全套课件-化工问题的建模与数学分析方法

1、化工问题的建模 与数学分析方法 Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering第一章 化工问题的数学模型1、模型的意义与作用2、建模方法3、典型化工问题数学模型剖析第一章数学模型模型有什么用？0 概述： 关于化工数学的分类化工数学一个含糊的概念解决化工问题的数学，体现方法论的数学1. 化工实验数学数据处理与误差分析实验设计量纲分析与相似理论第一章数学模型模型有什么用？2.化工建模与数学分析化工问题建模模型求解与分析3.化工过程模拟与优化流程模拟方法过程的综合最优化方法第一章数学模型模型有什么用？1 模型

2、的意义与作用1化学工程研究工业规模的物质转化规律及技术手段研究对象质量传递 动量传递 能量传递化学反应过程解决的问题装置放大流程设计1化学工程研究工业规模的物质转化规律及技术手段研究对象质量传递 动量传递 能量传递化学反应过程解决的问题装置放大流程设计第一章数学模型模型有什么用？第一章数学模型模型有什么用？化学工程发展史上的几个重要阶段19011920s：工业化学化学工程19231930s：单元操作，化工数学19401950s：传递现象，数学模拟19571960s：化学反应工程1970s ：过程系统工程趋势模型化，数学化化学工程的方法论解耦热模研究：考察化学反应规律冷模研究：考察流动与传递规律

3、数学模型：反应器行为模拟中间实验：三种模型的结合工业设计第一章数学模型模型有什么用？数学模型的作用正问题：模拟、优化、控制反问题：机理辨识、参数求取典型实例印巴核实验数学模拟技术的需求第一章数学模型模型有什么用？3 建模一般步骤认识论的规律第一章数学模型建模方法 真实对象 物理模型 数 学 模 型 认 识核验表述模型标准内容真实形式简单建模关键合理简化抓住主要因素，突出主要特征怎么区分主次根据建模目的根据突出问题特征第一章数学模型建模方法实例气液传质的双模模型平推流反应器模型均想混合的搅拌釜模型第一章数学模型建模方法第一章数学模型建模方法3 化工问题的数学表述1. 守恒方程（balance e

4、quations)质量守恒、动量守恒、能量守恒、粒数守恒通用公式：输入项 输出项 生成项 积累项 注意问题：对象的选择坐标系的选择化学工程发展史上的几个重要阶段19011920s：工业化学化学工程19231930s：单元操作，化工数学19401950s：传递现象，数学模拟19571960s：化学反应工程1970s ：过程系统工程第一章数学模型建模方法例1 均相釜式反应器数学模型衡算对象单元图1.3连续釜式反应器化学工程发展史上的几个重要阶段19011920s：工业化学化学工程19231930s：单元操作，化工数学19401950s：传递现象，数学模拟19571960s：化学反应工程1970s

5、：过程系统工程第一章数学模型建模方法例2 管式反应器衡算对象微元图1.4 管式反应器化学工程发展史上的几个重要阶段19011920s：工业化学化学工程19231930s：单元操作，化工数学19401950s：传递现象，数学模拟19571960s：化学反应工程1970s ：过程系统工程第一章数学模型建模方法输入输出生成速率第一章数学模型建模方法反应器衡算方程初始与边界条件化学工程发展史上的几个重要阶段19011920s：工业化学化学工程19231930s：单元操作，化工数学19401950s：传递现象，数学模拟19571960s：化学反应工程1970s ：过程系统工程第一章数学模型建模方法例3

6、催化剂颗粒 衡算对象微元，柱坐标与球坐标化学工程发展史上的几个重要阶段19011920s：工业化学化学工程19231930s：单元操作，化工数学19401950s：传递现象，数学模拟19571960s：化学反应工程1970s ：过程系统工程第一章数学模型建模方法S0: 片型颗粒S1: 圆柱型颗粒S2：球形颗粒第一章数学模型建模方法3 化工问题的数学表述2. 本构关系（Constitutive Relations)物理量之间满足的本征结构关系热力学平衡关系动力学速率关系3.定解条件初始条件边界条件适定性问题第一章数学模型建模方法4 无量纲化问题1. 为什么要无量纲化？减少参数数目变量规一化获取问

7、题的特征无量纲数2.如何无量纲化？选择自变量与因变量的特征尺度，将变量与方程无量纲化第一章数学模型建模方法例1 气液传质的双膜模型选择第一章数学模型建模方法得第一章数学模型建模方法例2 管式反应器第一章数学模型建模方法选取得第一章数学模型建模方法第一章数学模型建模方法例3 管道阻力问题19世纪的水力学手册二十世纪的阻力曲线第一章数学模型建模方法3. 关于相似放大问题相似放大：模型与原型保持无量纲相似准数相同对于物理过程，某些条件下可以满足相似条件对于化学过程，难以选择反应体系来满足相似条件所以，相似放大对反应过程一般不可行数学模型放大是化学反应工程发展的趋势第一章数学模型典型问题5 催 化 剂

