 第一基本形式为这说明在旋转面上经线(v-曲线)和纬线(u-曲线)构成正交参数曲线网. 例2 求曲面上参数曲线网的二等分角轨线的微分方程. 解 设正则参数曲面 的第一基本形式是 再设二等分角轨线的切向量为 由题意，它与u-曲线的夹

4、角要等于它与v-曲线的夹角，而u-曲线的切方向为 ，v-曲线的切方向为 ，所以将 和 代入上式，得即由于 ，即 ，所以上式可化简为或等价地，参数曲线网的二等分角轨线的微分方程为注 求解一阶常微分方程初值问题得到的解 是曲面 上过 点的一条曲线 ，在 的每一点 ，切方向 与该点处的两条参数曲线的切方向夹角相等. 固定 ，让初始条件 变动，就得到2族这样的曲线，它们就是参数曲线网的二等分角轨线.曲面上正交参数曲线网的存在性在正交参数曲线网下，第一基本形式比较简单：问题：曲面上是否存在正交参数曲线网？引理设 是定义在区域 上的连续可微的1次微分形式，且 处处不为零. 则对于任意一点 ， 在 的某个邻

5、域 内存在积分因子，即有定义在 上的非零连续可微函数 ，使得 是某个定义在 上的连续可微函数 的全微分：定理4.1 假定在曲面 上有两个处处线性无关的、连续可微的切向量场 , . 则对每一点 ，必有 点的一个邻域 ，使得在 上存在新的参数 ，满足 . 分析：设 ， . 则由 线性无关可知 如果这样的可允许参数变换 存在，则应有函数 使得 即有 在上述等式两边取逆矩阵得 因此逆参数变换 应满足定理4.1的证明：考虑两个1次微分形式 由引理可知存在积分因子 使得 是全微分，即有函数 ， 使得由此可见因为 参数变换 是可允许的. 在新的参数 下， 同理有 . 注 满足条件的新参数仅是局部存在的，并且不能使得 . 曲面上正交参数曲线网的存在性定理4.2 在曲面 上每一点 ，有 点的一个邻域 ，使得在 上存在新的参数 ，满足 .证明