(江苏专版)高三数学备考冲刺140分问题06三角形中的不等问题与最值问题(含解析)-人教版高三

1、,，再化简得=则，word问题 6 三角形中的不等问题与最值问题一、考情分析根据条件确定三角形中角、边、周长或面积的取值 X 围是解三角形中较难的一类问题 , 常作为客观题中的压轴题或解答题中的第二问 .二、经验分享(1) 求角的 X 围或三角函数值的 X 围要注意三角形内角和为 这一限制条件(2) 求边的 X 围可利用正弦定理把边转化为三角函数 , 利用三角函数的有界性求余弦定理求边的 X 围 , 同时要注意两边之和大于第三边 .(3) 求周长或面积的 X 围与最值可转化为边与角的 X 围 , 也可利用基本不等式求三、知识拓展(1) 若 ABC是锐角三角形 , 则 ,(2) 若 ABC中 ,

2、 若 A是锐角 , 则 a2 b2 c2 ；若 A 是钝角 , 则 a2 b2 c2(3) ABC 中 , 若 A, ,(4) 若 a , b, c 成等差数列 , 则 B .3四、题型分析( 一 ) 角或角的三角函数的 X 围或最值【例 1】【某某省某某市、 某某市 2019 届高三第二次模拟】 在 中， 若的最大值为 _.【答案】【分析】先由题得再利用三角函数的图像和性质求出最大值 .【解析】在 ABC中，有所以 =X 围或根据角的 X 围利用X 围、,3.， 则=1 / 272abBEword= , 当 即 时取等 .故答案为：【点评】求三角函数式的 X 围一般是先确定角的 X 围 ,

3、利用利用三角函数的单调性及有界性求 X 围与最值 ,有时也利用基本不等式求最值 .【小试牛刀】c，若【答案】【2018 某某省某某市多校第一次段考】在， ab 4 ，则2 42ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b，的最小值是 _【解析】 ， ab 4， ,C 0, ,当且仅当 时成立 .( 二) 边的 X 围或最值【例 2】在 ABC 中 , 若 , 点 E , F 分别是 AC , AB 的中点 , 则 的取值 X 围为CF【分析】先得出 , 设 t , 转化为函数求值域 .【解析】设 分别是 AC , AB 的中点 ,2 / 2714 a , 3a b4 81 7word

4、, 所以由正弦定理得,1 , 设 b t 结合 c 2 b , 由 a cb ccb , 可得 .a, 故答案为 ( , ) .【点评】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求 X 围问题 , 属于难题 . 求 X 围问题的常见方法有 配方法；换元法；不等式法；图象法；函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后先确定函数的定义域 , 然后准确地找出其单调区间 , 最后再根据其单调性求凼数的值域； 本题就是先将, 首BE表示为关于 t 的函数 , 再根据方法解答的 .【小试牛刀】 【某某省如皋中学 2018-2019 学年高三第一学期期中】某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉， 观景

5、喷泉的示意图如图所示， 两点为喷泉， 圆心 为 的中点， 其中 米， 半径米，市民可位于水池边缘任意一点 处观赏（ 1）若当 时， ，求此时 的值；（2）设 ，且 （ i ）试将 表示为 的函数，并求出 的取值 X 围；（ii ）若同时要求市民在水池边缘任意一点 处观赏喷泉时，观赏角度 的最大值不小于 ，试求处喷泉间距离的最小值CF两3 / 27在即又word【解析】 （1）在 中，由正弦定理得 ，所以 ，即（2）（i ）在 中，由余弦定理得 ，中，由余弦定理得 ，又所以 ，即，解得 ，所以所求关系式为 ， （ ii ）当观赏角度 的最大时， 取得最小值在 中，由余弦定理可得，因为 的最大值不

