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15-5 一维谐振子问题 一、一维谐振子的定态薛定谔方程 经典力学中，简谐振动为系统的势能为简谐振子的能量为 将势能形式代入定态薛定谔方程，得 令 1将变量x变换为 所以求解这个方程，并使解满足束缚态条件，就可以得到一维谐振子的能量本征函数和能量本征值。 二、一维谐振子的本征函数和能量本征值 波函数的一般形式为或者 式中Hn( )称为厄米多项式，具体形式为 2由此得出n = 0, 1, 2, 3, 4的厄米多项式分别为 由归一化条件 ，得时间因子的一维谐振子的定态波函数为 3当时，应有0，所以上式的解为这表示一维谐振子的能量只能取一系列分立值，并且相邻能级是等间距的，等于 。 基态能量为零点能 经典禁区经典禁区经典力学的结论，振子是不可能进入x A的经典禁区。量子力学中，由于隧道效应，粒子可以到达经典禁区，即不存在什么禁区。 4图中画出了对应于量子数n = 0,1,2三种情况的波函数，以及相应的概率密度。由图可以看出，量子数n较小时，粒子位置的概率密度分布与经典结论明显不同。随着量子数n的增大, 概率密度的平均分布将越来越接近于经典结论。5 例1:一个电子被束缚在一维无限深势阱内，势阱 宽度为1.0110-10 m。求当电子处于基态时对阱壁的平均冲力。 解:设电子的质量为me，速度为vx，动量为px ， 势阱宽度为a。则冲力为 将算符 代

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