8、 颗 粒 模 型第一章数学模型典型问题物理过程特征分析颗粒内部：传热快，传质慢颗粒外部：传质快，传热慢因此，传质阻力在粒内，传热阻力在粒外固体热容大，气体浓度小因此，保留温度变化项，忽略浓度变化项第一章数学模型典型问题合理假设颗粒内部温度均匀，浓度考虑为拟稳态将两个偏微分方程的问题简化为两个常微分方程的问题。第一章数学模型典型问题6 固定床反应器的拟均相模型拟均相假设：不考虑流体固体差别1. 二维拟均相模型图1.9 固定床中的环形微元第一章数学模型典型问题2. 一维瞬态模型Danckwerts边界条件：第一章数学模型典型问题7 色谱过程的数学模型色谱：非均相的流动吸附分离过程1. 平衡色谱第一

9、章数学模型典型问题2. 非平衡色谱床层模型颗粒模型第一章数学模型典型问题活性位吸附模型界面平衡模型第一章数学模型典型问题8 分批结晶器与连续结晶器的粒数衡算模型 成核动力学晶体生长动力学第一章数学模型典型问题晶体生长的物理图像图1.12 无成核时晶种生长的粒度分布曲线图1.13 恒速成核时的粒度分布曲线第一章数学模型典型问题晶体粒数衡算 在ll+dl区间内由于生长而输入的粒子数 在ll+dl区间内由于长大而离开的粒子数在ll+dl区间内的粒子数变化第一章数学模型典型问题因此，粒数衡算方程为第一章数学模型典型问题9 边界层中的流动与传递边界层史话边界层图象第一章数学模型典型问题边界层方程的推导黏

10、性流体的NS方程第一章数学模型典型问题边界层中的量级比较xl, y主要结果第一章数学模型典型问题Prandtl边界层方程温度边界层与浓度边界层边界层中的三传问题 谢 谢化工问题的建模 与数学分析方法 Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering第二章 常微分方程1、二阶线性常系数方程的解法2、二阶变系数方程的级数解法3、一阶微分方程组的矩阵解法4、稳定性问题分析第二章常微分方程二阶常系数方程一、 二阶常系数方程的解法1。齐次方程通解设得第二章常微分方程二阶常系数方程相异实根共轭复根重根2。非其次方程特

11、解：比较系数法第二章常微分方程二阶变系数方程二、 二阶变系数方程的解法1、级数解法广义幂级数代入方程，比较系数法确定参数c 和 an 第二章常微分方程二阶变系数方程设代入，得第二章常微分方程二阶变系数方程首项xc的系数为0指标方程第n项xn+c的系数为0 递推公式 第二章常微分方程二阶变系数方程由指标方程的第一根c = c1可以得到方程的第一个解当c1c2不为整数或0时，由常规方法可得第二解。当c1、c2 为重根时，第二解为当c1c2 为整数时，第二解为第二章常微分方程二阶变系数方程2。Bessel方程及其级数解 称为k阶Bessel方程。采用幂级数解法，得首项系数为0的指标方程第二章常微分方

12、程二阶变系数方程递推公式第一解第二章常微分方程二阶变系数方程第二解分为以下三种情况 i ) k为分数 ii ) k = 0第二章常微分方程二阶变系数方程第二章常微分方程二阶变系数方程iii ) k为整数 第二章常微分方程二阶变系数方程3、Legendre方程与Legendre 函数设代入，得第二章常微分方程二阶变系数方程递推公式根据幂级数收敛判别法知，在x =1处级数发散，但物理上函数又是有界的，因此只有参数l 取整数才能保证级数在x =1处收敛，此时级数成为Legendre多项式第二章常微分方程二阶变系数方程性质Bessel函数、Legendre函数均为正交函数族，满足正交条件，可以作为函数

13、基将任意分片光滑的函数展开成Fourier级数，分别称为FourierBessel级数和FourierLegendre级数。第二章常微分方程一阶常系数方程组三、 一阶常系数方程组的矩阵解法齐次方程第二章常微分方程一阶常系数方程组设代入方程得从中可解出n个特征根和特征向量，构成基解矩阵第二章常微分方程一阶常系数方程组通解或y = Y c常数 c 由初始条件确定第二章常微分方程线性稳定性分析四、线性稳定性分析方法稳定性（stability)系统的一种动态特性，指偏离定常状态后能否自动返回该定常态的性质,系统抗干扰能力的度量。定常态（steady state)稳态（与瞬态对应），系统不随时间变化的某