6、小于 ，所以 ，解得 ，经验证知 ，所以 两处喷泉间距离的最小值为 ( 三 ) 周长的 X 围或最值【例 3】在锐角 ABC 中 , c 2 , .（ 1）若 ABC 的面积等于 3 , 求 a、 b；4 / 272b2,aword（2）求 ABC 的周长的取值 X 围 .【分析】 （1）利用已知条件通过正弦定理集合三角形的面积 , 余弦定理转化求解即可；（2）利用正弦定理表示三角形的周长 , 利用三角函数的有界性求解即可【解析】又 sinA又由所以由（ 1）由0 ,（2）由正弦定理得及正弦定理得：. 又 C 为锐角 , 故 C, ab 4得解得 .,3 , 记 ABC 周长为 l , 则,2

7、又 A B3,ABC 为锐角三角形 ,.【点评】周长问题也可看做是边长问题的延伸 , 所以在解决周长相关问题时 , 着眼于边长之间的关系 , 结合边长求最值 (X 围) 的解决方式 , 通常都能找到正确的解题途径 .【小试牛刀】 C 中 , 角 、 、 C 所对的边为 a、 b、 c , 且 （ 1）求角 ；5 / 273word（2）若 a 2 , 求 C 的周长的最大值【答案】 （1） A 60 ； （2） 6【解析】 （1）,解得 A 60 （2） ,周长 ,当 C 时 , ABC的周长的最大值为 6( 四) 面积的 X 围与最值【例 4】如图 , 在等腰直角三角形 OPQ中 , POQ

8、90, OP2 2 , 点 M在线段 PQ上(1) 若 OM 5 , 求 PM的长；(2) 若点 N在线段 MQ上 , 且 MON30 , 问：当 POM取何值时 , OMN的面积最小？并求出面积的最小值【分析】 第(1) 题利用余弦定理求 MP的长 , 难度不大； 第(2) 题求 OMN的面积最小值 , 前面的要求也很明确：以 POM为自变量 , 因此 , 本题的中点就是如何将 OMN的面积表示为 POM的函数关系式 , 进而利用函数最值求解 . 其中 , 利用正弦定理将 OM和 ON的长表示为 POM的函数是关键 .【解析】 (1) 在由余弦定理得 ,得(2) 设OMP 中 , , OM

9、5 , OP 2 2 , 解得 MP 1或 MP 3, ,6 / 27word在 OMP中 , 由正弦定理 , 得 ,所以 , 同理故因为 , ,所以当 30 时 , 的最大值为 1, 此时 OMN 的面积取到最小值即 时 , OMN的面积的最小值为 8 4 3【点评】面积问题是边长与角问题的综合 , 解题中既要考虑边的变化 , 也要考虑相关角的变化 , 通常是利用面积公式 , 将其转化为同一类元素 , 然后利用三角函数 X 围或者实数的不等关系求解 .【小试牛刀】 【某某省某某一中、泰兴中学、南菁高中 2019 届高三 10 月月考】如图所示，某市政府决定在以政府大楼 O为中心，正北方向和正

10、东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆 为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼 设扇形的半径 ， ， OB与 OM之间的夹角为 7 / 27word 将图书馆底面矩形 ABCD的面积 S 表示成 的函数 若 ，求当 为何值时，矩形 ABCD的面积 S 有最大值？其最大值是多少？【解析】 由题意可知，点 M为 的中点，所以 设 OM于 BC的交点为 F，则 ， 所以， 精确到 因为 ，则 所以当 ，即 时， S 有最大值故当 时，矩形 ABCD的面积 S有最大值 ( 五) 与其它知识点的综合问题【例 5】 【某

11、某省某某中学 2018 届高三上学期期末】已知则 BA BC 的取值 X 围是_【答案】【 解 析 】 因 为 BC , CA , AB 成 等 比 数 列， 所 以ABC的周长为 6，且 BC , CA, AB 成等比数列， 从 而 0 b 2 ， 所 以， 又， 即 ， 解 得 ， 故8 / 27AC , BC._word.【点评】三角函数值也是一个实数 , 所以 , 它也可以与其他实数进行代数运算 , 也可以与其它知识点进行交汇 ,如向量、数列、不等式等等 , 解题中要综合这些知识和相关方法 , 灵活处理 , 才能既快又准的解决问题 .【小试牛刀】如图 , 已知平面上直线 l 1 / /

