（欧阳新龙）中数数学试题的编制技术

1、中学数学试题的 编制技术湖南省教科院 欧阳新龙邮箱：上篇： 常见三类数学题型的编制 目前，各级各类考试常见的数学试题类型，有选择题（单项选择题）、填空题、判断题（正误题或是非题）、简答题、图形操作题、 证明题 、计算题、综合探究题等等。一、选择题的编制 选择题是近些年发展起来的题型，在各级各类考试中占的比例比较大，它的主要功能有： 1.答案的客观性，无论是单项选择题，还是多项选择题，答案是公开确定的，它不因任何外界条件的变化而改变，具有严格的客观标准。 2.内容的灵活性，对各类数学概念、性质、公式和法则，进行变形与变式，将可能发生的典型错误都在题中表现出来，考查学生灵活运用基础知识的能力，在选

2、择题的编制上也十分灵活，可以用计算表示的定量选择题；可以用观察推理判断定性选择题；可以将二者结合起来的定量与定性相结合选择题等。 3.方法的多样性，是指学生答选择题的技术，可用直接判断法，如推理法、观察法、计算法、分析法、猜测法、赋特殊值法、挑选法等，可用间接筛选法，如淘汰法、验证法、逆推法等。 4.知识的全面性，是指考查的知识点较多，题目的包容量较大，一道较理想的选择题，可以考查四个以上的知识。 5.评卷的先进性，是指对选择题的评判。可以用机器评分和统计，这样，不仅增加了评卷的准确性，而且节省了人力，学生答题方便，节省答题时间，提高答题效率。 相应的选择题也带来一些弊端，比如，无法考查学生的

3、解题过程，无法避免盲目猜答案的现象，如果考场不严，选择题为抄袭提供了方便。 选择题由两个部分构成，即题干部分和选择支部分。 题干一般指构成数学命题的前题条件，是用不完整的语句表示，有时候，用疑问式命题表示，这是完整的陈述句。 例如,“下面的四个命题中，正确的是（ ）”，属于疑问式的完整陈述句。 也有用否定语句作题干的，如“下面语句不正确的是（ ）”就是否定句。 选择支是题干的补充，是命题的结论部分。其中有正确与不正确两类，正确支是答案，不正确支是干扰支，起迷惑作用。选择题的编制是一项很细致的艰苦工作，它要求挖掘知识的深广度，了解学生掌握知识的偏差和出现易混易错问题的倾向。同时，也应注意那些常被

4、忽略的隐含条件，这是提供对选择支的设计很充分的依据。例题 下列三角形不全等的是（ ） A.有两边及其夹角对应相等的两个三角形 B.有三个角对应相等的两个三角形 C.斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形 D.三条边对应相等的两个三角形 点评：四个选择支相互有干扰，要求学生对全等三角形的判定定理相当熟悉才能解答。 二、填空题的编制填空题又叫填充题，它只要求在题目的空白处填上适当的语句（或代数式），而不要求对所填充的内容作任何解释。填空题的形式很灵活，无论是答题人还是评卷人，都能一目了然的回答与评分。在一个填空题里，可以有一处空白，也可以有两个或两个以上的空白。空白处的位置可以安排在题目的最后，也

5、可以安排在题目的中间，还可以安排在题目的前面。例题： （1）计算方程 的两个根的等差中项与两个根的等比中项的乘积等于。 （2）函数 （3）（ ）由于填空题要求的是对正确答案的回忆，所以它适用于知识层次教学目标的测量。编制填空题时应注意下面几点： 1.填充的内容应该是关键字词，并要求与上下文有密切联系。 2.一道填空题中不宜有过多长的空白，而且空白处所填的内容必须是唯一的。 3.如果是计算题的填空，计算量不宜复杂，切勿将综合题变为填空题。 三、解答题的编制解答题包含了简答题、作图题、计算题、证明题、综合题等等。下面我们只讲两类。 1.计算题的编制 计算题又称运算题，它是根据数学（包括算术、代数、

6、三角、几何）中各种运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）、公式、性质、公理、定理、运用各种数学思想和数学方法（包括因式分解法，待定系数法、配方法，排列组合法，数形结合与化归等思想）进行数与式的运算。数学的计算贯穿数学的全部内容，涉及的知识相当广泛，可以说没有计算就没有数学。数学的计算题是人们最熟练的古老的题型，从数学产生的那天起，就以计算作为它的主要工具，因此，计算题从最低的运算层次（一位数的加法）到最高层最复杂的运算层次（运用大型计算机计算），中间的环节十分复杂，但是，对于小学、初中、高中所涉及到的计算题，在题型构造上并不复杂，比起选择题、证明题、综合题、它是比较容易编制的，只是在编制计