14、个状态。稳定态（stable state)稳定的定常态。稳 定差之毫厘，失之毫厘不稳定差之毫厘，失之千里第二章常微分方程线性稳定性分析流动的稳定性雷诺实验、圆柱型水流反应器的热稳定性飞温与熄火平行平板间的热对流稳定性Benard现象压杆、板壳的屈曲稳定性稳定性分析方法线性稳定性分析：小扰动的线性化动态分析，获得失稳判据。非线性稳定性理论：分叉、混沌，非线性科学问题。第二章常微分方程线性稳定性分析1、线性稳定性分析方法目的获取失稳判据；方法稳态附近对小扰动线性展开，由特征根确定非线性动力系统定常态 f(ys) = 0设x(t)为小扰动，令y(t) = ys +x(t)第二章常微分方程线性稳定性分

15、析代入原方程，泰勒展开，保留线性项通解稳定性判别若A的特征根都是负的，则零解是渐近稳定的；若至少有一个根的是正的，则系统是不稳定的；若都为零，则不定。第二章常微分方程线性稳定性分析因此，线性稳定性分析的问题转化为线性化方程的矩阵A的特征根的正负号判别问题。如何根据A得到稳定性判据？Routh-Hurwitz系数判别法。 特征根方程Routh方法：如果系数aj不同号，或某些系数为零，则方程必然有大于等于零的根，系统不稳定。第二章常微分方程线性稳定性分析RouthHurwitz判定行列式第二章常微分方程线性稳定性分析Routh指出，若采用如下的判定函数R iR0 = 0 , R1 = 1 , R2

16、 = 2 /1 , , Rn = n /n-1 = an则当所有的判定函数为正值时，系统是稳定的，否则是不稳定的。Hurwitz则证明了以下定理：实系数的n次代数方程的一切根的实部都是负数的充分必要条件是所有判定行列式均大于0。第二章常微分方程线性稳定性分析2、稳态点的分类第二章常微分方程线性稳定性分析1）tr24 0， 0：12 0，稳态点为结点2）tr24 0， 0：12 0，稳态点为鞍点第二章常微分方程线性稳定性分析3）tr24 0，1，2都是纯虚数 稳态点为中心点第二章常微分方程线性稳定性分析3、化学反应器的热稳定性 取x = cAcAs , y = TTs 第二章常微分方程线性稳定性

17、分析将反应项与移热项线性展开特征根方程第二章常微分方程线性稳定性分析渐近稳定性条件a)斜率条件系统移热曲线的斜率必须大于系统放热曲线的斜率 b)动态条件第二章常微分方程线性稳定性分析斜率条件的物理解释谢 谢化工问题的建模 与数学分析方法 Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering第三章 一阶偏微分方程1、特征线法2、非线性波与追赶现象第三章一阶偏微分方程特征线法1.1 一阶偏微分方程的定解问题偏微分方程与常微分方程求解思路的不同常微分方程：求方程通解，初、边值定常数一阶偏微分：求方程通解，初、边值确

18、定任意函数二阶偏微分：不求通解，从问题出发求解例，一阶PDE 通解第三章一阶偏微分方程特征线法初值问题（Cauchy问题）初、边值问题（Riemann问题）第三章一阶偏微分方程特征线法一般的一阶拟线性偏微分方程的问题第三章一阶偏微分方程特征线法1.2 特征线法的几何原理向量 ( P, Q, R ) 与解曲面u=u(x,y)的法线方向相互垂直，与 ( P, Q, R ) 共线的线元(dx, dy, du)必定满足偏微分方程，称为特征曲线，经过初始曲线的特征曲线的全体构成解曲面u=u(x,y) 。第三章一阶偏微分方程特征线法第三章一阶偏微分方程特征线法第三章一阶偏微分方程特征线法因此，特征线法的求

19、解思路是用特性曲线来编织解曲面1。求出与向量场( P, Q, R ) 共线的特征曲线；2、让该曲线通过初始曲线第三章一阶偏微分方程特征线法特征线方程解x=x(s), y=y(s), u=u(s)含任意常数，由初始曲线确定第三章一阶偏微分方程特征线法解曲面由以下双参变量形式给出参变量s 沿特征曲线方向变化，参变量 沿初始曲线方向变化。第三章一阶偏微分方程特征线法例2.1 特征线方程初始曲线第三章一阶偏微分方程特征线法解出 消去参变量第三章一阶偏微分方程特征线法以积分常数形式给出的特征线解 特征方程通解初始曲线限制解曲面第三章一阶偏微分方程特征线法例2.3 特征方程通解解曲面由初值得解第三章一阶偏

