天津师范大学附属实验中学选修第四章《导数应用》测试题(含答案解析)

1、一、选择题1定义在上的偶函数的导函数为若对任意的的实数，都有：恒成立，则使成立的实数的取值范围为（ ）AB(-1，1)CD(-1，0)2定义在的函数，对任意，恒有，则与的大小关系为（ ）ABCD无法确定3已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD4在数学的研究性学习中，常利用函数的图象研究函数的性质，也利用函数的解析式研究函数的性质，下列函数的解析式（其中为自然对数的底数）与所给图象最契合的是（ ）ABCD5若函数在内单调递增，则m的取值范围是（ ）ABCD6已知函数在其定义域内为增函数，则的最大值为（ ）A4BCD67函数在区间上的最大值为（ ）ABCD8已知函数其中，为正整数

2、，若函数有极大值，则的值为（ ）A1B2C3D49已知函数（）满足，且的导函数，则不等式的解集为（ ）ABCD10设是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，有恒成立，则不等式的解集为（ ）ABCD11若函数在(0，1)上不单调，则的取值范围是（ ）ABCD12已知函数，若函数有且只有四个不同的零点，则实数k的取值范围为（ ）ABCD二、填空题13已知函数在区间上存在极大值与极小值，则实数的取值范围是_14已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为_.15设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，且，则不等式的解集为_16已知函数，若函数的图象与轴有且只有两个不同的交点，则实数的取值范围为_

3、17已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是_.18已知三次函数的图象如图所示，则函数的解析式是_.19若存在两个正实数，使等式成立，（其中）则实数的取值范围是_20已知函数，若对于不等式恒成立，则实数的取值范围为：_三、解答题21已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）函数有两个不同的极值点，求的取值范围.22已知函数.（1）讨论的单调性；（2）函数，当时，讨论零点的个数.23已知，函数在处取得极值.（1）求函数的单调区间；（2）若对，恒成立，求实数的取值范围24设函数（1）若方程在上有两个实数解，求的取值范围；（2）证明：当时，.25已知函数(k为常数，e=2.71828是自

4、然对数的底数)，曲线在点(1，)处的切线与轴平行.（1）求的单调区间；（2）设，其中为的导函数，证明：对任意，.26设函数.（）设是图象的一条切线，求证：当时，与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关； （）若函数在定义域上单调递减，求的取值范围.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1C解析：C【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出的取值范围【详解】当时，由可知：两边同乘以得：设：则，恒成立：在单调递减，由即即；当时，函数是偶函数，同理得：综上可知：实数的取值范围为，故选：C【点睛】关键点点睛：主要根据已知构造

5、合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，属于中档题2A解析：A【分析】构造函数，对其求导得，由，可得，从而可得在上单调递减，进而可比较出与的大小【详解】解：令，则，因为，所以，所以在上单调递减，因为，所以，即，所以，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查数学转化思想，解题的关键是构造函数，然后求导后可判断出在上单调递减，从而可比较出与的大小，属于中档题3A解析：A【分析】将不等式恒成立，转化为不等式 在上恒成立，令，用导数法求得其最小值即可.【详解】因为不等式恒成立，所以不等式 在上恒成立，令，则，令，则，所以在上是递增，又，所以当时，即，当时，即，所以

6、当时，取得最小值，所以 ，故选：A【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若在区间D上有最值，则；若能分离常数，即将问题转化为：（或），则；.4B解析：B【分析】分析合选项中函数值符号、单调性、奇偶性，并与题中的函数图象作比较，由此可得出合适的选项.【详解】对于A选项，当时，与题中函数图象不符；对于B选项，设，该函数的定义域为，函数为奇函数，当时，由，可得；由，可得或.所以，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为，与题中函数图象相符；对于C选项，所以，函数为上的增函数，与题中函数图象不符；对于D选项，对于函数，可得，该函数的定义域为，与题中函数图象不符.故选：B.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可

7、从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.5A解析：A【分析】由于在上递增得恒成立，利用参数分离求得参数范围.【详解】因为在上递增得恒成立，则所以在上恒成立，令，则 因为为二次函数且图像的对称轴为，所以 故故选：A【点睛】方法点晴：本题利用导数与单调性的关系转化为恒成立问题，结合参数分离法求得参数范围.6B解析：B【分析】求导，则由题意导函数在上恒大于等于0，分参求范围.【详解】由题意可得对恒成立，即，对恒成立因为，当且

8、仅当即时取最小值所以.故选：B【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到7A解析：A【分析】对函数求导，求出函数的极值点，分析函数的单调性，再将极值与端点函数值比较大小，找出其中最大的作为函数的最大值【详解】，则，令，解得，列表如下：极大值极小值所以，函数的极大值为，极小值为，又，因此，函数在区间上的最大值为，故选：A【点睛】方法点睛：本题考查利用导数求函数在定区间