7、算题时，应注意以下几点：（1）为加强对学生训练与巩固应用新知识而编制的计算题，数字不宜复杂，运算量也不要过大。（2）各级各类考试的试题，计算题是最重要的题型之一。要充分体现反映学生的运算能力，要求技能性较高，运算数字要适合实际，多着眼于运用公式简便运算。例如：计算： ，可以用平方差公式速算。（3）编制计算题必须有唯一确定的运算结果，如果出现含有无理数或循环小数的结果，必须注明要求的精确或有效数字。（4）密切结合实际，防止为了计算而计算，联系实际的问题，无论是题设条件，还是最后计算的结果，所涉及的数字必须与实际相符，防止主观脱离实际的臆造数字。（5）计算题与化简结合起来，注意各种数学方法的灵活运

8、用，计算的过程是数学优化的过程，因此，注意过程的优化组合，防止枯燥的单调重复的计算。2.证明题的编制根据已知的真命题 ，运用正确的推理方法和一系列逻辑程序（包括演绎推理、归纳推理、类比推理），论证所给命题的真实性。证明题是数学试题中比较高层次的要求，学生掌握数学基本理论作为证明的基础，还要运用各种数学方法和证明方法，进行逻辑推理，最后，使结论获得准确无疑的证明。证明题受年龄和学历的限制，如果年龄与学历达不到证明题要求的程度，学生会感到束手无策。证明题在中学数学学习中，以几何作为起点，逐步扩展到代数领域，最后将代数与几何结合起来，构成解析几何，这是证明题比较集中的学科，因此，对证明题的编制，首先

9、注意到年龄特征和可接受性上。其次，还要遵循以下几方面： （1）注意证明题的结构，一般地由已知与求证两方面构成。已知条件必须明确，条件既不能过剩，也不能不足，条件与结论通过中间环节建立必然联系。（2）证明题有两种表达方式，一种用语言陈述，一种用数学符号（结合数学图形）表示。前者要求准确、精练；后者要求文图统一，清晰，明了。（3）因为证明离不开推理与论证，所以，在编制证明题的同时，必须考虑证明的方法，采用哪种推理，这些内容是不是学生所熟悉的等，特别是作为重大考试时，证明题的范围仅限于数学课程标准要求的，任何超越数学课程标准限制的证明题，都达不到考试的目的。（4）证明题一般地分直接证明和间接证明两类

10、，直接证法是根据论据，从已知条件出发，经过一次或几次推理，使结论获证。在几何题证明中，常常用到演绎三段论进行直接推理证明。除直接证明外，就是间接证明，如分析法、综合法、完全归纳法、反证法、同一法、数学归纳法等，一个好的证明题，不能仅限于一种证明方法，应该有两种或两种以上的证明方法，既能用直接证法，又能用间接证法。这些在编制证明题时，都是不应该忽视的条件。（5）证明题必须符合逻辑要求，遵循形式逻辑的基本规律。（6）可以借鉴课本中的证明题进行变化，推广引伸，即将具体问题的结论推广到一般问题的结论，构成新的证明题 。此外，可以把原命题改为等价命题；或把原命题类比同类新命题；或把命题的结论与条件互换，

11、变成它的逆命题 等。总之，编制证明题 必须全面考虑，避免各类错误发生。例题（郴州市试题）如图1，矩形ABCD中，AB3，BC4，将矩形ABCD沿对角线AC平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重合时停止移动。平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q. 设S表示矩形PCMH的面积，表示矩形NFQC的面积。（1） S与 相等吗？请说明理由;（2）设AEx，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？（3）如图2，连结BE，当AE为何值时， 是等腰三角形。图1图2评析: 平移和

12、旋转是“空间图形”的一个重要内容。本题将这一内容放在一个动态的背景中，要求学生在运动和变化的过程中把握图形的几何特征，既关注几何图形的运动结果，也关注几何图形运动的状态。下篇：中学数学试题的编制技术数学试题的来源（一） 1.源于经验，来自外部世界的实际现象； 2.来自数学内部借助于逻辑组合、一般化、特殊化、巧妙地对概念进行分析和综合，提出新的问题（希尔伯特）。 综合来说数学试题的来源现实世界和数学自身。数学试题的来源（二） 数学活动经验的提炼、升华、运用。一、源于经验，来自外部世界的实际现象问题1：我国是一个水资源很贫乏的大国，人均水资源占有量只有2400立方米，是世界人均水资源占有量的1/4

13、.为了节约用水，我国各地基本都规定居民用水标准，标准之内和标准之外的价钱是不一样，而且相差较大。数学问题之一： 为了节约用水，某市制定居民用水标准，规定三口之家每月标准用水量，不超标部分每立方米水费是1.8元，超标部分每立方米水费是4.5元.孙先生八月份用水11立方米，缴水费27.9元. （1）问该市规定的三口之家每月标准用水量是多少立方米？ （2）已知孙先生缴水费13.5元，求出孙先生六月 份的用水量； （3）孙先生决心采取措施节约用水，每月平均少用水2立方米，结果过去一年的用水现在可多用3个月.求现在孙先生每月平均用水量。数学问题之二：某水池有甲、乙、丙三开关，乙输水量为每小时6吨，图是从