20、微分方程特征线法1.3 特征线法的物理意义波 动物理量在空间的传播过程特征线物理量的传播轨迹，沿该轨迹的变化关系例1管道中的溶质输送问题第三章一阶偏微分方程特征线法特征线 初始曲线解得xvt 第三章一阶偏微分方程特征线法图象矩形方波以速度v 传播 c0 xt =0t =t1t =t2vvv第三章一阶偏微分方程特征线法x-t 平面的特征线及图解法 第三章一阶偏微分方程特征线法例2线性色谱问题特征线第三章一阶偏微分方程特征线法x轴给出的初值的解 t 轴给出的边值的解 第三章一阶偏微分方程特征线法x-t 平面的特征线第三章一阶偏微分方程特征线法斜坡输入时的图象 第三章一阶偏微分方程特征线法例3 有化

21、学反应时的色谱波动图象 浓度沿特征线传播时呈指数衰减线性波的特点波速与因变量无关保持初始间断和光滑性质不变特征线不相交第三章一阶偏微分方程追赶现象2 非线性波与追赶现象1。追赶问题稀疏波身高曲线初始分布第三章一阶偏微分方程追赶现象特征线解得第三章一阶偏微分方程追赶现象图象稀疏波xh00hh00hxxt = 0时刻的初始分布t = t1时刻的分布t1t01/4h01/2h03/4h0h0携带不同h值的特征线第三章一阶偏微分方程追赶现象2。追赶问题激波初始分布：前低后高解得第三章一阶偏微分方程追赶现象图象xh00hx/h0t0t/h0t=0h=h0h=0第三章一阶偏微分方程追赶现象特点追赶，特征线

22、相交，不真实的多值分布，非线性本征属性原因：形成强间断激波，微分方程失效问题：补充间断面上的关系第三章一阶偏微分方程追赶现象3。激波间断关系x0 xsxrxll, qlr, qrdxs/dt第三章一阶偏微分方程追赶现象激波间断关系熵条件处理含间断问题的原则：分段求解第三章一阶偏微分方程追赶现象例1 含有激波的追赶问题间断条件初值第三章一阶偏微分方程追赶现象图象xh00hx/h0t0t/h0t=0CSI第三章一阶偏微分方程追赶现象例2 非线性吸附反应器第三章一阶偏微分方程追赶现象特征曲线波速第三章一阶偏微分方程追赶现象激波间断条件特征线光滑解第三章一阶偏微分方程追赶现象将光滑解代入激波间断条件，

23、解出激波轨迹第三章一阶偏微分方程追赶现象图象x0cxt0t=t1S第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题3 化学剂段塞的色谱运动问题第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题物理图象：前沿激波； 后缘中心稀疏波 激波与稀疏波相互作用第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题特征线第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题解题思路1。运动初期：激波与稀疏波互不干扰，分别求解；2。运动后期：后缘侵蚀，稀疏波与激波联立求解。第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题问题第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题特征线方程初始曲线第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题1。运动初期激波稀疏波平台区第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题2。运动后期激波（浓度在变化）稀疏波

24、（给出激波浓度）联立得到第三章一阶偏微分方程色谱段塞问题激波轨迹激波浓度段塞宽度第三章一阶偏微分方程小结1、关于特征线法几何上，一阶偏微分方程可以看成向量（P, Q, R ) 与曲面法向 之间的正交关系.特征线法就是先由向量（P, Q, R )求出满足方程的特征线，再以此为元素构造出解曲面。物理上，波动总是从初始曲线出发沿特征线传播，特征线方程给出了波的速度和传播中的变化关系。 第三章一阶偏微分方程小结2、关于非线性波动的概念线性波的波速与因变量无关，传播过程中保持初始间断或光滑性质不变，特征线不相交。非线性波容易发生追赶，形成稀疏波和激波，其类型与通量曲线的性质和初始分布状况两方面因素有关。

25、处理激波问题的思路是：分段求解，联立确定。 谢 谢化工问题的建模 与数学分析方法 Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering第四章 二阶偏微分方程与分离变量法1、二阶方程的分类2、分离变量法3、特征值理论4、特殊函数的应用5、典型问题分析第四章 二阶偏微分方程概述化学工程中常见的PDE对流扩散反应方程常微分方程：求通解，初值定积分常数；一阶偏微分方程：求通解，初值定任意函数；二阶偏微分方程：从问题出发确定求解方法。第四章 二阶偏微分方程概述二阶导数项占优时，一般采用以下两种方法求解分离变量法：适用于

26、有限空间区域；积分变换法：适用于无限空间区域；均化为常微分方程求解。第四章二阶偏微分方程方程的分类1 二阶偏微分方程的分类令得第四章二阶偏微分方程方程的分类由线性代数，可通过线性变换将特征二次型化为对角型第四章二阶偏微分方程方程的分类二阶方程分类：当b2ac 0时，曲线为椭圆，方程称为椭圆型方程当b2ac = 0时，曲线为抛物线, 方程称为抛物型方程当b2 ac0时，曲线为双曲线，方程称为双曲型方程 第四章二阶偏微分方程方程的分类标准形式： 椭圆型方程抛物型方程 双曲型方程第四章二阶偏微分方程方程的分类物理意义：椭圆型方程位势方程，描述与时间无关的定常分布；抛物型方程热传导方程，描述不可逆的发