12、l 2 , A , B 分别是 l1 , l 2上的动点 , C 是 l1 , l 2 之间的一定点 , C到 l1 的距离 CM 1, C 到 l2 的距离 CN 3 , ABC三内角 A、 B、 C 所对边分别为 a , b , c ,a b , 且 .（）判断 ABC的形状；（）记 ACM , , 求 f ( ) 的最大值 .【答案】 （） ABC是直角三角形； （）【解析】 （I ）由正弦定理得：又 a b , 所以 A B , 且 , 所以所以 ABC 是直角三角形；（ II ） ACM , 由（ I ）得1 3cos sin ,所以 时 , f ( ) 的最大值为62 3.3五、迁

13、移运用f ( ) 的最大值为 2 33, 集合 , 得 , C ,2, 则,1 【某某省如皋市b， c，已知2018-2019 学年高三年级第一学期期末】 在锐角 ABC中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a，则 的最小值是 9 / 27当的最小值是 6word【答案】 6【解析】根据题意，已知由正弦定理：即整理可得：即设因为为锐角三角形，所以此时所以 =令，由余弦定理得，化简得（正弦平方差）即， f(x) 递增；当 ， f(x) 递减；所以故故答案为 62 【某某省某某市 2019 届高三上学期期末】在锐角三角形 ABC 中，已知的最小值为 _【答案】【解析】由正弦定理，得： ，如图，

14、作 BDAC于 D，设 ADx， CDy， BDh，因为 ，所以， ，化简，得：，解得： x 3y10 / 272sin 2 A+ sin 2B = 2sin 2C，则word， ， ， ，当且仅当 时取得最小值 .故答案为： .3 【某某省某某市 13 校 2019 届高三 12 月联合调研】已知 的三边长 ， ， 成等差数列，且，则实数 的取值 X 围是 _.【答案】 .【解析】【解析】设公差为 d，则有 a b d， c b+d，代入 a2+b2+c263，化简可得 3b2+2d263，当 d 0 时， b 有最大值为 ，由三角形任意两边之和大于第三边，得到较小的两边之和大于最大边，即

15、a+bc，整理得： b 2d，可得： 3b2+2（ ） 2 63，解得： b 3 ，则实数 b 的取值 X 围是（ 3 ， 故答案为： （3 ， 4【某某省清江中学 2019 届高三第二次教学质量调研】 在 中， 设角 的对边分别是 若 成等差数列，则 的最小值为 _.【答案】11 / 27word【解析】由题得 ,所以 ,所以因为所以故答案为：5 【某某省某某市tanB) 2019 届高三上学期期中】在 ABC中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 4(tanA，则 cosC 的最小值为 _【答案】【解析】 4 （tanA+tanB ） =则 4 （sinAcosB+co

16、sAsinB ） =sinA+sinB ，即 4sin （A+B） =sinA+sinB ，又A+B= C，4sinC=sinA+sinB ，由正弦定理得， 4c=a+b由余弦定理得 cosC= ,4c=a+b，12 / 27AB的中点，若，wordcosC=cosC 的最小值为故答案为： 6 【某某省如皋市【答案】 【解析】根据 D为化简整理得根据正弦定理可得所以求导可得当，故答案为 .7 【某某省某某中学大值为 _.【答案】【解析】已知等式即即可得即，2018-2019 学年高三数学第一学期教学质量调研】在 ABC中， D 为 AB的中点，若，则 的最小值是 _，得到 ，即，进一步求得 ，

17、时，式子取得最大值，代入求得其结果为2019 届高三 10 月月考】 在 中， 若 则 的最，13 / 27A B C319word即 所以 ，sinA故答案为：8 【某某省某某市的中点 , 若【答案】 2 1【 解 析 】以2017-2018 学年高三上学期期中】 设 ABC 的内角 , , 的对边分别是 a, b, c , D为 AB且 CD 2 , 则 ABC 面积的最大值是 _因 为 , 所, 即 sinA cosA , 即 A以, 又因为 4, 即D 为 AB 的中点 , 且 CD 2 , 所,即 , 即 , 则 , 则 ABC 面积的最大值是9 【 百 校 联 盟 2018 届【答

