6.4广义积分教案

1、6.4广义积分教案6.4广义积分教案6.4广义积分教案山东理工职业学院教案首页 学年 第 学期课程名称 高等数学任课教师授课班级授课时间第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 节第 节第 节第 节第 节第 节 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授课课题6.4广义积分教学目的1.理解广义积分的概念。2.会用计算简单的无穷积分、瑕积分。教学重点计算无穷积分、瑕积分。教学难点计算无穷积分、瑕积分。教学用具备 注山东理工职业学院教案纸教学过程教 学 内 容教学方法复习检查引入新课引入新课新授课a2-x2=u回代本节小结课外作业考勤前面讨论定积分的定义时，要求函数的定

2、义域只能是有限区间，并且被积函数在积分区间上是有界的.但是在实际问题中，还会遇到函数的定义域是无穷区间，或，或被积函数为无界的情况.前者称为无限区间上的积分，后者称为无界函数的积分.一般地，我们把这两种情况下的积分称为广义积分，而前面讨论的定积分称为常义积分.本节将介绍广义积分的概念和计算方法.无穷区间上的广义积分无穷积分定义1 设函数在区间上连续, 取，若极限 存在,则称此极限为函数在 上的广义积分,记作,即 .此时也称广义积分收敛；如果上述极限不存在, 就称发散.类似地，定义在区间上的广义积分为.在(-, +)上的广义积分定义为：.其中为任意实数.当且仅当上式右端两个积分同时收敛时，称广义

3、积分收敛，否则称其发散.从广义积分的定义可以直接得到广义积分的计算方法，即先求有限区间上的定积分，再取极限.例1 计算广义积分.解 任取实数，则 .例2 计算.解 =.所以，广义积分是发散.利用极限的性质，可以把定积分的分部积分法、换元积分法推广到广义积分.例3 计算.解 .注：显然这里的极限是不定式，利用洛必达法则可得其结果为零.例4 判断的收敛性.解 .显然时,没有极限,所以广义积分是发散的.例5 求曲线与直线所围成的图形的面积.解 如图6-4（1）所示，阴影部分的面积可以图6-4（1）o 1 看作函数在的定积分，故所求图形的面积为.例6 讨论广义积分的敛散性.解 当时，（发散）；当时，.

4、故时，该广义积分收敛，其值为；当时，该广义积分发散.此广义积分称为积分，牢记它的敛散性，可以直接运用.无界函数的广义积分瑕积分定义2 设函数在区间上连续，且.取,如果极限存在,则称此极限为函数在上的广义积分,记作，即.此时也称广义积分收敛，否则就称广义积分发散.类似地，当为的无穷大间断点时，在上的广义积分为：取,.当无穷间断点位于区间的内部时，则定义广义积分为：.注： 上式右端两个积分均为广义积分，当且仅当右端两个积分同时收敛时，称广义积分收敛，否则称其发散.注：(1)广义积分是常义积分（定积分）概念的扩充，收敛的广义积分与定积分具有类似的性质，但不能直接利用牛顿莱布尼兹公式.(2)求广义积分

5、就是求常义积分的一种极限，因此，首先计算一个常义积分，再求极限，定积分中换元积分法和分部积分法都可以推广到广义积分；在求极限时可以利用求极限的一切方法，包括洛必塔法则.(3)为了方便，利用下列符号表示极限：；.(4)瑕积分与常义积分的记号一样，要注意判断和区别.例7 求.解 因为函数在上连续，且，所以是广义积分，于是.例8 求.解 因为函数在上连续，且，所以是广义积分,于是故发散.例9 计算.解 因为，所以是广义积分，于是.由于，即发散，从而发散.对于例9，如果没有考虑到被积函数在处有无穷间断点的情况，仍然按定积分来计算，就会得出如下错误的结果：.例10 求积分.解 因为被积函数，当时无界，所以按瑕积分进行.例11 讨论广义积分的敛散性.解 当时，发散；当时，故时，该广义积分收敛，其值为；当时，该广义积分发散.此广义积分称为积