27、展演变；双曲型方程波动方程，描述可逆的双向波动。第四章二阶偏微分方程方程的分类定解问题的提法方程与初、边值的组合初值问题(Cauchy问题)边值问题混合问题第四章二阶偏微分方程分离变量法2 分离变量法试探问题的变量分离形式的解例1设第四章二阶偏微分方程分离变量法变量分离，得求X(x)的非零解，通过调整参数的值第四章二阶偏微分方程分离变量法 ) 当0时，方程的通解c1 = c2 = 0，也即(x)0 ) 当=0时，方程的通解 c1 = c2 = 0，也即(x)0第四章二阶偏微分方程分离变量法 ) 当0时，方程通解具有如下形式 由边界条件X(0) = 0知c1 = 0, 再由 为了有非零解c20，

28、必须sin= 0，由此确定出参数 第四章二阶偏微分方程分离变量法由此得变量分离解第四章二阶偏微分方程分离变量法为满足初值，将解叠加由初值得解。第四章二阶偏微分方程分离变量法例2 矩形区域的Laplace方程例3 圆形区域的Laplace方程令第四章二阶偏微分方程分离变量法特征值问题解得n第四章二阶偏微分方程分离变量法由边值第四章二阶偏微分方程分离变量法得得解。第四章二阶偏微分方程分离变量法小结：分离变量法1、假设变量分离形式的解2、导出并求解特征值问题3、叠加成级数，满足初值或边值关键问题特征值问题能否通过调整不定参数获得齐次方程的非零解。第四章二阶偏微分方程分离变量法3 分离变量法非齐次方程

29、与边界条件：化齐与展开1 、非齐边值的处理：迭加边值问题特解 ，化齐例1第四章二阶偏微分方程分离变量法令特解v(x)要求满足边值，有无穷多种选择，规范为第四章二阶偏微分方程分离变量法于是，问题化为w(x,t)的齐次边值问题方程化齐的要点，是要求叠加的特解v(x)既要满足边值，又要满足原微分方程，使得化齐后的问题最简单。第四章二阶偏微分方程分离变量法例2令第四章二阶偏微分方程分离变量法解出问题化齐为例3 环形区域上的热传导方程(p207)第四章二阶偏微分方程分离变量法方程与边值同时化齐第四章二阶偏微分方程分离变量法2 、非齐方程的处理：级数展开难以直接分离变量，但可将所有函数按特征函数展开第四章

30、二阶偏微分方程分离变量法代入方程，得第四章二阶偏微分方程分离变量法第四章二阶偏微分方程分离变量法小结：分离变量法的关键特征函数级数展开问题特征函数的存在性？特征函数的正交性？特征函数的完整性？在一般条件下需要从理论上予以回答。第四章二阶偏微分方程分离变量法分离变量法的历史发展1700s弦振动方程的三角函数试探解(Tayler)第四章二阶偏微分方程分离变量法18001900sFourier方法无穷级数解特征值问题Fourier级数理论Fourier变换1800sStrumLiouville特征值理论分离变量法的理论基础特殊函数的应用第四章二阶偏微分方程特征值理论4 特征值问题1、正交性的定义Fo

31、urier展开第四章二阶偏微分方程特征值理论2、特征值理论定理一 存在着无穷多个实特征值定理二 当q(x)0时, 所有特征值非负 定理三 不同的所对应的特征函数带权(x)正交 定理四 任意函数f (x) 可展开为特征函数yn(x)的级数 第四章二阶偏微分方程特征值理论说明1、S-L特征值方程具有一般性；2、四个定理只回答了特征函数的存在性、正交性、完整性问题，可据此判断分离变量法的可行性，给出解的结构。但没有给出特征值方程的求解方法。第四章二阶偏微分方程特殊函数5 特殊函数的应用 1、极坐标系与Bessel函数令第四章二阶偏微分方程特殊函数得到判断：特征值存在，特征函数Rn(r)正交，完整第四

32、章二阶偏微分方程特征函数解的构造由正交性第四章二阶偏微分方程特征值理论第四章二阶偏微分方程特征值理论求特征函数R(r)，令 ，将特征值问题化为上式是0阶Bessel方程，可用级数解法得到其解式中，J0 和Y0 分别为第一类和第二类Bessel函数第四章二阶偏微分方程特征值理论第四章二阶偏微分方程特征值理论由边界条件确定特征值和特征函数得解第四章二阶偏微分方程特征值理论2、球坐标系与Legendre函数问题球形区域的稳态传热与传质分离变量，令u(r, ) = H()R(r)得到第四章二阶偏微分方程特征值理论特征值问题为H，作变换x = cos, 化为Legendre 方程 第四章二阶偏微分方程特

