数项级数和函数项级数及其收敛性的判定

1、学号数项级数和函数项级数及其收敛性的判定学院名称：数学与信息科学学院专业名称：数学与应用数学年级班别：姓 名：指导教师：2012年5月数项级数和函数项级数及其收敛性的判定摘要 本文主要对数项级数中的正项级数与函数项级数收敛性判定进行研究，总结了 正项级数和函数项级数一致收敛的部分判别法，并且介绍两种特别判别法：导数判别法和 对数判别法。关键词：数项级数；正项级数；函数项级数；一致收敛性；导数判别法；对数判别法.Several series and Function of series and the judgment of theirconvergenceAbstract In this pa

2、per, the author mainly discusses two series: Several series of positive series and Function of series. Summarizing the positive series and function of the part of the uniform convergence series discriminant method .And it presents two special discriminant method: derivative discriminant method and l

3、ogarithmic discriminant method.Keywords Several series; Positive series; Function of series; uniform convergence; derivative discriminant method; logarithmic discriminant method前言在数学分析中,数项级数和函数级数是全部级数理论的基础,而且数项级数中的正项 级数和函数级数是基本的,同时也是十分重要的两类级数。判别正项级数和函数级数的敛 散性是研究级数的主要问题,并且在实际中的应用也比较广泛，如正项级数的求和问题等。 所以

4、探讨正项级数和函数级数敛散性的判别法对于研究级数以及对于整个数学分析的学 习与理解都有重要的作用。1正项级数及其收敛性一系列无穷多个数M1, u2, u3, Un,写成和式U + u * + u + * u +123n就称为无穷级数，记为 un。如果un 0：(n = 1,2,3,)，那么无穷级数 un,就称为正项 n=1n=1级数。若级数匕的部分和数列sj收敛于有限值S,即 n=1lim S = lim u = S, n fg n n fg , kk=1则称级数 u收敛，记为n n =1g un = S ,n=1并称此值S为级数的和数。若部分和数列Sn发散，则称级数un发散。当级数收敛时，

5、n =1又称丁 Suk = % J %+2 + , +3 +k=n+1为级数的余和。几种不同的判别法.11正项级数收敛的充要条件部分和数列S 有界，即存在某正数M，有 (1+a )分析：本题无法使用根式判别法、比式判别法，或比较判别法以及其他的判别法进行判断， 因此选用充要条件进行判断。所以级数收敛.定理1.12 柯西收敛原理1级数un收敛的充要条件是：对任意给定的正数e，总存在N，使得当nN时，对于任 n =1意的正整数p = 1,2,3,，都成立的u + u + + u 0，因此，只要u + u + + u N都有un vn，那么 n =1n =1（1）若级数vn收敛，则级数un也收敛；

6、n =1n =1（2）若级数un发散，则级数vn也发散； n =1n =1即un和vn同时收敛或同时发散；。 n =1n =1比较判别法的极限形式： 设力u和之v是两个正项级数。若lim二=1，则n =1 n n =1 nn S vn（1）当0/N，成立不等式二N，成立不等式 1,则级数u发散 0un HYPERLINK l bookmark65 o Current Document ni=1比式判别法的极限形式：若 un为正项级数，则n=1例3 2-n-(-1)n 3limn Ju = lim1 n =1 级数收敛n gn n g 2 2(-i)n 2不可使用比式判别法lim un+i =

7、lim 2-i+2(-1)n无法判断敛散性ng ung因此，n当我们观察级数的一般项的极限趋近于0时， 我们可以选用比式判别法或根式判别法。定理1.14 根式判别法根式判别法的极限形式：设是正项级数，且l im.=/，则(1)当l 1时，级数un发散。n=1定理1.15积分判别法 设f (x)为18)上非负递减函数，那么正项级数 f (n)与反常积分)+“ f (x) dx同时收敛或1同时发散。定理1.16拉贝判别法设un是正项级数，且存在自然数N0及常数r，n =1(2)当 时，级数un发散。n =1(3)当时，拉贝判别法无法判断定理1.17阿贝尔判别法 若数列an 0，b 0，且an为单调