14、早晨8点开始水池水的增加量y（吨）与时间x（时）的函数图象，其中 OA段只开甲、丙开关，AB段只开乙、丙开关，BC段只开甲、乙开关（1）问水池水量增加2吨，需要几小时？ （2）问甲、乙、丙三开关谁是进水开关，谁是出水开关？ （3）若甲、乙、丙三开关同时工作，2小时，水池的容量有什么变化？赏析：节约用水应是全面皆知的常识，立足于学生熟悉生活常识为背景，以方程和函数等核心知识为载体考查学生的应用意识和基本的数学建模能力。问题2：木工经常用两块宽度相等的木板拼接的测量工具进行测量数学问题：如图是由四块宽度相等的木板拼接而成的直角梯形框架，试确定1、2、3、4的大小或关系，并说明理由.赏析：本题以木工

15、使用的测量工具为现实背景，考查学生运用学过的数学知识来解释其工具使用的原理，有利于培养学生数学发现和应用意识。问题三：数学原理算数平均数大于几何平均数在现实生活中的应用 随着市场开放，所有商品随行就市，商品价格时涨时降。下面是购买某种常用商品（例如粮食、鸡蛋等日常用品）的两种方式：（1）每次购买的数量不变；（2）每次购买的金额不变.试比较这两种方式中，哪一种更合算？问题四：现实生活航海、巡逻、追击、相遇运动等等编制成的数学问题数学问题之一：一艘缉私艇从港口出发沿着北偏东34方向行驶. 2小时后改变航向， 沿着南偏东40方向行驶. 3小时后，又改变航向，沿着南偏西20方向行驶. 1小时后，在位置

16、P处发现一艘走私船.问：（1）第一次改变航向时，缉私艇的前进方向转了多少度角？（2）第二次改变航向时，缉私艇的前进方向又转了多少度角？（3）现在缉私艇准备押解走私船从P处返回港口. 假设缉私艇的航速一直不变，试画出缉私艇从港口出发直到返回港口的全部航线图，并根据这张航线图近似求出：缉私艇应沿什么方向行驶（可以使用量角器）？需要几小时返回港口（可以使用有刻度的直尺度量）？.数学问题之二：阅读下列材料：“父亲和儿子同时出去晨练。如图，实线表示父亲离家的路程y(米)与时间x(分钟)的函数图象；虚线表示儿子离家的路程y(米)与时间x(分钟)的图象。由图象可知，他们在出发10分钟时经一次，此时离家400

17、米；晨练了30分钟，他们同时到家。” 根据阅读材料给你的启示，利用指定的直角坐标系(如图)或用其他方法解答问题：一巡逻艇和一货轮同时从A港口前往相距100千米的B港口，巡逻艇和货轮的速度分别为100千米/时和20千米/时，巡逻艇不停的往返于A、B两港口巡逻(巡逻艇调头的时间忽略不计)。货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇了几次？出发多少时间巡逻艇与货轮第三次相遇？此时离A港口多少千米？ 数学问题之三：甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的关系如图，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙队开挖到30m时，用了h开挖6h时甲队比乙队多挖了m；（2）请你

18、求出：甲队在的时段内，与之间的函数关系式；乙队在的时段内，与之间的函数关系式；（3）当为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？数学问题之四：某物流公司的快递车和货车每天往返于A、B两地，快递车比货车多往返一趟图11表示快递车距离A地的路程（单位：千米）与所用时间（单位：时）的函数图象已知货车比快递车早1小时出，到达B地后用2小时装卸货物，然后按原路、原速返回，结果比快递车最后一次返回A地晚1小时请在图11中画出货车距离A地的路程（千米）与所用时间(时)的函数图象；(2) 求两车在途中相遇的次数（直接写答案）；(3) 求两车最后一次相遇时，距离A地的路程和货车从A地出发了几小时(时)

19、数学问题之五：早晨小欣与妈妈同时从家里出发，步行与骑自行车到方向相反的两地上学与上班，图12是他们离家的路程(米)与时间(分)的函数图象妈妈骑车走了10分时接到小欣的电话，即以原速骑车前往小欣学校，并与小欣同时到达学校已知小欣步行速度为每分50米，求小欣家与学校距离及小欣早晨上学需要的时间 OCBAy(米)x(分)问题5：图2是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在中点处），则甲的体重的取值范围在数轴上表正确的是（ ）甲乙40kg丙50kg甲图2 赏析： 本题巧妙地将“翘翘板”这一学生喜闻乐见的游戏形式与不等式组相结合，既考查了双基，又体现了对于生活实际的一种数学抽象与再创造的过程本题源于课本