33、征值理论自然边界条件由特征值理论，特征函数存在，分离变量法可行。Legendre方程的解为无穷级数，若边界上有限，必须相应的特征函数为 n阶的Legendre多顶式第四章二阶偏微分方程特征值理论于是，问题的分离变量解为其中系数B0，A由边界条件确定第四章二阶偏微分方程特征值理论第四章二阶偏微分方程典型问题1、球形催化剂颗粒的瞬态响应 化齐边值，令第四章二阶偏微分方程典型问题S=2时，特解令得第四章二阶偏微分方程典型问题再求齐次边值问题第四章二阶偏微分方程典型问题令 w(x, t) = X(x)T(t) , 得到特征值问题 作变换得第四章二阶偏微分方程典型问题于是第四章二阶偏微分方程典型问题2、

34、管式反应器的动态行为 问题第四章二阶偏微分方程典型问题为化齐边值，令v(x)为固定床反应器稳态解第四章二阶偏微分方程典型问题齐次边值问题分离变量w = X(x)T(t) ，得特征值问题第四章二阶偏微分方程典型问题化为SturmLiouville型方程非零解Xn(x)存在，带权exp(-Pex)正交 第四章二阶偏微分方程典型问题特征函数欲得非零解，要求第四章二阶偏微分方程典型问题令得由x = 1处的边界条件 确定特征值第四章二阶偏微分方程典型问题第四章二阶偏微分方程典型问题3、管道中的层流换热Graetz问题第四章二阶偏微分方程典型问题无量纲化后分离变量法求解, 令 第四章二阶偏微分方程典型问题

35、得特征值问题幂级数解第四章二阶偏微分方程典型问题由x =处的边值确定特征值 解得第四章二阶偏微分方程小结分离变量法的适用条件有限空间区域线性方程方程中系数可分离变量自变量区域可分离变量满足SL方程的条件 谢 谢化工问题的建模 与数学分析方法 Modelling and Analytical Methods for Problems in Chemical Engineering第五章 积分变换与矩量分析方法 1、Fourier 变换2、Laplace 变换3、基本解与传递函数4、矩量分析方法5、线性色谱理论第五章 积分变换与矩量分析概述积分变换一种数学运算特点：微分的逆运算，可将求导转变为乘积

36、运算；应用：积分变换性质的利用 方程求解，化微分方程为代数方程； 频谱分析随机信号的谱处理方法； 传递函数 矩量分析第五章 积分变换与矩量分析Fourier变换1 Fourier 变换来源与发展：Fourier级数（有限区域，l，+ l ） Fourier 积分（无限区域） Fourier 变换 （，） Laplace 变换 （0 ，）定义第五章 积分变换与矩量分析Fourier变换性质导数 乘积 变量平移 指数乘积卷积 像的乘积能量积分第五章 积分变换与矩量分析Fourier变换应用解PDE三步骤对问题进行积分变换解像函数的问题反变换，得到原函数解第五章 积分变换与矩量分析Laplace变换

37、2 Laplace 变换Fourier变换的问题变换条件苛刻（绝对可积）区间含负值 （，）改进，令则函数f1(x)的Fourier变换就不存在上述缺陷，得Laplace变换第五章 积分变换与矩量分析Laplace变换性质导数 s 乘积 变量平移 指数乘积卷积 像的乘积端点性质第五章 积分变换与矩量分析Laplace变换Laplace 逆变换1）查表法2）根据定义计算复平面上的围道积分3）有理函数展开法化为简单分式求逆第五章 积分变换与矩量分析基本解3 基本解与传递函数函数基本解E(t) 满足物理意义单位脉冲输入或单位点源（质量源、动量源、热源、点电荷）形成的响应或分布第五章 积分变换与矩量分析

38、基本解为什么要求基本解？为了构造一般非齐次方程 的解基本解的求取积分变换法方法优势：函数的积分变换恒为1，正、逆变换易例5.15第五章 积分变换与矩量分析传递函数传递函数系统对单位脉冲输入的响应 基本解的像函数传递函数的求取积分变换法为什么要引入传递函数？因为不需求逆变换，可方便复杂系统的运算，特别对于串连系统和反馈回路系统第五章 积分变换与矩量分析矩量分析4 矩量分析矩的概念分布函数的数字特征矩与积分变换的关系 矩量分析不求逆变换而获得数字特征的方法第五章 积分变换与矩量分析矩量分析停留时间分布的矩量分析RTD方法思想：热模与冷模解耦研究矩量分析：建立矩与返混参数之间关系，指导冷模 实验测定

