高中数学题型全面归纳（教师版）：14.1 推理56g

1、第十四章推理与证明 本章知识结构图合情推理演绎推理归纳类比三段论大前提、小前提、结论直接证明综合法分析法由因导果执果索因间接证明反证法数学归纳法推理证明推理与证明猜想正难则反 第一节 推理考纲解读1了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用2了解演绎推理的重要性，掌握其基本模式，并能进行一些简单的推理3了解合情推理和演绎推理的联系和差异命题趋势探究作为新课标新增加的内容，主要考查归纳推理和类比推理，题型在选择题、填空题和解答题中均有渗透，主要题型结构为：根据条件，归纳、猜想一个结论，然后证明该结论，虽然合情推理的结论不一定为真，但高考一般考查的是可以通过

2、演绎推理解决的问题，故答案具有唯一性知识点精讲1合情推理合情推理包含归纳推理和类比推理两种基本推理方法(1)归纳推理：根据某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这种特征的推理，是“部分到整体，个别到一般”的推理，属不完全归纳推理(2)类比推理：两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有相似特征的推理，是“特殊到特殊”的推理2演绎推理演绎推理就是根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命题为真的推理，常用的演绎推理规则有：假言推理；三段论推理；传递性关系推理和完全归纳推理特别是“三段论”推理，其模式为：大前提已知的一般结论小前提所研究的特

3、殊情况结论根据一般结论，对特殊情况做出判断，步骤如下：若SM，则S有性质P；检验，M；故具有性质P注如大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的题型归纳及思路提示题型185归纳推理思路提示对所给的几个特殊事例进行观察，归纳猜测出它们的共同点，得出一般的规律性结论，但结论的正确性还需进一步证明这里遵循的是由特殊到一般的推理原理例14.1【2016高考山东文数】观察下列等式：；照此规律，_【答案】考点：合情推理与演绎推理评注 本题主要考查合情推理与演绎推理，本题以三角函数式为背景材料，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于分析类比等号两端数学式子的特征，找出共性、总结规律，降低

4、难度.本题能较好的考查考生逻辑思维能力及归纳推理能力等.变式1观察下列各式：553125，5615625，5778125，则52011的末四位数字为()A3125B5625C0625D8125数字为0625，末四位数字为3125， 末四位数字为5625，末四位数字为8125，末四位数字为0625， 记an为5n的末四位组成的四位数，由上可得 数列是以4为周期的，故，所以 故选D.评注 周期性的证明， 故（），在许多问题的求解中，发现周期就是找到了突破口，如本题中的末四位数通过周期转化为的末四位数.变式2n个自然数按规律排成如图141所示的序列：依次规律从20132015，箭头方向应为()ABC

5、D解析 经观察，从0开始到4为一个周期，故易得选B.变式3下面的倒三角形数阵满足如图142所示的排列图142(1)第一行的n个数分别是1，3，5，2n1；(2)从第二行起，各行中的每一个数都于它肩上的两个数之和；(3)数阵共有n行，则第5行的第7个数是解析 由数阵可知：每一行从左至右成等差数列，且公差为2n，易知第5行的第1个数为32+48=80，公差为25 = 32，所以第7个数为 例14.2(2017亳州月考) 观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28B76C123D199解析从给出等式的特点可观察发现，等式左端的值，从第三项开始，后

6、一项是前两项的和，照此规律，则有：1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，a10b10123故选C评注本题也可通过演绎推理得出正确答案由ab1，a2b23可知，2ab2，即ab1；所以a10b10(a5b5)22a5b51122123变式1观察下列两组三角恒等式，请各归纳出一个一般三角恒等式，并思考一下如何证明？(1)，(2)，解析 （1） （2） 证明：（1） （2） 例14.3设函数(x0)，观察：，根据以上事实，由归纳推理可得：当n且n2时，解析由2，4，8，16，得：；1，3，5，7，15，即为，所以评注在归纳猜想的通项公式时，要认真分析每一项中的系数与对应的项数之间的关

