《水力学》(课件)讲稿3

1、第三章 流体运动及分类 本章将研究流体运动的基本规律。描述流体运动的方法 拉格朗日法 欧拉法流体运动的若干基本概念 恒定流和非恒定流、流线和迹线、流管和流量、总流等流体微团运动的分析 微团运动的基本形式、有旋流动和无旋流动 第一节 描述流体运动的方法流体可看作是由无限多个质点组成的连续介质，而流体的流动就是流体质点随时间和空间的运动过程。这样在研究流体运动时就存在一个如何描述其运动规律的问题。有两类描述流体运动的方法 拉格朗日法 欧拉法 一、拉格朗日法拉格朗日法是以流体质点为研究对象，通过观察每一个流体质点的运动规律，来得到整个流体运动的规律。这种方法类似于理论力学中研究质点系运动的方法，也称

2、质点系法。数学表述了解流体质点的运动规律，就是要了解流体质点在不同时间的运动轨迹和运动要素的变化规律。为描述某一质点的运动，就必须给每一质点加以标识。也就是给质点取个名字 一般以质点在初始时刻所处位置的空间坐标 作为流体质点的标识(标记)。不同的流体质点有不同的 值。对于一流体质点在 时刻所处某位置的空间坐标为式中 和 统称为拉格朗日变数或拉格朗日变量 此式给出了流体质点的运动规律，也称流体质点的运动方程。当固定 时，此式则表示某指定质点的运动轨迹； 固定 时，该式则表示 时刻各流体质点所处的位置。 关于速度、加速度根据拉格朗日变数的定义，任一流体质点在任意时刻的速度 ，可取对时间的导数同理，

3、对于任一流体质点的加速度 ，有式中 为速度、加速度在 坐标方向的分量 全导数变为偏导数是因为质点标记（a, b, c）与时间无关 拉格朗日法以流体质点为中心，描述流体的运动，其物理概念明确。但由于每一个流体质点的运动轨迹是复杂的，要全面跟踪众多的流体质点来描述整个流体的运动状态，在数学上是困难的。在流体力学的数学表述中，除个别运动状态(如波浪运动)外，一般不采用拉格朗日法，而是采用欧拉法来描述流体的运动。但拉格朗日法作为描述流体运动的方法，将体现在流体力学方程的叙述和推导中。 二、欧拉法欧拉法是以观察不同的流体质点经过各固定的空间点时的运动状况，来了解流体在整个空间的运动规律。欧拉法关注的是流

4、场中流体质点的运动状况和有关运动要素的分布状况。也叫空间点法、流场法。流场：流体的运动是在一定的空间中进行的，这个被流体质点所占据的空间叫流场。欧拉法观测分析流场，首先观测的是某具体空间点 (x,y,z)上的流速、压强等运动要素，这些运动要素随时间、空间连续变化。 如流速以及压强、密度、温度等可表述为 式中 和 统称为欧拉变数，或欧拉变量 ，也就是数学中的自变量在上式中: 如令 不变， 变化，则为流体质点在不同的时刻经过某一固定空间点所表现的流速、压强等运动要素变化情况； 如令 不变， 变化，则为同一时刻流体质点通过不同空间点时流速、压强等运动要素分布情况，也就是此时刻的流速场、压强场等。 关

5、于速度、压强等物理量对时间的导数以加速度为例对于流场中某空间点的流体质点加速度 ，按照定义加速度 应是流体质点沿其运动轨迹在 时间内流速产 生的增量 ，即 。按欧拉法，对于某空间点A，在 时刻时恰好有一流体质点运动到此空间点，又在 时段内离开此空间点A沿其轨迹运动着，同时另有其他流体质点沿运动轨迹运动到空间点A。上述分析有两点启示： 时段内空间点A处的流速随时间 在变化； 经过A点运动着的质点本身所处的坐标是随着时间 在变化的。 或者，流速 在随时间t 变化时，坐标 并不是常数，是时间t 的函数，即流速 是一个复合函数。可按复合函数的求导法则求加速度 ，即式中 ， ， 为流体质点在 时段内沿其

6、运动轨迹的微小位移在Ox、Oy、Oz坐标轴上的投影，有故得由欧拉法表述的加速度表达式为 沿Ox、Oy、Oz坐标轴的分量为加速度由两部分组成 及其对应投影项，反映同一空间点上流体质点速度随时间变化率的当地加速度(或称时变加速度) 及其对应投影项，为同一时刻由于相邻空间点上流速差所引起的迁移加速度(或称位变加速度)同理对于如压强、温度、密度等对时间的变化率为 综合上述表达式，可见均为流速 、压强 等运动要素对时间 的全导数，其中 或 ( )可见 类似于数学中的算子。在流体力学中，一般将某运动要素受算子 作用的导数式称为此运动要素的随体导数、质点导数。 其中称为哈密顿算子，它是一个对场求梯度的运算