9、上的最值，解题时严格按照导数求最值的基本步骤进行，考查计算能力，属于中等题8A解析：A【分析】对进行求导得，构造新函数，利用导数研究函数的单调性，结合题意，可知函数有极大值，则，求解不等式且结合，为正整数，即可得出结果.【详解】由题可知，则，设，则，令，解得：，则当或时，；当时，所以在区间上单调递增；在区间上单调递减，又因为函数有极大值，则，即，解得：，而，为正整数，所以的值为1.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，从而求参数值，构造新函数且利用导数求出单调区间是解题的关键，考查转化思想和运用能力.9B解析：B【分析】构造函数，求导后可证得在上单调递减，将原不

10、等式可转化为，即，再利用函数单调性的定义求解.【详解】令，则，所以在上单调递减.因为不等式可等价于，即，所以，解得或，故选：B.【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及利用函数的单调性解不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10B解析：B【分析】构造函数，易知在上单调递增，由是定义在上的偶函数可推出是定义在上的奇函数，故在上也单调递增，且.而不等式的解可等价于即的解，从而得解.【详解】解：设，则，当时，有恒成立，当时，在上单调递增，是定义在上的偶函数，即是定义在上的奇函数，在上也单调递增.又，.不等式的解可等价于即的解，或，不等式的解集为.故选：B.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用

11、，考查函数的单调性，利用了构造思想，导函数的运用，属于中档题11A解析：A【分析】求导得，原问题可转化为在上有变号零点，由于单调递增，只需满足，解之即可【详解】解：，若在上不单调，则在上有变号零点，又单调递增，即，解得的取值范围是故选：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、零点存在定理，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题12D解析：D【分析】表示出函数，分，及讨论，易知当及时均不合题意，而观察解析式可知，问题可化为有且仅有两个不同的零点，故利用导数研究函数在上的最小值小于0即可【详解】解：依题意，当时，原函数有且只有一个零

12、点，不合题意，故；观察解析式，易知函数为偶函数，则函数有且仅有四个不同的零点，可转化为有且仅有两个不同的零点，当时，函数在上递增，最多一个零点，不合题意；当时，令，解得，令，解得，故函数在上递减，在，上递增，要使在上有且仅有两个不同的零点，则，解得故选：【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系以及利用导数研究函数的单调性，最值等，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于中档题二、填空题13【分析】利用导数求出函数的极大值点和极小值点由题意可得出关于实数的不等式组由此可解得实数的取值范围【详解】则令可得列表如下：极大值极小值所以函数的极大值点为解析：【分析】利用导数求出函数的极大值点和极小值点，由题

13、意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】，则，令，可得，列表如下：极大值极小值所以，函数的极大值点为，极小值点为，由于函数在区间上存在极大值与极小值，所以，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】易错点点睛：已知极值点求参数的值，先计算，求得的值，再验证极值点由于导数为的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误14【分析】不等式等价变形利用同构函数的单调性得解【详解】令在上单调递增恒成立令只需单调递增单调递减时的最大值为的最小值为故答案为：【点睛】不等式等价变形同构函数是解题关键解析：【分析】不等式等价变形，利用同构函数的单调性得解【详解】令，在上单调

14、递增.，恒成立，令，只需，单调递增，单调递减，时，的最大值为，的最小值为.故答案为：【点睛】不等式等价变形，同构函数是解题关键.15【详解】设则恒成立所以函数在上是增函数又因为是定义在上的偶函数所以上上的奇函数所以函数在上是增函数因为所以即所以化为当时不等式等价于即解得；当时不等式等价于即解得；综上不等式的解集为点睛：本题考查了解析：【详解】设，则恒成立， 所以函数在上是增函数， 又因为是定义在上的偶函数，所以上上的奇函数， 所以函数在上是增函数， 因为，所以，即， 所以化为， 当时，不等式等价于，即，解得；当时，不等式等价于，即，解得； 综上，不等式的解集为. 点睛：本题考查了与函数有关的不

15、等式的求解问题，其中解答中涉及到利用条件构造新函数和利用导数研究函数的单调性，以及根据单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，解答中一定要注意函数值为零时自变量的取值，这是题目的一个易错点，试题综合性强，属于中档试题.16【分析】利用导数求得在区间上的单调性和最值对分成三种情况进行分类讨论由此求得的取值范围【详解】当时所以在区间上递减最大值为最小值为当时在区间上没有零点在区间上递增而所以在区间上没有零点所以不符合题意解析：【分析】利用导数求得在区间上的单调性和最值，对分成三种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围.【详解】当时，所以在区间上递减，最大值为，最小值为.当时，在区间上没有零点，在区间上