8、有界数列，级数立bn收敛，则级数 abn收敛。n=1n=1例44(2 n -1)!u =分析：本题中的通项n(2n)!含有阶层，但不能使用根式判别法和比式判别法进行判定，因此选用拉贝尔判别法。u n- un+1lim n.二当P 1即P 2,级数收敛.f8-n-un+1=limn T8limn T8二 p定理1.18狄利克雷判别法若数列a 0，b 0，且数列a 单调递减lim anf8 0，又级数寸bnn=1的部分和数列有界，则级数Zanbn收敛。n =1Z sin伍 nn2+1)分析:本题型如Z sin(un)un为任意函数，则可以选用狄利克雷判别法。因此，级数收敛定理1.19伯尔特昂(Be

9、rtrand)判别法设Z un是正项级数，且n =1若 B = lim B，则n f8 n(1)当B1时级数Z un收敛;n=1(2)当B1时级数Z un发散。n=1定理2.20对数判别法级数收敛的新方法导数判定法我们知道,若任意项无穷级数a + a + + a +(1)的每一项的绝对值所成的正项级数I a I +1 a I + +1 a I +(2)的收敛的，则称原级数(1)绝对收敛。对于任意项级数(1)是否绝对收敛，可以利用正项级数的诸种判别法来对(2) 进行考察.例如可以应用比较法及其极限形式，比值判别法以及根值判别法等等.本人试图 提供一种新的任意项级数绝对收敛的判别法即导数判别法，它

10、给出了任意项级数绝对收敛 的一个充分必要条件，这个判别法对于判别某些任意级数是否绝对收敛非常方便。导数判别法定理及推论定理(导数判别法)设un为实数项的任意项级.令f(x)是一个是函数，对所有的正整数n n=1使得f (a + b ) = a ,(a,b为常数且bw 0)且d2y在x = a出存在，那么级数 a绝对收敛的充 n ndx2nn =1分必要条件是f (a) = f(a) = 0 .证明:此判别法的证明依赖于罗必塔法则和比较判别法原则因为由定理 的假设条件知在x = a处史y存在，所以在x = a的某个领域内是可导的(显然 dx2f1(x)在x=a处也连续)。又由假设条件知对所有的正

11、整数n，f(x)必须满足a = f (a + b).nn n=1n=1先证必要性：设任意级数 an是绝对收敛的，则由f (x)在x=a处连续知，n=1lim a = lim f (a + ) = lim f (n) = f (a)、八 n、八n、n fsn fsxfn,从而f (a) = 0。再假设f(a) = k丰0，由洛比达法则得，从而就证明了 f (a ) = f(a ) = 0是任意项级数 an绝对收敛，则必有f(a)丰0.n=1从而就证明 了 lim f (x)= lim f,(a) = k(丰 0)x f a X - a x f 0既有：limiOnJ =| k 1(。0)n fs

12、 1b 1n因为调和级数小(b。0)也是发散的，因此油比较判别法的极限形式知级数a绝对nnn =1n =1收敛，则必有f (a) = 0，从而就证明了 f (a) = f (a) = 0是任意级数 an绝对收敛的必要条n =1件。再证充分性：假设f (a) = f (a) = 0,令0 p 0,3N N+，Vn N, Vx D有： n =1S(x) Sn (x)=网(x)| 0,3N e N , Vn N, Vx e D 有：S (x)-S (x)从而supS(x) S , (x) 0,3Nnf xeD从而 Vx e D 有忖(x)-S (x)e N , Vn N, Vx e D 有 sup

13、|S (x)- S , (x，8 .xeD 8 .即函数项级数un (x)在区间D上一致收敛于S- (x).n=1S- (x)-S - (x)8 .于是有 S (x)-S (x) 0,3N e N , Vn N, Vp e N , Vx e I 有:u (x)+ u (x)+.+ u(x) 0,3N e N ,Vn N,V pe N V x=S(x)- S (x)+S(x)- S (x)S(x)-S (x)+ S(x)-S (x)0,3N e N ,Vn N,Vp e N ,Vxe I，有:u (x)+ u(x)+L + u(x) = |S(x)-S (x)所以当P f +8时上述不等式有:S