18、案】8【解析】由条件及正弦定理得在 ABC中，由余弦定理得 cosB ，当且仅当 aTOP20 一 月 联 考 】 ABC 中 ， 角 A, B , C 的 对 边 分 别 为 a, b, c ， 若， b 2 ，则 ABC 外接圆面积的最小值为 _，整理得 ac 3c 3 时等号成立 sinB14 / 27，2 239_。 立word设 ABC外接圆的半径为 r ，则 ，故 r 故 ABC 外接圆面积的最小值为 答案：810 【某某市、某某市 2018 届高三年级第一次模拟】若不等式ABC 都成立，则实数 k 的最小值为 _【答案】 100【解析】由正弦定理得3 2498对任意因此 k 10

19、0 ，即11 【某某省某某市【答案】 3【解析】k的最小值为 1002018 届高三上学期期中考试】在 ABC 中， a , b, c 分别为内角 A, B , C 的对边，则 ABC 面积的最大值为 ， ,由余弦定理得 ， 2b a c ，即 a c 2b 。又 a c 4， b 2.由余弦定理的推论得 ， ABC面积的最大值为 3 。， 当且仅当 a c 时等号成15 / 27将 又t3 21，word12 【某某省某某中学 2018 届高三 10 月月考】锐角三角形，且满足 b2 a2 ac，则7 3【答案】 2,6【解析】由正弦定理得：和差化积得：在 ABC中， 角 A, B , C

20、所对的边分别为 a, b, c， 若 ABC为的取值 X 围是_, 由降幂公式得 ，再结合在 三 角 形 中 得 B 2A , 所 以 C B ，函数 y t 在 0,1 递减，所以13 【某某省某某市基地学校 2019， ，且（ 1）若 ，求角 的值；（2）求角 的最大值【解析】 （1）因为 ，所以 ，即由正弦定理 ，得所以整理，得代入上式得，所以（2）方法一：由式，因为3A , 由 三 角 形 为 锐 角 三 角 形 得： , 而，令，7 3，故填 2, .6届高三 3 月联考】在 中，角 所对的边分别为 向量，且，所以16 / 27word式两边同时除以 ，得又当且仅当 ，即 时取等号又

21、 ，所以 的最大值为方法二：由（ 1）知，由余弦定理代入上式并化简得所以又当且仅当 ，即 时取等号又 ，所以 的最大值为14 【某某省某某、某某、某某、苏北四市七市 2019 届高三第一次（ 2 月)模拟】如图 1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形 ， 的长分别为 和 ，上部是圆心为 的劣弧 ， （ 1）求图 1 中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以 B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形 所在的平面始终与地面垂直，如图 2、图 3、图17 / 27word4 所示设 与地面水平线 所成的角为 记拱门上的点到地面的最大距离为出 的最大值【解析】 （1）如图，过 作与地面垂直的直线交 于点

22、，交劣弧长即为拱门最高点到地面的距离在中，所以 ，圆的半径 所以 答：拱门最高点到地面的距离为 ，试用 的函数表示 ，并求于点 ， 的（2）在拱门放倒过程中，过点 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点 当点 在劣弧当点 在线段上时，拱门上的点到地面的最大距离上时，拱门上的点到地面的最大距离由（ 1）知，在 中，以 为坐标原点，直线 为 轴，建立如图所示的坐标系等于圆 的半径长与圆心 到地面距离之和；等于点 到地面的距离当点 在劣弧 上时， 由， ，由三角函数定义，18 / 27word得，则所以当 即 时，取得最大值 当点 在线段 上时， 设 ，在 中，由 ，得 所以 又当 时， 所以