7、系变式1，则()ABCD解析 故选C.评注 要利用周期性归纳求解的方变式2已知数列的第1项，且(n1，2，)，猜想a2014解析 由，且(n = 1,2,3,)得： ，故 猜想： 评注 本题亦可用演绎推理解决，将变形为，利用为等差数列可知，故.所以 例14.4传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数，他们研究过如图143所示的三角形数：图143将三角形数1，3，6，10，记为数列，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列，可以推测：(1)是数列中的第项；(2)(用k表示)分析 利用归纳推理猜想得到的通项公式是解决本题的关键.解析 （1）由已知三角数阵可知，每

8、一项可看作等差数列求和问题，即an = 1 + 2 + 3 + + n = , 再由，可知 要使an能被5整除，需使n或n + 1能被5整除. 即当n = 4，5，9，10，14，15，时，an能被5整除 即， 所以.故 （2）由（1）可知，对 故填（1）5030；（2）.评注 本题也可利用演绎推理求解的通项公式，由题图14-3可知： 所以，累加，得： +n，即.变式1如图144所示，在圆内画一条线段，将圆分成两个部分；画两条线段，彼此最多分成4条线段，同时将圆分成4个部分；画3条线段，彼此最多分成9条线段，同时将圆分成7个部分；画四条线段，彼此最多分成16条线段，同时将圆分成11个部分那么：

9、(1)在圆内5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？同时将圆分割成多少部分？(2)猜想：圆内两两相交的n(n2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？同时将圆分割成多少部分？解析 设圆内两两相交的条线段，彼此最多分割成条线段，同时将圆最多分割成个部分. （1）时，. （2）由归纳可知，.评注 用归纳推理解决几何问题时，也是通过观察前几个图形的规律，然后归纳总结出第n个图形所对应的数值与n的关系式.变式2【2016高考新课标2文数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相

10、同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_.图144【答案】1和3考点： 逻辑推理.评注 逻辑推理即演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.演绎推理的逻辑形式对于理性的重要意义在于，它对人的思维保持严密性、一贯性有着不可替代的校正作用.逻辑推理包括演绎、归纳和溯因三种方式.题型186类比推理思路提示两类对象具有某些类似特征，则可根据一类对象特征推理出另一类对象的特征这里的类比有从方法(过程)进行类比，有从知识(结论)进行类比我们可以从不同角度出发确定类比对象，其基本原则是要根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，其

11、基本原则是要根据当前问题的需要，选择适当的类比对象如二维与三维(平面与空间)之间，椭圆与双曲线之间，等差数列与等比数列之间等例14.5当，时，有如下表达式：，两边同时积分得：，从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：分析利用导数与定积分的关系求解，还要注意所给式子的特点以及二项式定理的应用解析设f(x)所以所以，即变式1通过计算可得下列等式：2212211；3222221；4232231；(n1)2n22n1将以上各式分别相加，得：n)n即123n类比上述求法：请你求出122232n2的值解析 由已知可类比写出： 将以上各式分别相加，得： 所以+ 评注 本题求解是通过方法的

12、类比求出，解题时要知道立方和与立方差公式，即 变式2已知点P(x0，y0)是抛物线y22px(p0)上的一点，过点P的切线方程的斜率可通过如下方式求解：在y22px两边同时对x求导，得，则，所以动点P的切线的斜率类似上述方法，求出双曲线在点P(，)处的切线方程解析 将双曲线的方程化为，类比上述方法，两边同时对x求导，得：，则 ，即过点的切线的斜率率k=2，因此切线方程为y-=2(x-),整理得：2x-y-=0.评注 本题重点考查了类比推理和复合函数求导的运算，当然本题也可通过圆锥曲线与直线的位置关系求解。例14.6已知正三角形内切圆半径是高的，把这个结论类比到正四面体中，类似结论应该是解析正三