39、模型第五章 积分变换与矩量分析矩量分析传递函数矩与参数的关系第五章 积分变换与矩量分析矩量分析脉冲动态实验方法原理数学模型传递函数输出信号 的各阶矩测定矩值第五章 积分变换与矩量分析矩量分析5 线性色谱理论考虑外扩散时的色谱过程床层模型颗粒模型第五章 积分变换与矩量分析矩量分析颗粒传递函数床层传递函数方差加和原理第五章 积分变换与矩量分析矩量分析同时考虑内外扩散的色谱过程颗粒模型第五章 积分变换与矩量分析矩量分析颗粒传递函数方差加和性质串连过程的总方差等于各步方差之和第五章 积分变换与矩量分析矩量分析传递阻力的等效模型 在保持过程总方差相同的情况下，可以采用简化的等效模型代替复杂的多步串连模型

40、颗粒内外扩散阻力的归并等效传质系数第五章 积分变换与矩量分析小结传递阻力的等效模型 在保持过程总方差相同的情况下，可以采用简化的等效模型代替复杂的多步串连模型颗粒内外扩散阻力的归并等效传质系数第五章 积分变换与矩量分析矩量分析传质阻力与返混项的归并等效简化模型表观扩散系数等效的平衡模型第五章积分变换与矩量分析小结积分变换概念的引出及其发展Fourier级数Fourier变换Laplace变换基本解传递函数矩量分析上述方法在概念上都是一脉相承的。方法应用积分变换传递函数各有其适用的问题与条件矩量分析谢 谢化工问题的建模 与数学分析方法 Modelling and Analytical Metho

41、ds for Problems in Chemical Engineering第六章 近似解析方法1、奇异摄动法2、试验函数法3、正交配置法第六章近似解析方法概论解析解与数值解的比较解析解由简单函数关系式直接给出的对应关系 结构简单，计算代价小 结果可靠，直观，便于应用 对一般问题难以得到数值解以大量数字对应方式给出的函数关系 适用性广，可处理复杂问题和大规模问题 依赖于计算工具和特定算法，代价较大第六章近似解析方法概论近似解析解准确解的近似解析表达式局部精确性较差，但整体规律性好形式简单而满足工程应用容易得到数学问题的求解原则首先求准确解析解其次求近似解析解最后采用数值解第六章 近似解析方法

42、摄动法1 摄动法摄动法将问题对小参数进行级数展开的求解方法正则摄动：小参数直接展开的方法奇异摄动：直接展开失效后采用的专门方法或改进方 法第六章 近似解析方法摄动法1、正则摄动与奇异摄动例1 最高次项含小参数的非线性代数方程的求解设得第六章 近似解析方法摄动法正则摄动只能得到一个根，因为直接展开失去了问题的非线性性质。第六章 近似解析方法摄动法如果作变换 y = u/ ，得然后对u 直接展开，得到另一个根第六章 近似解析方法摄动法准确解为当 0时，其两个根分别趋于y a和y 1 ，对应的两个摄动解分别称为正则摄动解与奇异摄动解。第六章 近似解析方法摄动法例2 小参数位于非导数项中的情况设得第六

43、章 近似解析方法摄动法近似解与准确解极为接近，这种情况下正则摄动法是奏效的。第六章 近似解析方法摄动法例3 方程最高阶导数乘小参数的情况当 0时，方程由二阶退化成一阶方程，近似解只能满足一个边值而难以同时满足两个边值。 第六章 近似解析方法摄动法直接展开得到取x =1处的边界条件 y0 (1) = ，y1 (1) = 0，得到 第六章 近似解析方法摄动法在 x =0 处因此，近似解不满足x =0 处的边值。第六章 近似解析方法摄动法分析： x =0 处存在一个边界层边界层的存在是小参数乘最高阶导数问题的特征第六章 近似解析方法摄动法概念：渐近级数与收敛级数收敛级数：按变量展开的级数，如泰勒级数

44、，三角级数，幂级数等，级数的精度随项数的增加而提高；渐近级数：按参数展开的级数系数yn(x)是由展开后的问题顺序解出的，因此级数不一定收敛，一般只取级数的23项。第六章 近似解析方法摄动法2、边界层方法基本思想：放大镜将空间边界层放大，使分布变平缓，突出边界层内的作用；慢镜头将时间尺度放大，使变化减缓，突出快速变化的过程。历史来源与发展：Prandtl边界层方程，Blasuis匹配方法，PLK方法第六章 近似解析方法摄动法边界层方法的求解步骤1、外解直接展开2、内解边界层放大3、匹配内解与外解的衔接4、合成内解与外解的组合第六章 近似解析方法摄动法例31、外解第六章 近似解析方法摄动法2、内解

45、边界层放大，定义内部坐标第六章 近似解析方法摄动法取1以保留二阶导数项，得令得第六章 近似解析方法摄动法解出0阶近似常数C由匹配条件确定第六章 近似解析方法摄动法3、匹配Prandtl匹配原理0阶近似的匹配方法得0阶内解第六章 近似解析方法摄动法4、合成加法合成法合成解外解内解公共部分高阶近似的匹配Van Dyke匹配原理 n项外解的m项内部展开 m项内解的n项外部展开 第六章 近似解析方法摄动法匹配后的两项近似内解合成后的两项近似解第六章 近似解析方法摄动法3、时间边界层刚性问题（stiff equs)刚性问题：具有不同时间尺度的变化问题；特点：快步骤与慢步骤共存 拟稳态近似与定常态近似计算