14、 (x)-S (x) =R (x)即函数项级数un(x)在区间I 一致收敛.n =1例7讨论函数项级数12Xn+1、n n+1,n=1、/解应用柯西一致收敛准则在区间Lu的一致收敛性.Vx -1,1即 |x|要使不等式Snp+pG)_ sn (斗( . 一、Xn+1Xn+2Xn+2Xn+3Xn+pxn+p-1I n + p n + p -1,Xn+1Xn+p+1- 0,8 + 8n +1 n + p +1 n +1一，.2 ,一一 2 一成立，从不等式三 2 -1取N = n +18V n N , Vp e N , Vx eL1,1，有S(x)-S X ) n +pn即函数级数上Xn+1在区间

15、-1, 1 一致收敛.所以函数级数上-,A Xn+1、n n+1,n=1、/定理2.13 M判别法在区间Lu一致收敛.有函数项级数un(X)，I是区间，若存在收敛的正项级数n=1 aJn=1,V n e N , V x e I，有(x) a，则函数级数u (x)在区间I 一致收敛.nn =1证明 正项级数二a 收敛根据柯n n=1n V VNe N，有 a a a +由已知条件，Vx I ,u 1 (X)+u 2(x)+ u(x) a + a + + a 即函数级数光 (x)在区间I 一致收敛.n =1例8判断函数项级数 一 在X匚r,上是否一致收敛.网(n -1)!n=1解- V X一r/,

16、有(n-1)! 0, 3N e N , Vn N , Vx e I有, 0, V n e N , Vx e I，有 |Bn (x) M，从而有|b 1(x) + b 2(x) +. + b (x)| = B 1 (x)-B (x) |b (x)| + |b (x) 2M根据阿贝尔变换，Vx e I有a ( x ) b ( x )+ a (x)b (x)+L an p(x)b (x ) 0, 3 N e N , V n N, Vp e N , V x e I，有an+1(x) b (x)+ a (x) b (x)+L + an+1(x) b (x)即函数级数a, (x)bn (x)在区间I 一致

17、收敛. n =1例9证明函数级数cos竺在区间5, 2兀-5(05兀)一致收敛. nn =1证 Vx e 5, 2兀一5, Vn e N+coskx =k=11 x- 2cos kx sin x22sin k=12， 2sin x k=1 2. (- 1 )，,一sin k + x + sin -k x1c . x2sin L2, .3. 1 、 , . 5.3、, . ，1、, 1、(sin - x - sin x) + (sin - x - sin ) + .(sin( n + ) x - sin( n) x222222sin x - sin n + xI2 JC . x 2sin 21.

18、 1sin x2 = Msin 52即函数级数cosnx的部分和函数列在5 , 2兀-5一致有界,而数列|；j单调减少趋近于 n =10。(当然在5 , 2兀-5也是一致收敛于0)根据狄利克雷判别法，函数级数. 在区间5, 2兀-5一致收敛. nn =1定理2.15比式判别法定理1设u (x)为定义在数集D上正的函数列，记q (x)=Urf 存在正整数q，M 使得: nq (x) q 1,u (x) N, x e D成立，则函数项级数u (x)在D上一致收敛.nn=1证明易见u (x) = 4M n u ( x)n-1u( x )u( x )n-1.f+1u(x) q (x) q (x) q

19、(x) u (x) qn-n+1Mu(x)u (x)Nn-1n-2N Nn-2而等比级数 qn Mqn-N当公比-1 q 1时收敛，从而由函数项级数一致收敛型的优级判n=N别法，u (x)在D上一致收敛. nn =1记 q (x) = % + 1、( x),若： n u (x)定理 设u (x)为定义在数集D上正的函数歹列，x： )q x( 0 0且u (x)在D上一致有界，则函数项级数u (x)在D上一nn =1致收敛.定理2.16根式判别法设 un (x)为定义在数集D上的函数列，若存在在整数n使得n n =1u (x)| q ( 0 q N, x e D成立，则函数项级数un(x)在D上一致收敛.n =1证明由定理条件，u (x) qn 对 Vn(= N,x e D成立，而几何级数 qn收敛，由优级数判别法知，函数项级数寸u (x)在D上一致收敛. nn=1例10证明函数项级数立xn在区间-1 + 5,1-3(其中0 3 0 要使不等式 |S (x) - S (x) = R x )=曰