20、，是课本的例题或习题的类比、改造、延伸和拓展其目的引导教师重视课堂的有效性在教学过程中，如何让学生真正理解并掌握新知识，如何有效串联已有知识点，把握问题的实质，例题习题功能的开发和拓展就是一个能起事半功倍作用的好方法引导广大教师用好教材，学生学好教材，发挥教材的扩张效应，将有利于推进素质教育和数学课程改革的顺利实施 二、来自于数学内部数学内部借助于逻辑组合、一般化、特殊化、巧妙地对概念进行分析和综合，提出新的问题1.利用成题编制数学试题对原题进行逻辑组合、演绎推理原题1：如图，在四边形ABCD中，ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，延长BA、CD分别与FE的延长线交于M、N，求证：AMED

21、NE。改编之一（条件、结论等组合）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，延长BA、CD分别与FE的延长线交于M、N，且AMEDNE，求证：ABCD.改编之二（图形变化）如图，ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，BA、CD分别与FE交于M、N，求证：AMEDNE。改编之三（图形变化）如图，ABCD，E、F分别是AD、BC的中点，BA、CD分别与直线EF交于M、N，求证：AME与DNE互补。原题2：如图，O是正方形ABCD的中心，正方形OGHK的边OG、OK与正方形ABCD的边交于E、F，求证：OEOF. 改编之一：如图，O是正方形ABCD的中心，正方形OGHK的边OG、OK

22、与正方形ABCD的边交于E、F.当正方形OGHK绕点O旋转时，哪些线段的长短在不断变化，但相等关系不变？改编之二:如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，过O、C两点的圆与正方形ABCD的边交于E、F，（1）求证：OEOF；（2）求四边形OECF的面积.2.利用成题编制数学试题一般化、动态化原题1：如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则 =_.（结果不取近似值）)改编问题：如图，正方形ABCD固定不动，正方形BEFG绕顶点B沿顺时针方向旋转，在这个旋转过程中，线段AG、DF、CE发生了什么变化？什么不变？在备用图上，再画正方形BEFG的其他位置，进而观察、度量、归纳，能发现什么？原题2

23、： 如图，A90，ABAC，M是边AC的中点，ADBM交BC于D，交BM于E，求证：AMBDMC .改编问题：（1）如图，在RtABC中，BAC90，ABAC，点D、E是线段AC上两个动点，且ADEC，AMBD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F. 试判断DEF的形状，并加以证明.（2）若点D、E是直线AC上两个动点，其他条件不变，试判断DEF的形状，并说明理由.3.利用成题编制数学试题一般化与特殊化相结合问题1:操作：在ABC中，AC=BC=2，C=90，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB

24、于D，E两点图中的(1),(2),(3)是旋转三角板得到的图形中的其中3种探究：(1)三角板绕点P旋转，观察线段 PD和PE之间有什么大小关系?它们的关系为 ，并以图(2)为例，加以证明(2)三角板绕点P旋转，PBE是否能成为等腰三角形?若能，指出所有情况(即求出PBE为等腰三角形时的CE的长)；若不能，请说明理由(3)若将三角板直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM:MB=1:3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间又有什么关系?请直接写出结论，不必证明(图(4)供操作、实验用)结论为： 改编之一：1、ABC中，AC=BC，P是AB边的中点，DPE+C=180，求证：PD=PE改编之二:在R

25、tABC中，P是AB边的中点，PDPE，求证： 改编之三：如图，正方形ABCD和正方形QMNP，M=B，M是正方形ABCD的对称中心，MN与AB交于F，AD与QM交于E（1）求证ME=MF；（2）如图，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，试探索ME与MF的关系，并加以证明；（3）如图，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB=mBD，其他条件不变，试探索ME与MF的关系，并加以证明；（4）根据前面探索和如图，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由改编之四:如图13-1，图132分别是两个正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一

26、个正多边形外接圆圆心(1)求图13-1中,重叠部分面积与阴影部分面积之比；(2)求图13-2中,重叠部分面积与阴影部分面积之比；(3)根据前面探索和图13-3，你能否将本题推广到一般的正边形情况（为大于2的偶数）？若能;写出推广问题和结论;若不能,说明理由如:如图9-1、9-2、9-3、9-n，M、N分别是O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE 、正n边形ABCDE的边AB、BC上的点，且BM=CN,连结OM、ON.(1)求图9-1中MON的度数;(2)图9-2中MON的度数是_,图9-3中MON的度数是_;(3)试探究MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).A

