人口增长logistic模型的拟合

1、人口增长logistic模型的拟合李月 200911131952谭结 200911131959刘延卿 200911131915问题摘要关于人口模型的研究，我们已经有很多方法。这个题目要求我们用LOGISTIC模型来拟合 美国人口数据。了解到LOGISTIC模型的性质和原理之后，我们根据老师给出的数据： 17901800 1810 1820 1830 1840 1850 TOC o 1-5 h z 5.37.29.612.917.123.2186018701880189019001910192038.650.262.976.092.0106.519301940195019601970198019

2、902000123132151179204227251281分为以下几个步骤来进行估计。首先，我们把离散的数据全部利用起来，已经知道，LOGISTIC模型中，x=rx-1k)是关 键的函数，我们需要做的事情就是通过离散的数据来估计函数中出现的系数，r以及k， 先拟合线性模型un=r-m*yn，其中un= (yn+1-yn)/yn得到r和k=r/m的近似值，我们编 写了一个for循环语句，在MATLAB中实现对方程的参数的估计。其次，我们以此近似值为参数的初值拟合非线性函数y=k/1+(k/y(0)-1)*exp(-r*t) 需要做的就是能够尽量好的估计参数k，r。同样我们利用非线性拟合，就可以

3、得到一个更 加好的参数估计。在MATLAB中实现。最终我们得到结果： (需要完善的部分)1关键词LOGISTIC模型非线性拟合循环语句参数估计 内禀增长率2问题的重述.用人口增长的Logistic模型dy/dt=r(1-y/K)y拟合美国人口数据:17901800 1810 1820 1830 1840 18505.37.29.612.917.123.21860 1870 1880 1890 1900 1910192038.650.262.976.092.0106.51930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 123132151179204227251281

4、3问题的分析问题的关键是要做一个LOGISTIC模型。在模型的建立中，至关重要的是对参数的估计。我们知道的LOGISTIC模型，x=rx(1-x/k)是这个模型的基础，所以我们最重要的任务就是 要合理估计参数。分为以下几个步骤来进行估计。1我们把离散的数据全部利用起来，已经知道，LOGISTIC模型中，x=rx(1-x/k)是关键的函数，我们需要做的事情就是通过离散的数据来估计函数中出现的系数，r以及k，2先拟合线性模型un=r-m*yn，其中un= (yn+1-yn)/yn得到r和k=r/m的近似值，我们编 写了一个for循环语句，在MATLAB中实现对方程的参数的估计。3我们以此近似值为参

5、数的初值拟合非线性函数y=k/1+(k/y(0)-1)*exp(-r*t)需要做的就是能够尽量好的估计参数k，r。同样我们利用非线性拟合，在MATLAB中实 现运行。4符号说明及问题假设4-1符号说明(注：由于我们主要任务是估计参数，其实没有实际太多的符号说明，这里就给出一些MATLAB中的字母代表的意义，方便大家理解)NTr(r(N)率K人口数目，以一个人为单位时间，这里指的也是年份内禀增长率，就是在没有外界自然条件限制下的自然增长率，理想状态下的增长环境承载力或饱和水平，k- 8时，模型退化为Malthus模型4-2问题假设假设1.人群个体同质。假设2.群体规模大。假设3.群体封闭，只考虑

6、生育和死亡对人口的影响。假设4.从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。(生育率和死亡率)假设5.群体增长平稳。假设6.个假设60:在有限的资源内生物种群存在有饱和水平，r为N的线性减函数，有零点K .5模型的建立5.1背景知识介绍有关LOGISTIC模型：在Marthus模型的基础上我们建立了 LOGISTIC模型，只需要修改Marthus模型中的假设 六，我们就得到了一个更加接近实际情况的模型，就是LOGISTIC模型，在这个模型里， 我们增加了限制，对人类的个体增长进行了控制，不再是个体独立增长，二十有了环境承载 力，K.增加了这个参数，当k无穷大的时候，LOGISTIC模型就接近

7、于Marthus模型。5.2对问题的初步分析首先，我们先处理老师给出来的数据，17901800 1810 1820 1830 1840 1850 TOC o 1-5 h z 5.37.29.612.917.123.2186018701880189019001910192038.650.262.976.092.0106.519301940195019601970198019902000123132151179204227251281绘制一个人口与时间的关系的图像(贴图) 分析离散的数据，我们确定要建立的模型是:dN (t)N (t )、 TOC o 1-5 h z 一-一 =r (1 ) N (t) dt