16、递增， 而，所以在区间上没有零点.所以不符合题意.当时，所以在区间上有唯一零点，所以不符合题意.当时，在区间和区间上递减，要使的图象与轴有且只有两个不同的交点，则需，解得.综上所述，的取值范围是.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.17【分析】利用导数判断出函数的单调区间作出函数的图象数形结合即可得解；【详解】解：当时函数单调递增；当时则时且时时故当时在上单调递减在上单调递增在处取极小值极小值为；作出函数的图象如图：函数恰有3个零解析：【分析】利用导数判断出函数的单调区间，作出函数的图象，数形结合即可得解；【详解】解：当时，函数单调递

17、增；当时，则时，且时，时，故当时，在上单调递减，在上单调递增，在处取极小值，极小值为；作出函数的图象如图：函数恰有3个零点，等价于函数与的图象有且仅有3个零点，由图可知，故答案为：【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，涉及利用导数判断函数单调性，数形结合思想等，属于中档题18【分析】待定系数法:设利用图象上点坐标代入与联立求解可得【详解】设由题知：由图象知解得故答案为：【点睛】求函数解析式的四种方法：配凑法换元法待定系数法解方程组法解题时根据具体条件对应方法求解析式解析：【分析】待定系数法:设，利用图象上点坐标代入，与 联立求解可得.【详解】设， 由题知： ，由图象知 解得 故答案为：【点睛

18、】求函数解析式的四种方法：配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法，解题时根据具体条件对应方法求解析式.19【分析】由条件转化为换元令由导数确定函数的值域即可求解【详解】设且设那么恒成立所以是单调递减函数当时当时函数单调递增当函数单调递减所以在时取得最大值即解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研解析：【分析】由条件转化为，换元，令，由导数确定函数的值域即可求解.【详解】，设且，设，那么，恒成立，所以是单调递减函数，当时，当时，函数单调递增，当，函数单调递减，所以在时，取得最大值，即，解得：，故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值，考查了变形运算能力，属于中档题.

19、20【分析】根据在R上递增结合将不等式恒成立转化为恒成立然后分和两种情况利用导数法求解【详解】因为所以成立所以在R上递增又成立所以恒成立即恒成立当时转化为恒成立令当时单调递减当时单调递增所以当时求得最小解析：【分析】根据在R上递增，结合，将不等式恒成立，转化为 ，恒成立，然后分和两种情况，利用导数法求解.【详解】因为，所以成立，所以在R上递增，又成立，所以 恒成立，即 恒成立，当时，转化为恒成立，令，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，求得最小值，所以，当时，转化为恒成立，上恒成立，时，单调递减，又，所以不等式恒成立，综上：实数的取值范围为故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性

20、，导数与不等式恒成立，还考查了转化化归的思想，分类讨论思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题21（1）；（2）.【分析】（1）对求导，切线斜率为，再求切点坐标，利用点斜式即可写出切线方程；（2）由题意可得，是方程的两个不等式的实根，等价于，是方程的两个根，由根与系数的关系可得，将转化为关于的函数，再利用单调性求最值即可求解.【详解】（1）由题意知，因为，所以，所以所求切线方程为，即；（2）由（1）知，因为是的两个不同的极值点，所以，是方程的两个根，可得，易得，所以，因为可得，所以，在单调递减，所以在上单调递减，从而的取值范围为.【点睛】方法点睛：求曲线切线方程的一般步骤是（1）求出在处的

21、导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.22（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）讨论，两种情况，确定的正负，利用导数求的单调性；（2）设，利用导数得出的单调性，进而得出最小值，讨论最小值大于、小于、等于0的情况结合零点存在性定理确定的零点个数，即零点的个数.【详解】解：（1）函数的定义域为，.当时，所以在上单调递减；当时，令得.若，；若，；所以在单调递减，在单调递增.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在单调递减；在单调递增.（2）设函数因为，所以得.当时，在上单调递减.当时，在上单调递增.所以当时，取最小值

22、，最小值为.若时，所以函数只有1个零点；若时，所以函数无零点；若时，故，；所以函数在和各有一个零点，所以函数有两个零点.综上所述，当时，函数只有1个零点；当时，函数无零点；当时，函数有两个零点【点睛】方法点睛：研究含参函数的零点问题，即方程的实根问题，通常选择参变分离,得到的形式，后借助数形结合(几何法)思想求解；若无法参变分离，则整体含参讨论函数的单调性、极值符号，由数形结合可知函数的图象与轴的交点情况即函数的零点情况.23（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）.【分析】（1）对函数求导得，由题意，得，再代入计算与，即可得单调性；（2）参变分离得，利用恒成立方法，对函数求导，判断单调性，求

23、最小值即可.【详解】（1）函数的定义域为，由题意，所以，即，由得，由得，故函数在上单调递减，在上单调递增.（2），令，则成立，由，得，由，得，故在上递减，在上递增，即.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题（4）考查数形结合思想的应用24（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）方程在上有两个实数解，等价于函数在区间上的图像与直线有两个交点，所以利用导数求出在上单调递增，在上单调递减，再比较出和的大小即可得答案；（2）由，要证，只需证，只需证，构造函数，然后利用导数证明是减函数即可【详解】