27、EDFCBMNO图9-1ABDOMN图9-2ABCDOMN图9-3ABCOMNEG图9-nCC赏析：1、 本题通过三角板的旋转来构造问题，各问题的难度层次分明，逐级递进，可以引导学生逐步深人思考数学思维活动特征2、学生在解决这一系列问题的过程中，可以表现出自己在从事观察、数学表达、猜想、证明等数学活动方面的能力数学思维活动能力发展特征3、试题让学生经历一次数学研究活动，而且在活动中有意识引导学生获取并积累数学活动经验形成数学能力活动中获取经验（简单的数学方法），经验经过量的积累并进一步升华形成能力（数学思想）4、试题进一步改编与研究体现数学问题的产生特征“是借助于逻辑组合、一般化、特殊化，巧妙

28、地对概念进行分析与综合，提出新的富有成果的问题” （希尔伯持 ）5、试题有利于学生积累基本的数学活动经验：特殊一般特殊解题经验：辅助线的基本引发，特殊化增加已知条件（条件过程，试题难度减弱）问题2：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45 ，（1）求证：EFBEFD；（2）若“ E、F分别是BC、CD上的点”改为“E、F分别是BC、CD延长线上的点 ”，试探索线段EF、BE、FD之间关系，并加以证明试题改编一：(源于证明过程)如图,在四边形ABCD中,ABAD,BD90,E、F分别是BC、CD上的点,且EAF是BAD的一半,1）求证：EFBEFD；(2)若“ E、F

29、分别是BC、CD上的点”改为“E、F分别是BC、CD延长线上的点 ”,试探索线段EF、BE、FD之间关系,并加以证明试题改编二： 如图,在四边形ABCD中,ABAD,B+D180,E、F分别是BC、CD上的点,且EAF是BAD的一半,（1）求证：EFBEFD;(2)若“ E、F分别是BC、CD上的点”改为“E、F分别是BC、CD延长线上的点 ”,试探索线段EF、BE、FD之间关系,并加以证明试题改编三： 如图，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，BAD 60，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF30，求证：EFBEFD.试题改编四：如图，在四边形ABCD中，ABAD1，BD90, BAD

30、 120，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF60，求：CEF的周长.试题改编五：如图,用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD. 把一个三角尺的 60角顶点与点A重合,两边分别与AB、AC重合. 将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时(如图1),通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结？并证明你的结论；(2)当三角尺的两边分别与菱的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时(如图2),你在(1)中得到的结论还成立吗？简要说明理由. 试题改编六： 如图，AC是正六边形外接圆的直径，EF=BE+DF，求EAF的度数试题改编七

31、：进一步推广为正偶数多边形试题改编八：如图，正方形ABCD，E、F分别是BC、CD边延长线上的点，且EF=BEDF，AGEF于G，求证：AG=AD。试题改编九：如图，四边形ABCD,AB=AD,B+D=180,E、F分别是BC、CD边延长线上的点,且EF=BE+DF，AGEF于G，求证：AG=AD。试题功能分析：1.试题关注问题解决过程，在过程中自主反思，发现问题，抽象问题本质，有利于学生形成良好的数学学习习惯2.问题经历特殊一般的数学推广过程，又用一般规律指导特殊问题解决3.试题基于特殊问题的类比与推广，进而发现问题更为一般性的本质，有利于培养学生的创新能力问题3：数学知识应用抛物线顶点用法

32、 y=a（x-h）2+k如何使用知识用法：在什么情景下使用，如何使用（包括其使用程序）改编试题一:如图13，抛物线y=的顶点为P，A、B是抛物线上两点,ABx轴,四边形ABCD为矩形,CD边经过点P,AB=2 AD(1)求矩形ABCD的面积;(2)如图14,若将抛物线“y=x2” 改为抛物线“y=x2+bx+c ”,其他条件不变,求矩形ABCD的面积;(3)若将抛物线“y= x2+bx+c”改为抛物线“y=ax2+bx+c”, 其他条件不变,请猜想矩形ABCD的面积；(4)若 “y=x2”改为y=ax2+bx+c”,“AB=2AD”改为“AB=kAD”，其他条件不变，试探索矩形ABCD面积为常

33、数需要满足什么条件？并说明理由试题改编之二：如图18，点C，B分别为抛物线C1：y1=x2+1、抛物线C2：y2=a2x2+b2x+c2的顶点，分别过点B，C作轴的平行线，交抛物线C1，C2于点A，D，且AB=BD(1)求点A的坐标;(2)如图19,若将抛物线C1:“y1=x2+1”改为抛物线“y1=2x2+b1x+c1”,其他条件不变,求CD的长和a2的值.(3)如图19,若将抛物线C1：y1=2x2+b1x+c1”改为抛物线“y1=a1x2+b1x+c1”，其他条件不变，求b1+b2的值问题4：已知正三角形ABC，CF是外角平分线，E直线BC上任意一点，AEF=60，求证：AE=EF试题改

