2022新高考总复习《数学》(人教)第二章　函数2.2　函数的单调性与最值

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI2.2函数的单调性与最值第二章2022内容索引010203必备知识 预案自诊关键能力 学案突破案例探究1 双变量“存在性或任意性”问题必备知识 预案自诊增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数【知识梳理】 1.函数的单调性(1)函数单调性及单调区间的定义f(x1)f(x2) 增函数减函数图象描述自左向右看图象是自左向右看图象是

2、单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间上升的 下降的 (2)函数单调性的充要条件 2.函数的最大(小)值 前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)xI,都有;(2)x0I,使得(3)xI,都有;(4)x0I,使得结论称M是函数y=f(x)的最大值称M是函数y=f(x)的最小值f(x)M f(x0)=M f(x)M f(x0)=M 常用结论函数单调性的常用结论: f(x)在区间D上的单调性单调递增单调递减定义法x1x2f(x1)f(x2)x1f(x2)图象法从左到右函

3、数图象上升从左到右函数图象下降导数法导数大于零导数小于零运算法单调递增+单调递增单调递减+单调递减复合函数fg(x)内外层单调性相同内外层单调性相反【考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. 2.函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-,-2)B.(-,1)C.(1,+)D.(4,+)答案 D解析 令t=x2-2x-8.由x2-2x-80,解得x4.易知t=x2-2x-8在(-,-2)上单调递减,在(4,+)上单调递增.因为y=ln t在t(0,+)上单调递增,可得函数f(x)的单调递增区间是(4,+).故选D.3.若f(x)满足f(-x)=f

4、(x),且在(-,-1上是增函数,则() 答案 D A.是奇函数,且在(0,+)上单调递增 B.是奇函数,且在(0,+)上单调递减C.是偶函数,且在(0,+)上单调递增 D.是偶函数,且在(0,+)上单调递减答案 A 关键能力 学案突破考点1证明或判断函数的单调性解 当a0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.证明如下:(方法1定义法)任取x1,x2(-1,1),且x1x2,由于-1x1x20,x1-10,x2-10时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x

5、1)0时,f(x)0,当a0,即当a0时,f(x)在(-1,1)上单调递减,当a0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.函数f(x)是减函数.考点2求函数的单调区间【例2】 求下列函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性.(1)y=-x2+2|x|+1;(3)f(x)=(3-x2)ex.(3)f(x)=-2xex+ex(3-x2)=ex(-x2-2x+3)=ex-(x+3)(x-1),当-3x0,当x1或x-3时,f(x)0,函数y=(3-x2)ex在区间(-3,1)上单调递增,在区间(-,-3),(1,+)上单调递减.解题心得求函数的单调区间与确定函数单调性的方法一致

6、,常用以下方法:(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间;(2)定义法:先求定义域,再利用单调性的定义求解;(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间;(4)导数法:利用导数取值的正、负确定函数的单调区间.(2)(2017全国1,文9)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()A.f(x)在(0,2)上单调递增B.f(x)在(0,2)上单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称答案 (1)B(2)C(3)B (2)f(x)=ln x+ln(2-

7、x)=ln(-x2+2x),x(0,2).当x(0,1)时,随着x的增大,-x2+2x增大,ln(-x2+2x)增大,当x(1,2)时,随着x的增大,-x2+2x减小,ln(-x2+2x)减小,即f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,故排除A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln2-(2-x)=ln(2-x)+ln x=f(x),所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除D.故选C.考点3函数单调性的应用 (多考向探究)考向1利用函数的单调性求函数的值域或最大(小)值 答案 (1)9(2)D解析 (1)f(x)的定义域为1,+),且f(x)在定义域上单调递增,f(

8、x)min=f(1)=9.故答案为9.当x=2时,y=0.根据题意x(m,n时,ymin=0.所以m的取值范围是-1,2).故选D.解题心得函数最大(小)值的几何意义:函数的最大值对应图象最高点的纵坐标,函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.利用单调性求解最大(小)值问题,应先确定函数的单调性,再由单调性求解.对点训练3(2020辽宁大连模拟,文10)在实数的原有运算法则中,我们补充新运算“”,定义如下,当ab时,ab=a;当a2bB.ab2D.ab2答案 (1)B(2)A解析 (1)由指数与对数运算可得,2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b.因为22b+log2b22b+l

9、og22b=22b+1+log2b,所以2a+log2a22b+log22b.令f(x)=2x+log2x,由指数函数与对数函数单调性可得f(x)在区间(0,+)上单调递增.由f(a)f(2b)可得a2b.解题心得对已知函数解析式比较函数值大小的问题,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性解决;对没有给出函数解析式的比较大小问题,需要先构造函数,再求函数的单调区间,最后利用函数的单调性比较大小.答案 C 考向3利用函数的单调性解不等式【例5】 (2020新高考全国1,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-,0)上单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)0的x的取值范围是()

10、A.-1,13,+)B.-3,-10,1C.-1,01,+)D.-1,01,3答案 D f(2)=0,f(-2)=0.f(x)是R上的奇函数,f(0)=0.f(x)在(-,0)上单调递减,f(x)在(0,+)上也单调递减.解得1x3或-1x0,满足xf(x-1)0的x的取值范围是-1,01,3,故选D.解题心得求解含“f”的不等式,应先将不等式转化为f(m)f(a+3),则实数a的取值范围为.答案 (-3,-1)(3,+)解析由已知可得 解得-3a3,所以实数a的取值范围为(-3,-1)(3,+).考向4利用函数的单调性求参数的值(或取值范围)【例6】 (2020新高考全国2,7)已知函数f(

11、x)=lg(x2-4x-5)在(a,+)上单调递增,则a的取值范围是()A.(2,+)B.2,+) C.(5,+)D.5,+)答案 D解析 由x2-4x-50,得x5.令t=x2-4x-5,外层函数y=lg t是其定义域内的增函数,要使函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+)上单调递增,则需内层函数t=x2-4x-5在(a,+)上单调递增且恒大于0,则(a,+)(5,+),即a5.a的取值范围是5,+).故选D.解题心得利用单调性求参数时,应根据问题的具体情况,确定函数的单调区间,列出与参数有关的不等式,或把参数分离出来求解.答案 D 案例探究2 双变量“存在性或任意性”问题双变量问题

12、中一般穿插有两个及以上的“任意”或“存在”量词,学生往往因为不知道如何等价转换致使解题走向迷茫,部分学生甚至机械地背诵结论导致走入误区.解决双变量“存在性或任意性”问题,关键是将含有全称量词和存在量词的条件等价转化为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系),旨在落实逻辑推理核心素养.类型一形如“对x1A,都x2B,使得g(x2)=f(x1)成立”【例1】 已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x,g(x) ,若对任意x1-1,1,总存在x20,2,使得f(x1)+2ax1=g(x2)成立,求实数a的取值范围.思维突破此类问题求解的策略是“等价转化”,即“函数f(x)的值

13、域是g(x)的值域的子集”从而利用包含关系构建关于实数a的不等式组,求得参数的取值范围.类型二形如“x1A及x2B,使得f(x1)=g(x2)成立” 思维突破本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”,上述解法的关键是利用了补集思想.另外,若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”,则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值范围.类型三形如“对x1A,都x2B,使得f(x1)g(x2)成立” 思维突破理解量词的含义,将原不等式转化为f(x)maxg(x)max,利用函数的单调性,求f(x)与g(x)的最大值,得关于a的不等式,求得a的取值范围.思考1: 在例3中,若把“x22,3”变为“x22,3”时,其他条件不变,则实数a的取值范围是.提示问题“等价转化”为f(x)maxg(x)mi