7、第二节 流体运动的若干基本概念 人们对流体力学的研究同人类对客观世界的认识规律一样，由简到繁，由易到难，是随着生产力的发展而向前发展的。 纵观流体力学的发展历史和目前流体力学的研究现状，可以看到研究具体流体力学问题的过程，就是在分析各种复杂因素的基础上，在保证精度的范围内忽略次要因素，抓住主要因素，使问题简化求解的过程。不同的流体力学问题，有着不同的分类，也对应着不同的研究方法。 一般来说，可分成如下几种类型：1)根据流体的性质。按照粘滞性可分为理想流体流动和粘性流体流动，按照压缩性可分为可压缩流体流动和不可压缩流体流动等；2)根据运动状态。可分为恒定流动和非恒定流动，均匀流流动和非均匀流流动

8、；层流流动和紊流流动，有旋流动和无旋流动，亚音速流动和超音速流动等；3)根据坐标数量，可分为一维流动、二维流动和三维流动，还有元流流动和总流流动等。下面将叙述一些流动类型和一些有关的基本概念 一、恒定流动和非恒定流动 用欧拉法描述流体运动时，对于流场中通过每一空间点的各流体质点的运动要素，在不同的时间都保持不变，也就是与时间无关，这样的流动称为恒定流或定常流。与时间有关的流动为非恒定流或非定常流。恒定流的数学表达式为： 非恒定流的数学表达式为： 式中 表示任一运动要素，如 、 、 、 等 在恒定流情况下，运动要素 仅仅是空间位置坐标的函数，与时间 无关。这时与本地加速度有关的项为零 。 举例二

9、、迹线、流线和流函数1. 定义1) 迹线迹线就是流体质点在空间运动时留下的轨迹所连成的曲线。 它是同一流体质点在不同时间的位置形成的曲线 2) 流线流线是指在某一瞬时空间的一条曲线，在此曲线上任一点的流速方向和该点的曲线切线方向重合。 或者说流线是同一时刻由不同流体质点所组成的空间曲线，这个曲线给出了该时刻不同流体质点的运动方向。2. 流线的基本特性 1) 在恒定流中，流线的形状和位置不随时间而改变。 流体质点的迹线和流线相重合。在非恒定流中 2) 对同一时刻，流线不可能相交，也不可能分叉或转折，流线是光滑的曲线。 3. 迹线与流线的区别 举例： 流星 烟拉格朗日法的中心是流体质点，可见迹线是

10、与拉格朗日法相连的欧拉法的中心是空间点，可见流线是与欧拉法相连的迹线是指连续的时间段，一般指单个质点的轨迹；流线是指某 一瞬时或同一时刻，指多个速度矢量相切的、不同的质点。4. 迹线与流线方程根据推导欧拉法加速度时，给出的流体质点在 时段内沿其运动轨迹的微小位移与速度的关系式，可得迹线微分方程或注意，坐标 是时间 的函数，对上式积分时，是以时间 为自变量，以坐标 为参量进行的。积分后在所得的表达式中消去时间 后即得迹线方程 (3-2)由流线定义，流线上的微元 与流速有此为流线微分方程，其中t是参数而不是自变量，求解时可作为常数。 方程（3-17）实际为两个独立的微分方程，可以求出两个解： f1

11、(x, y, z, t) = 0 f2(x, y, z, t) = 0这是两个曲面，它们的交线即为流线。 (3-17) 5.平面流动的流函数 平面流动只有两个流速分量（uz = 0），且均与z无关，即 ux = ux (x, y, t )， uy = uy (x, y, t ) （3-18） 为了求出比较复杂的平面流动的流线，可以引入流函数的概念。由流线微分方程式(3-17) 对于表达式 ，如果存在充分必要条件则函数表达式 可写成函数 的全微分 或 其中这个函数称为流函数对上式积分为平面流动的流线方程、流线的曲线方程 ；或者说，流函数值相同的曲线是一条流线。 流函数存在的充分必要条件正是不可压

12、缩流体平面流动所应满足的连续性微分方程(见第四章) 流函数的应用（见例3-2，还见第四章）三、流管、元流、总流 1流管在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，在同一瞬时，过此封闭曲线上的每一点作流线，由这些流线所构成的管状封闭曲面称为流管。如所取的封闭曲线为微小的封闭曲线，这时所构成的流管为微元流管。注意：由流线构成的管壁是虚构的；但在流动中好像是真正的管壁； 流体质点只能在流管内部流动；流体质点不能穿越管壁流进流出流管。 2元流充满流管内的流动流体称为元流或微小流束。当元流直径趋于零时，元流则达到其极限流线。在一般的情况下，元流和流线的概念是相通的。恒定流时元流的形状和位置是不随时间而变化的由于