13、角形内切圆和正四面体内切球这两类对象的相似特征为“正三角形内切圆圆心到正三角形三边等距，正四面体内切球球心到正四面体四个面等距”，这就是类比转化的条件所在，如图145所示，由性质知正三角形内切圆圆心O1也是正三角形的垂心，O1在BC边的高AD上，连接O1A，O1B，O1C，O1ABO1BCO1AC，如图146所示，类比正四面体ABCD内切球球心O2在四面体的高AH上，连接O2A，O2B，O2C，O2D，O2ADCO2ABCO2ABDO2BCD，故类似的结论为：正四面体内切球半径是高的评注设正三角形的边长为a，高为h，内切圆半径为r，外接圆半径为R，则ahrR1，其中rR12，即圆心将高线分成的

14、线段比为12，同理，设正四面体的棱长为a，高为h，内切球的半径为r，外接球的半径为R，则则ahrR1，其中rR13，即球心将高线分成的线段比为13有些平面中的定义、定理、性质可以类比到空间，在学习中可以通过类比去发现新问题变式1平面直角坐标系中，直线的一般方程为AxByC0(A2B20)，圆心C(x0，y0)，半径r0的圆的方程为(xx0)2(yy0)2r2，类比到空间直角坐标系内平面的一般方程为，球心在C(x0，y0，z0)，半径为r0的球的方程为解析 Ax+By+Cz+D=0(A+B+C0);（x-x）+(y-y)+(z-z)=r.变式2将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧

15、面和底面部分分别为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任意两边中点的截面均称为斜面的“中面”请仿照直角三角形以下性质：(1)斜边的中线长等于斜边长的一半；(2)两直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；(3)斜边与两直角边所成角的余弦平方和等于1写出直角三棱锥相应性质(至少一条)：。解析 （1）斜面的中面面积等于斜面面积的； （2）三角直角面的面积的平方和等于斜面面积的平方； （3）斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于1.最有效训练题56（限时35分钟）1.在平面上，若两个正三角形的边长的比，则它们的面积之比为，类似地，空间中，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为，则它们的体积

16、比为（ ） 2.设是正数，且则（ ） 3.观察下列事实：的不同整数解的个数为4，的不同整数解的个数为8，的不同整数解的个数为12,.则的不同整数解的个数为( ).A.76 B.80 C.86 D.924. 【2017课标II，理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ）A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩5.若，定义：.例如: ,则函数的奇偶性为（ ）

17、 A.是偶函数而不是奇函数 B. 是奇函数而不是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数6. 【2016高考新课标2理数】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 7.已知数列为等差数列，若，则.类比等差数列的上述结论，对于等比数列，若，则可以得到 8.已知函数，则若，则 9.【2017北京，文14】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（）男学生人数

18、多于女学生人数；（）女学生人数多于教师人数；（）教师人数的两倍多于男学生人数若教师人数为4，则女学生人数的最大值为_该小组人数的最小值为_10.在给出如图14-7所示的数表中，第行第列的数记为且满足， ，(1)则此数表中的第5行第3列的数是_ (2)记第3行的数为数列，则的通项公式为_第1列 第2列 第3列 第4列第1行 1 2 4 8 第2行 2 3 5 9 第3行 3 5 8 13 图14-7【最有效训练题561.D 解析 由题意，相似三角形面积比等于相似比的平方，类比到空间几何体中，相似的四面体的体积比等于相似比的立方，两个正四面体的棱长的相似比为1:2，所以体积比为1:2=1:8. 故选D.2.C 解析 类比空间向量的数量积.设m=(a,b,c), n=(x,y,z), 则|m|=a+b+c=10 , |n|=x+y+z=40, mn=ax+by+cz=20,又(mn)=|m|n|=40, 所以mn,即存在唯一确定的实数，使得m=n, 即a=x,b=y,c=z,所以=. 故选C.3. B 解析 由已知可归纳出等式右端值与不同整数解的个数成倍数关系，且解的个数为等式值的4倍.故选B.4. D解析 合情推理评注