34、编之一：已知正方形ABCD，CF是外角平分线，E直线BC上任意一点，AEEF， 求证：AE=EF试题改编之二：如图,正方形ABCD和正方形BEFC操作：M是线段AE上一动点，从A点至E点移动，DMMN，交对角线BF于点N探究：线段DM和MN之间的关系，并加以证明CFBEDA说明：如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路过程写出来(要求至少写3步)；在你经历说明的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明注意：选取完成证明得8分；选取完成证明得5分M、N分别是线段AB、BF的中点；M与B重合附加题当M是线段AE延长线上一动点，DMMN，交对角线

35、BF延长线于点N，探究线段DM和MN之间的关系，并加以证明 试题改编之三：图1-1、图1-2是分别由两个具有公共顶点的正三角形和正四边形组成的图形，且其中一个正多边形的顶点D在另一个正多边形的边BC上（1）图1-1中，求DCE= （直接写出答案）； （2）图1-2中，求DCE；（3）当满足条件的图形为正n边形时（如图1-3），猜想：DCE= （直接写出答案）图1-1图1-2图1-3试题改编之四：如图，D是BAC边BC上一点，BA=BC，下面三个论断B=ADE，ACB=FCE，DA=DE，这三个论断任何两个作为已知条件，第三个作为结论都是真命题 试题改编之五：如图，D是BAC边CB延长线上一点，

36、BA=BC，下面三个论断ABC=ADE，ACB=FCP，DA=DE，这三个论断任何两个作为已知条件，第三个作为结论都是真命题 试题改编之六：如图，D是BAC边BC延长线上一点，BA=BC，下面三个论断B=ADE，ACB=FCE，DA=DE，这三个论断任何两个作为已知条件，第三个作为结论都是真命题 试题改编之七：点A，B分别是两条平行线上任意两点，在直线上找一点C，使BCkAB，连结AC，在直线AC上任取一点E，作BEFABC，EF交直线于点F（1）如图15，当k1时，探究线段EF与EB的关系，并加以证明；图15图16图17说明:如果你经过反复探索没有解决问题,请写出探索过程(要求至少三步);在

37、完成之后,可以自己添加条件(添加的条件限定为ABC为特殊角),在图16中补全图形,完成证明(选择添加条件比原题少得3分)（2）如图17，若ABC90，k1，探究线段EF与EB的关系，并说明理由试题功能分析：1.试题引导学生经历特殊到一般化的研究过程，虽然问题形式不同，但研究方法类同，学生在研究过程中方法逐渐熟悉，易发现问题的共同特征，将问题进行推广2.在研究类比推广4、5、6时，蕴涵数学教育重要的价值观当研究一个复杂问题解决有困难时，可以先研究其特殊部分（或者易解决部分），把获得的研究方法经验等加以推广，再解决整个问题3.试题体现一个数学问题研究和发展的基本过程4.试题有利于学生掌握数学核心内

38、容，形成数学能力4.试题是探讨在条件弱化的情况下，原来的命题是否仍然成立，这也是科学研究、科学探究的重要方法从另一个角度看，将条件弱化，实际上就是将条件改成更一般地形式，这种研究、这种思维模式对于学生学习数学是十分有益的，在自己做了这样的探究后，既有成就感，增加自信，也确实可有效地改善、提升自己的思维水平4.以高等数学为背景编制试题特殊化编制一：如图，点A1是位于抛物线y-x26x-4(简记为P)内部、且在直线yx(简记为L)上的任意点，点A1向右平移到P上的B1，再向上平移到L上的A2，再向左平移到P上的B2，再向下移到L上的A3，如此继续下去.(1)若点A1的横坐标为t,求出t的取值范围,

39、并求点A2的坐标；(2)若点A1的横坐标为1.2，试用计算器计算点A2、A3、A4的坐标（精确到0.0001），从中你能发现计算它们的规律吗？并用你发现的规律继续计算A5、A6的坐标（精确到0.0001）；（3）你能得出关于点列A1、A2、A3、A4、变化趋势的猜想？编制之二：如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x与直线y=-2x+6交与点P，点P1为OP上一点，过P1作平行于x轴的直线交直线y=-2x+6于点P2，过P2作平行于y轴的直线交直线y=x于点P3，过P3作平行于轴的直线交直线于点P4， ，依次类推进行下去设P1点的横坐标t（1）求点P2，点P3的坐标（用表示）；（2）请你赋予

40、字母t 一个确切的数值，从 而观察点P2，P3，P4， ，Pn坐标的变化情 况，判断当n越来越大时，点PN的坐标趋近为 试题功能分析: 试题编制原理是：不动点原理1.试题使学生经历一次数学研究探索活动，引导学生进行“自反抽象”（与其他学科的“经验抽样”有较大区别）2.试题引导学生学会一种解决问题的策略试验、发现、联想、推广3.创设一个新的情景，让学生探索其中的规律考查学生学习能力的一个好的方式4.本题考查了学生分类讨论思想、运动变化思想的掌握情况以及合情推理的能力，有利于引导学生掌握数学思想方法的精髓，体现了素质教育的要求题5.以探索数学规律为目的命制试题问题1：如图8,ABC和 ABC关于直