13、元流的横断面面积很小，可以认为横断面上各点的流速、压强均相等。 3总流总流就是实际流体在具有一定尺寸的有限规模边界内的流动。（过流面积有限大）总流也可看作是无数元流的总和。如自然界的管道流动和河渠流动都可看作为总流流动问题。将流动问题看作元流和总流，就是按照一维流动分析法的思路解决实际流动问题。 四、过水断面、流量、断面平均流速1过水断面与元流或总流中的流线相垂直的横断面称为过水断面。或者说过水断面上各点的流速方向与此断面的法线方向相同。注意，过水断面不一定为平面。元流或总流的横断面也称截面，过水断面也称有效截面。 2211图3-7 过水断面示意图2流量单位时间内通过过水断面的流体体积称为体积

14、流量Q，一般简称为流量，其单位为m3/s。元流，设过水断面面积 ，断面上各点的流速u在同一时刻是相同的，元流流量 为总流流量 则可通过将经过总流过水断面的所有元流流量相加求得，即通过流场中某横断面或某表面的流体的流量，如果横断面或表面的法线方向与流速方向不相同，这时流量为 如单位时间内通过过水断面的流体数量为质量或重量，则称为质量流量(kg/s)和重量流量(N/s)，动量流量(kgm/s2)。有 质量流量 重量流量 动量流量实际应用中，仍可用 表示质量流量 和重量流量 从上述流量定义可归纳：单位时间通过流管横断面的流体所具有的某物理量的大小称为物理量的流量，用符号 表示。令 为单位体积流体内具

15、有的物理量的大小 实际应用中，仍可用 表示质量流量 和重量流量 3平均流速 关于平均流速：认为总流过水断面上各点的流速大小都是相同的，并且都等于平均流速 。若已知断面平均流速，则 Q = vA若忽略断面上的密度变化，则质量流量为 Qm = Q = vA 五、一维流动、二维流动和三维流动 根据欧拉法，描述流体流动的流速、压强等运动要素都是空间坐标 的函数。如果描述某种流动的运动要素只是一个坐标的函数，则称为一维流动；只是二个坐标的函数，则为二维流动；只是三个坐标的函数，则为三维流动。一般来说，所有的流体流动过程，都是三维流动。然而在实际工程中，常根据问题的需要，可化简为二维流动或一维流动。将流动

16、作为一维流动来分析的方法，可称为一维流动分析法。如前面已讲授的元流和总流 就属于这种分析法。 举例六、总流的分类1均匀流流线均为相互平行直线的流动则为均匀流。 均匀流有下列特性：1)均匀流的过水断面为平面，并且过水断面的形状和尺寸沿流程不变；2)均匀流中同一流线上各点的流速相等，各过水断面上的流速分布相同、平均流速相同；3)均匀流过水断面上的动水压强分布规律与水静力学中的静水压强分布规律相同，也就是在均匀流过水断面上同样存在各点的测压管水头等于一常数的特性，即证明在均匀流过水断面上任意两相邻流线间取一微小圆柱体。设圆柱体高 ，底面积 ，柱体 n 轴线与流线正交，并与坐标轴 成夹角 。由于均匀流

17、流线为相互平行的直线，则圆柱体在 n 轴向无惯性力存在。只是在圆柱体两端有受流体动水压强作用而产生的总压力，以及重力。这些力应满足 n 轴向力的平衡方程从图可见 代入并化简得 积分得 2非均匀流流体流动的流线如果不是相互平行的直线，则称为非均匀流如流线平行但不是直线、或流线是直线但不平行的流动 非均匀流过水断面上流体动压强分布不满足流体静压强规律 根据非均匀流中流线平行和弯曲的急剧程度，又可分为渐变流和急变流。如果某流动的流线曲率很小可近似为直线，或流线间的夹角很小，这种流动称为渐变流，也称为缓变流。如果某流动的流线曲率很大完全不为直线，或流线间的夹角很大，这种流动称为急变流。3. 管流和明槽

18、流总流还分管流和明槽流两种情况。管流为没有自由液面的流动，也称有压流。如自来水管道流动。第七章明槽流为有自由液面的流动，也称无压流。如河渠中的流动。第八章七、湿周、水力半径 (P104)总流的过水断面上，流体与固体边界接触部分的周长称为湿周，以 表示，如图所示 。总流的过水断面面积 与湿周 之比称为水力半径，以 表示即 具有长度量纲的量但须注意水力半径与一般的圆断面的半径是完全不同的概念，不能混淆。例如以半径为、直径为并充满流动流体的圆管，其水力半径为 第三节 流体微团运动的基本形式 由一维总流分析法可以求得渐变流断面上的平均流速、压强以及作用在固壁上的作用力等，可以满足一般工程需要。如需要求