46、难点：数值振荡，多步Gear 方法奇异摄动：慢镜头分析，给出完整的结果第六章 近似解析方法摄动法例慢时间尺度解（0）拟稳态近似第六章 近似解析方法摄动法快时间尺度解定常态近似第六章 近似解析方法摄动法合成与匹配Von Dyke匹配原理例：催化剂的平行失活问题反应快、失活慢，二者均需要考虑第六章 近似解析方法摄动法无量纲化1、先求内解，内解可完全确定 第六章 近似解析方法摄动法令 第六章 近似解析方法摄动法得到两项近似内解 第六章 近似解析方法摄动法2、直接展开求外解，外解不满足初值，含任意常数3、内、外解匹配确定外解任意常数得到外解第六章 近似解析方法摄动法第六章 近似解析方法摄动法4、合成含

47、有快、慢尺度的统一解 第六章 近似解析方法摄动法第六章 近似解析方法摄动法4、移动的空间边界层问题 非线性色谱过程的浓度前沿非线性吸附效应与扩散效应之间的竞争作用移动的空间边界层的形成求解思路外解非线性色谱问题的激波解内解采用跟随激波的移动坐标系，放大边界层匹配与合成第六章 近似解析方法摄动法问题 第六章 近似解析方法摄动法1、外解由特征线法浓度激波位置xs由匹配条件确定 第六章 近似解析方法摄动法2、边界层内解积分得3、匹配第六章 近似解析方法摄动法由以上Prandtl匹配条件得激波间断关系解得激波轨迹边界层内解第六章 近似解析方法摄动法第六章 近似解析方法摄动法4、0阶近似合成解第六章 近

48、似解析方法试验函数法2 试验函数方法 思想：用已知的、含待定参数的简单函数近似代替准确解，用积分形式的方程或点近似方程代替微分方程，确定不定参数。以牺牲一些局部的精确性为代价，换取对问题整体规律性的把握，在一定的近似范围内解决问题。要点：试验函数的选择残差处理方法第六章 近似解析方法试验函数法1、试验函数与方程残差 例1 落石问题分析：下落速度从零增加到末速度第六章 近似解析方法试验函数法设试验函数为 是待定参数，代入方程得到残差 若要求在t=时刻方程成立，R()=0，得第六章 近似解析方法试验函数法由准确解特点：方程只在一个点满足，近似解“八九不离十”例2 催化剂颗粒有效系数计算 第六章 近

49、似解析方法试验函数法设试验函数要求方程积分满足，得第六章 近似解析方法试验函数法取s=0，r(y)=y ，得准确解 1 时，相差甚微（1%左右） ， 越大相差越大。原因：快速反应浓度分布空心化，偏离抛物分布。第六章 近似解析方法试验函数法改进，对于快速反应，采用以下蛋白型试验函数仍要求方程积分满足，确定参数xp第六章 近似解析方法试验函数法准确解 ，说明试验函数越接近真实，结果越准确。 例3 试井问题拭井：反求地层参数的工业试验方法，压力变化方程第六章 近似解析方法试验函数法第六章 近似解析方法试验函数法分析：影响半径RR() ，漏斗型分布，拟稳态假设无穷远边值的有限化积分平均近似拟稳态试验函

50、数第六章 近似解析方法试验函数法由边界条件影响半径为待定函数，代入积分的压力方程，得准确解第六章 近似解析方法试验函数法小结：试验函数法试验函数的选择尽可能接近真实事先满足初始与边界条件方程残差的处理 点近似 积分平均近似 加权积分近似第六章 近似解析方法试验函数法2、空间平均近似 例：球形颗粒上的不定常扩散 采用抛物型试验函数: 第六章 近似解析方法试验函数法代入方程，令空间积分为0，得系数A由初始条件确定，定义空间平均浓度，得由初值为0 第六章 近似解析方法试验函数法近似解与准确解的比较：长时间后准确，短时间内偏离。原因：渗透区的存在，偏离抛物型试验函数。第六章 近似解析方法试验函数法第六章 近似解析方法试验函数法改进取渗透型试验函数由空间平均近似第六章 近似解析方法试验函数法短时间解准确解第六章 近似解析方法试验函数法3、边界层动量积分方法问题：Prandtl边界层方程，非线性PDE方程组y=0: u=v=0; y: u=U, v=0 x0: u=U, v=0第六章 近似解析方法试验函数法方法要点：在边界层内用积分形式的动量方程代替微分方程选择满