2.7连续函数的性质教案

1、2.7连续函数的性质教案2.7连续函数的性质教案2.7连续函数的性质教案山东理工职业学院教案首页 学年 第 学期课程名称 高等数学任课教师授课班级授课时间第周第周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 节第 节第 节第 节第 节第 节 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授课课题2.7连续函数的性质教学目的1.了解连续函数的性质和初等函数的连续性.2.了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值、最小值定理和介值定理），并会应用这些性质教学重点函数连续性的有关概念及其应用教学难点1函数连续性的概念及其应用 2复合函数连续性的概念教学用具备 注复习检查引入新课新授课考勤根据函

2、数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，可以推出连续函数的性质.连续函数的和、差、积、商的连续性性质1 如果函数与在点处连续，那么它们的和、差、积、商（分母在处不等于零）也都在处连续，即例1 判断函数在处的连续性.解 因为和在点处是连续的，所以，根据上面的性质，知函数在处是连续的.复合函数的连续性性质2 如果函数在点处连续，且，而函数在点处连续，那么复合函数在点处也连续.例2 判断函数在处的连续性.解 函数在处连续，当时，；函数在点处连续；所以，复合函数在点处也是连续的.初等函数的连续性先回顾几个相关概念：我们把常数函数（为常数）、幂函数（为实数）、指数函数（，为实数）、对数函数（，为实数）、

3、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.基本初等函数（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）经过有限次的加、减、乘、除（分母不为零）的四则运算，以及有限次的复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，叫做初等函数.性质3 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.根据这个结论，求初等函数在其定义区间内某点处的极限时，只要求出该点处的函数值即可得到.求.解 因为是初等函数，并且它的定义区间为，所以闭区间上连续函数的性质性质4 如果函数在闭区间上连续，那么函数在上一定有最大值与最小值.如图2-7-1，函数在闭区间上连续，则在上至少有一点和，使当时，恒成立，则和分别称为函数在上的最小值

4、和最大值. 、称为最小值和最大值点.图2-7-1注意：（1）对于在开区间内连续的函数，其最大值、最小值不一定存在.例如，函数，在内连续，但在这个区间内没有最大值也没有最小值；（2）对于在闭区间上有间断点的函数，其最大值、最小值不一定存在.例如，函数在闭区间上有间断点，这时函数在上既无最大值又无最小值（见图2-7-2）.图2-7-2性质5 （介值定理）如果函数在闭区间上连续，且在两端点取不同的函数值和，是和之间的任一数，那么在开区间内至少有一点，使得 图2-7-3定理的几何意义：在上的连续曲线与直线(在与之间)至少有一个交点，交点坐标 ，其中，如图2-7-3所示. 推论 如果函数在闭区间上连续，且与异号，那么至少存在一点，使得.这个推论的几何意义是：在上连续的曲线两端点落在轴的上、下两侧时，曲线与轴至少有一个交点，如图2-7-4所示.图2-7-4例2 证明方程在区间内至少有一个实根.证明 设，因为它在闭区间上连续，并且，所以根据推论可知，在内至少有一点，使得，即这个等式说明方程在开区间内至少有一个实根.练习1.求下列函数的极限：（1）； （2）；（3）； （4）.2.证明：方程在和之间至少存在一个实根.三、小结理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解