19、得流场中的水力要素分布，需要用流场分析法。流场分析法的特点是用一系列用物理及理论力学定律推得的微分方程组成微分方程组，通过分析和求解这些微分方程组解决水力学问题。因此学习和掌握流场分析法是水力学中的重要一环。本节将介绍有关流场分析法的概念和术语。一、流体微团运动的基本形式流体的流动非常复杂，要讨论流体的流动，首先要分析和研究流体微团的运动过程。在理论力学中，刚体的一般运动可以分解为平动和转动两部分。流体具有易流动性、极易变形的特点，使得流体微团在运动过程中不但与刚体一样可能有平动和转动，而且还可能发生变形运动。在一般情况下流体微团的运动可以分解为平动，转动和变形运动三部分，其中变形运动还可进一

20、步分为线变形运动和角变形运动。为讨论流体微团运动中可分解成几种运动的数学表达式，首先讨论流场中某一点邻域内速度的变化。如图，在某瞬时 ，已知点 的流速为 ，对 点邻域内的流速场进行讨论。对流体点 的邻域内任意一点 ，其坐标为 ，流速为 。点 处流速 与点 处的流速 的关系可用泰勒级数表示，在略去高阶无穷小项后，得 、 现设在某瞬时 流场中有一边长为 、 、 的平行六面体的流体微团，已知其形心M0处的流速为 ，这时八个顶点的流速分量可用前述的展开式求得。如 从上式可见此微团上各点速度不同。在经过微小时段之后，该微团将运动到新位置其形状和大小都将发生变化即该正交的平行六面体流体微团将变成任意斜六面

21、体微团，如图所示 ，可见，正交的平行六面体流体微团变成任意斜六面体微团，其中包含着平移运动、线变形运动、角变形运动和转动等四部分。现以下图所示的二维流体微团即流体平面为例，描述和分析这几种运动，然后再将表达式推演到三维立体中。 1）平移运动 形心点M0的流速分量 、 是流体微团中各点流速分量的组成部分，即整个微团每个点的流速中都含有 、 项。如对A、B 、C、D等各点，只考虑这些点流速分量中的 、 两项，则在经过时间 后，矩形平面体 ABCD向右移动 距离， 向上移动 距离，平移 到新的位置，矩形平面体 形状不变。 2）线变形运动 从图中可知，点D和点C在 轴方向上的流速分量分别 比点A和点B

22、快(或慢) (如 为正或为负)，故边 长AD和BC在 时间内沿 方向都将相应地伸长(或缩 短) ，即流体微团在 轴方向产生了线变形，或 者说存在线变形运动。 线变形的大小可用线变形速率即单位时间单位长度的伸长(或缩短)量来计量。 如Ox轴向即得 轴方向的线变形速率为同理，可得 轴方向的 线变形速率为总的来说运动过程中平行六面体三条正交的棱边 的伸长或缩短，以及与之相应的平行六面体流体微团的体积膨胀和压缩，就是流体微团线变形运动的反映。注意到不可压缩流体连续性方程(4-17) 可以写成(3-33) 整个流体微团经过 时段后，其体积的改变量为这表明对于不可压缩流体，三个方向的线变形速率之和(也就是

23、体积改变量)为零。 3）角变形运动和旋转运动首先考虑边线偏转，如图所示，若只考虑AD边和BC边 可见，点A在 轴向的流速为 ， 点D在 轴向的流速为 。由于A点和D点在 轴向的流速不同，在 时段后，A点移至A点，D点移至D点，从图可见，D点较A点在 方向上多移动的距离 ，即边线 发生了边线偏转，其转角量 为 同理对于AB边和DC边，由于A点和B点在 轴向的流速不同，在 时段后，B点较A点在 方向上多移动的距离 ，即 发生了边线偏转，其转角量 为如果两条边线的转角量与数值相等而方向相同，则原矩形形状保持不变，整个矩形将发生转动。如果两条边线的转角量与数值相等而方向相反，则原矩形变为菱形，但原对角线方位不变，即只有单纯的角变形而无转动。 如果两条边线的转角量 与 数值不等，则微团除了有角变形外还有转动，微团将由矩形变为任意四边形。如图所示，矩形 变为任意四边形 的过程，可以分成以下两步完成。首先，矩形 旋转到 的位置，旋转角量为 然后再发生角变形，由矩形