23、 在 上递增所以当 时， 取得最大值因为 ，所以 的最大值为 综上，艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（ ） 15 【某某省某某市 2019 届高三上学期期末】某公园要设计如图所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得， 如图二中所示多边形 ）， 整体设计方案要求 : 内部井字形的两根水平横轴 米，两根竖轴 米，记景观窗格的外框（如图二实线部分，19 / 27word轴和边框的粗细忽略不计）总长度为 米 .（ 1）若 ，且两根横轴之间的距离为 米，求景观窗格的外框总长度；（2）由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过 米，当景观窗格的面积

24、（多边形 的面积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中 的大小与 的长度 .【解析】 （1） 米， ，则 米， 米，故总长度 米；答：景观窗格的外框总长度为 米；（2）设 ，景观窗格的面积为 ，则，当且仅当 即 时取等，20 / 27，word由 知：答：当景观窗格的面积最大时， 的长度为 米 .16 【某某省某某市三县（通州区、海门市、启东市 )2019 届高三第一学期期末联考】如图，某公园内有一块矩形绿地区域 ABCD， 已知 AB=100米， BC=80米，以 AD， BC为直径的两个半圆内种植花草，其它区域种值苗木 . 现决定在绿地区域内修建由直路 BN， MN和弧形路 MD三部分组成的

25、观赏道路，其中直路 MN与绿地区域边界 AB平行，直路为水泥路面，其工程造价为每米 2a 元，弧形路为鹅卵石路面，其工程造价为每米3a 元，修建的总造价为 W元 . 设 .（ 1）求 W关于 的函数关系式；（2）如何修建道路，可使修建的总造价最少？并求最少总造价 .【解析】 （1）连 NC， AM，设 AD的中点为 O，连接 MO， 过 N 作 ，垂足为 E.由 BC为直径知， ，又 米， ，所以 米， ，因为 MNAB， 米，所以 米，由于 米，所以 米，因为直路的工程造价为每米 2a 元，弧形路的工程造价为每米 3a 元，所以总造价为21 / 27.取得最小值，元word,，.所以 W关于

26、 的函数关系式为.（2）记 ，则，令 ，得 ，列表如下：0 +极小值所以，当 时，此时，总造价 W最少，最少总造价为答： （1） W关于 的函数关系式为；（2）当 时，修建的总造价最少，最少总造价为17 【某某省某某市 2018 届高三年级上学期期末质检数学（理）别为 A, D ，圆 O上的点 C 在第一象限 .22 / 27元.】如图，单位圆 O与 x , y轴正半轴的交点分2 2word3 1（ 1）若点 C 的坐标为 , ，延长 CD 至点 B ，使得 DB 2 ，求 OB 的长； 2 2（2）圆 O上的点 E 在第二象限，若 ，求四边形 OCDE 面积的最大值 .3 1【解析】 （1）

27、由点 C , 在单位圆上，可知 ，由图像可得 ；在 CDB 中， OD 1， ， DB 2；由余弦定理得 ；解得 OB 7 ；（2）设 ，四边形 OCDE 的面积23 / 27当 ，即6 23.2word，时，四边形 OCDE 的面积 S 的最大值为 318. 【某某省某某市普通高中 2018 届高三上学期期中】 在一块杂草地上有一条小路一个三角形（如图）区域，在三角形 ABC内种植花卉 . 已知 AB 长为 1 千米，设角的 a a 1 倍，三角形 ABC的面积为 S （千米 2） .试用 和 a表示 S；（2）若恰好当 60 时， S 取得最大值，求 a 的值 .AB,现在小路的一边围出C , AC边长为 BC边长【解析】 (1) 设边 BC x ，则 AC ax ，在三角形 ABC 中，由余弦定理得：，所以 ，所以 ，（2）因为 ，令 S 0 ，得24 / 2721 a2 20当word且当 0 时， ， S 0，0 时， ， S 0，所以当 0 时，面积 S 最大，此时 0 60 ，所以 2a 1，解得 a 2 3 ，因为 a 1 ，则 a 2 3 .19 【某某省仪征中学 2018 届高三 10 月学情检测】如图，一块弓形余布料 E