41、线MN对称,ABC和A”B”C”关于直线EF对称. (1)画出直线EF; (2)直线MN与EF相交于点O,试探究BOB” 与直线MN、EF所夹 锐角的数量关系.改编：如图，直线DE与DF交于点D，ABC与ABC关于DE对称。（1）作ABC关于直线DF对称的ABC；（2）试探索BDB与EDF之间的关系，并加以证明。 赏析：本题在考查学生“轴对称”概念时，改变了以往考试中只关注对称图形之间关系的考查的做法，转而从已知图形的对称性去确定对称轴，同时通过问题（2）让学生运用所学的知识自主探求对称之间的相关性质，考查学生对概念本质的理解以及综合运用知识的能力，强化学科知识内部综合。 问题2:在数学活动中

42、,小明为了求的值（结果用n表示）,设计如图7-1所示的几何图形.(1)请你利用这个几何图形求 的值为_.(2)请你利用图7-2,再设计一个能求 的值的几何图形.图7-1图7-2 赏析：数学思想方法习得是能围绕一个数学核心内容设计思维含量由浅入深的问题串，问题不断拓展延伸，学生对问题认识的深度也在不断地递进，学生研究问题的方法也在逐步地熟悉与掌握学生通过比较研究获得一类问题的解决方法的共同特点即获得数学方法，当学生这种数学活动经验丰富到一定程度时转化为学生的一种思想观念学生也就领悟其数学思想 问题3：已知A1、A2、A3是抛物线y= x2 上的三点,A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴,垂

43、足为B1、B2、B3,直线A2B2交线段A1A3于点C.(1)如图11-1，若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长.(2)如图11-2,若将抛物线 改为抛物线 , A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数,其他条件不变,求线段CA2的长.(3)若将抛物线 改为抛物线y=ax2+bx+c, A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数,其他条件不变，请猜想线段CA2的长(用a、b、c表示,并直接写出答案).试题改编： 1.原题：已知抛物线y=ax2+bx+c上三点A、B、C的横坐标为连续整数，试探索A、B、C点纵坐标之间的关系2.利用抛物线平移和抛物线自身特征改编试题赏析：1.

44、 本题以二次函数在平面直角坐标系平面内的变化问题为载体，融几何性质与代数运算为一体的探究性试题，抓住探索研究问题的实质，强化数形结合的作用本题计算难度不大，且方法也多，结果简单都是 ，有利于学生观察、归纳研究问题的实质，因而能较好地考查学生的数学思维能力2.本体设计抓住抛物线的特征a影响开口方向和开口大小，b、c影响抛物线的位置，抛物线平移a不变，b、c变根据上述特征改编试题目标在于使学生更好的理解和运用抛物线的特征四、以数学活动形式为载体编制试题（一）数学活动过程中所表现出来的思维方式、思维水平，对活动对象、相关知识与方法的理解深度；（二）迁移活动过程中的思想方法，间接考查学生的数学活动过程

45、；（三）能否通过观察、实验、归纳、 类比等活动获得数学猜想， 并寻求证明猜想的合理性；（四）能否使用恰当的数学语言有 条理地表达自己的数学思考 过程。问题1： 阅读下列材料：“父亲和儿子同时出去晨练如图，实线表示父亲离家的路程y(米)与时间x(分钟)的函数图象；虚线表示儿子离家的路 程y(米)与时间x (分钟)的图象 由图象可知，他 们在出发10分钟 时经一次，此时 离家400米；晨练 了30分钟，他们同时到家” 根据阅读材料给你的启示，利用指定的直角坐标系(如图)或用其他方法解答问题：一巡逻艇和一货轮同时从A港口前往相距100千米的B港口，巡逻艇和货轮的速度分别为100千米/时和20千米/时

46、，巡逻艇不停的往返于A、B两港口巡逻(巡逻艇调头的时间忽略不计)货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇了几次？出发多少时间巡逻艇与货轮第三次相遇？此时离A港口多少千米？试题改编之一：若和解直角三角形知识相融合，如方位角，客船在某方位方向发生危险发出求救信号，巡逻艇和货轮同时都去抢救，问谁先到达等？（诸位自己思考编写）试题改编之二：如图 ，边长为5海里的正方形网格表示某海平面示意图，其中的阴影部分表示轮船无法通过的海域，甲轮船从A码头出发沿北偏东45方向以每小时10海里速度行驶海里到C地，休息半小时后，再以同样速度沿正东方向行驶15海里，再沿西北方向行驶海里到达B岛（1）在图1中，画出甲

47、轮船行 驶的示意图；（2）乙轮船比甲轮船从A码头 晚出发2小时，并以每小时 海里的速度行驶，途中也不 休息，问：乙轮船能否先到 达B岛若能请画出乙轮船 航线示意图和说明理由；若 不能，请说明原因赏析：1.题目首先让学生阅读一段较为简单的数学材料，从中体会情景与图象的关系以及处理某些问题的方法迁移活动过程中的思想方法2.再让学生进入另一个相应的情景，着手解决新的问题间接考查学生的数学活动过程3.有利于考查学生获得信息及利用所获得信息解决问题的能力有利于引导培养学生形成良好的学习方式，学会学习有利于数学形成类比、联想等思维方式问题2：如图1-1，P为RtABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），

48、ABC=90，M为AB边中点 操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连结PM并 延长到点E，使 ME=PM，连结DE 探究：（1）请猜想 与线段DE有关的三个结论；图1-1CDBEMAPP（2）请你利用图1-2，图1-3选择不同位置的点按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图1-2或图1-3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“RtABC”改为“任意ABC”，其他条件不变，利用图1-4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）CBMAMACBCBMA图1-2图1-3图1-4试

49、题改编之一：已知点O是等边三角形ABC所在平面上 的任意一点，连结OA并延长到E，使得AEOA. 以OB、OC为邻边作平行四边形OBFC，连接EF. 求证：（1）EFBC； （2）EF= BC.试题改编之二：已知点O是等腰直角三角形ABC（BC为斜边）所在平面上的任意一点，连结OA并延长到E，使得AEOA. 以OB、OC为邻边作平行四边形OBFC，连接EF. 求证：EFBC.EF=BC试题改编之三：已知点O是直角三角形ABC（BC为斜边）所在平面上的任意一点，连接OA并延长到E，使得AEOA. 以OB、OC为邻边作平行四边形OBFC，连接EF. 求证： EF=BC试题改编之四：已知：ABC是等

50、腰三角形，ABACa，BCb. 在左图中，点O是ABC内的任意一点，而在右图中，点O是ABC外的任意一点.在这两张图中，分别以OB、OC为边画出平行四边形OBDC，并延长OA到E，使得AEOA，再连接DE. 观察这两张图，你能发现什么？请写出你得到的两个猜想，并证明它们 赏析： 本题体现了研究一个问题时比较全面的过程： 第一，对问题情景分析的基础上先形成猜想 第二，对猜想进行验证(或证明成立，或予以否定) 第三，在经过证明肯定了猜想之后，再做进一步的推广第四，本题诣在让学生经历一个科学探究的全过程，人们要研究一个数学问题时常常要借助已有的数学知识和相应的数学活动经验对这个问题进行各种各样的猜测

51、（因为数学数学建模的最高层次是借助知觉思维创造性的发现数学事实，正如物理学家、数学家牛顿说：“没有大胆的猜想，就没有伟大的创新”），这些猜测可能是正确的，也可能是错误的，为了进一步探索与验证必须要做相关的数学实验和数学活动，伴随数学实验和数学活动经验的丰富与发展人们对这些猜测又进行更新与否定，更新是新的发现，否定是在数学实验和数学活动中找到反例，经过反复实验你认为是正确的猜测必须进行证明，这样才能体现课程标准中的证明的必要性作为科学探究两个重要途径是扩充与反驳，只有在扩充与反驳的过程中才能推动科学的发展，伴随数学实验和数学活动我们可能获得新的发现，将问题加以推广，本题是上述想法的具体落实因此，

52、本题的意义就不在于考查了相应的知识，更在于考查了活动过程，从而也进一步加强了学生对数学活动过程中的方法与策略的认识及运用问题3：如图13-1,操作:把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CGBC),取线段AE的中点M.探究:线段MD、MF的关系,并加以证明.说明:(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);(2)在你经历说明(1)的过程之后,可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明.注意:选取完成证明得10分;选取完成证明得7分;选取完成证明得5分. DM的延长线交CE于点N,且ADNE; 将正

53、方形CGEF绕点C逆时针旋转45(如图13-2),其他条件不变;在的条件下且CF2AD.附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图13-3),其他条件不变.探究:线段MD、MF的关系,并加以证明.试题改编与演变历程：原题1：如图，在直角梯形ABCD中，M是CD的中点，连结MA、MB，求证：MAMB.原题：如图，四边形ABCD、AEFG都是正方形，M是CF的中点，连接MD、ME， 求证：MDME，且MDME.一般化 四边形ABCD、AEFG都是正方形，M是CF的中点，连接MD、ME，求证：MDME，且MDME.特殊化 如图，四边形ABCD、AEFG都是正方形，M是CF的中点，连接MD、ME，求证：MDME，且MDME.其他演变一：已知AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，F、G、H分别为BC、CD、DE边中点 求证：（1）FG=HG； （2）FGH=180-BAC其他演变二：如图，AB