高考数学一轮复习板块命题点专练导数及其应用文苏教版

1、1.(2014江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点直线7x2y30的斜率为.板块命题点专练(四)导数及其应用命题点一导数的运算及几何意义bxP(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是_bb解析：yax2x的导数为y2axx2，724ab7，24ab5，由题意得42a1，解得b2，则ab3.解析：f(x)exlnx，f(x)exlnx，f(1)e.解析：因为f(x)a，所以f(1)a1，又f(1)a，所以切线l的方程为y时，f(x)3，则f(1)2.所以yf(x)在点(1，3)处的切线方程为y3答案：32(2018天津高考)已知函数

2、f(x)exlnx，f(x)为f(x)的导函数，则f(1)的值为_exx答案：e3(2018全国卷)曲线y(ax1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2，则a_.解析：y(axa1)ex，当x0时，ya1，a12，解得a3.答案：34(2017天津高考)已知aR，设函数f(x)axlnx的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为_1xa(a1)(x1)，令x0，得y1.答案：15(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是_解析：因为f(x)为偶函数，所以当x0时，f(x)f(x)lnx3x，所以当x01

3、x2(x1)，即y2x1.当a0时，由f(x)0，得x；由f(x)0，得0 x，aaaa3f10，a3.2x2.得af(x)在0，上单调递减，在，上单调递增答案：y2x1命题点二导数的应用1(2018江苏高考)若函数f(x)2x3ax21(aR)在(0，)内有且只有一个零点，则f(x)在1,1上的最大值与最小值的和为_解析：法一：f(x)6x22ax2x(3xa)(x0)当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，又f(0)1，f(x)在(0，)上无零点a3a333又f(x)在(0，)内有且只有一个零点，327此时f(x)2x33x21，f(x)6x(x1)，当x1,1时，f(x)在1

4、,0上单调递增，在0,1上单调递减又f(1)0，f(1)4，f(x)maxf(x)minf(0)f(1)143.法二：令f(x)2x3ax210，2x311x2x12令g(x)2xx2，则g(x)2x3.由g(x)0，得0 x1；由g(x)0，得x1，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增f(x)在(0，)内有且只有一个零点，ag(1)3，此时f(x)2x33x21，f(x)6x(x1)，当x1,1时，f(x)在1,0上单调递增，在0,1上单调递减又f(1)0，f(1)4，f(x)maxf(x)minf(0)f(1)143.答案：312(2017江苏高考)已知函数f(x)x32x

5、exex，其中e是自然对数的底数若f(a1)f(2a2)0，则实数a的取值范围是_1解析：由f(x)x32xexex，1得f(x)x32xexexf(x)，所以f(x)是R上的奇函数1又f(x)3x22exex3x2221exex3x20，当且仅当x0时取等号，所以a12a2，解得1a，1故实数a的取值范围是1，.12答案：1，(2)证明：当a时，f(x)0.所以f(x)在其定义域内单调递增因为f(a1)f(2a2)0，所以f(a1)f(2a2)f(2a2)，1223(2017全国卷改编)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为_解析：因为f(x)(x2ax1)e

6、x1，所以f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1x2(a2)xa1ex1.因为x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，所以2是x2(a2)xa10的根，所以a1，f(x)(x2x2)ex1(x2)(x1)ex1.令f(x)0，解得x2或x1，令f(x)0，解得2x1，所以f(x)在(，2)上单调递增，在(2,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当x1时，f(x)取得极小值，且f(x)极小值f(1)1.答案：14(2018全国卷)已知函数f(x)aexlnx1.(1)设x2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；1ex解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a

7、e.(2)证明：当a时，f(x)lnx1.设g(x)lnx1，则g(x).因此，当a时，f(x)0.(3)若f(x)，f(x)这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围2得f(x)3x2axb3xb.2当x时，f(x)有极小值b.aaaba33aa2所以f10，9a1x1由题设知，f(2)0，所以a2e2.111从而f(x)2e2exlnx1，f(x)2e2exx.可知f(x)在(0，)上单调递增，又f(2)0，所以当0 x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，)1exeeexex1eex可知g(x)在(0，)上单调递增，且g(

8、1)0，所以当0 x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值点故当x0时，g(x)g(1)0.1e5(2017江苏高考)已知函数f(x)x3ax2bx1(a0，bR)有极值，且导函数f(x)的极值点是f(x)的零点(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b23a；72解：(1)由f(x)x3ax2bx1，33aa233因为f(x)的极值点是f(x)的零点，327932a23又a0，故b.因为f(x)有极值，故f(x)0有实根，39ax1，x2.a21从而b(27a3)0，即a3.当a3时，f(x)0(x1)，故

9、f(x)在R上是增函数，f(x)没有极值；当a3时，f(x)0有两个相异的实根aa23baa23b33当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)(，x1)x10(x1，x2)x20(x2，)f(x)极大值极小值因此b，定义域为(3，)故f(x)的极值点是x1，x2.从而a3.2a239a9(2)证明：由(1)知，b2aa3.aaa设g(t)，则g(t)29t9t9t2从而g(t)在2，2t3232t227.当t36，时，g(t)0，236上单调递增因为a3，所以aa33，故g(aa)g(33)3，即ba3.(3)由(1)知，f(x)的极值点是x1，x2，且x1x2a，x21x2

10、2.2ax2b)a(x21x22)b(x1x2)23327939a因此b23a.24a26b39xx1121从而f(x1)f(x2)x3ax2bx11x3ax2bx2131(3x22ax1b)32(3x2124a36ab4ab20.记f(x)，f(x)所有极值之和为h(a)，a213因为f(x)的极值为ba2，9a因为h(6)，于是h(a)h(6)，故a6.113所以h(a)a2，a3.23因为h(a)9aa20，于是h(a)在(3，)上单调递减72因此a的取值范围为(3,66(2014江苏高考)已知函数f(x)exex，其中e是自然对数的底数(1)证明：f(x)是R上的偶函数；(2)若关于x

11、的不等式mf(x)exm1在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围；0(3)已知正数a满足：存在x01，)，使得f(x0)a(x33x0)成立试比较ea与ae1的大小，并证明你的结论t2t11t11解：(1)证明：因为对任意xR，都有f(x)exe(x)exexf(x)，所以f(x)是R上的偶函数(2)由条件知m(exex1)ex1在(0，)上恒成立t11令tex(x0)，则t1，所以m对任意t1成立t1t1t1，t11因为t112所以11113t1t113，1因此实数m的取值范围是，.当且仅当t2，即xln2时等号成立31(3)令函数g(x)exexa(x33x)，1则g(x)exex3a(x

12、21)1当x1时，exex0，x210，又a0，故g(x)0.所以g(x)是1，)上的单调增函数，因此g(x)在1，)上的最小值是g(1)ee12a.0由于存在x01，)，使ex0ex0a(x33x0)0成立，当且仅当最小值g(1)ee1，e(1，e)时，h(a)0，即a1(e1)lna，从而ea1ae1；当a1ee，e时，ea1ae1；当ae时，ea1ae1；当a(e，)综上所述，当a(2)求函数f(x)在区间0，上的最大值和最小值当x0，时，h(x)0，故ee2a0，即a.1则h(x)1.令h(x)0，得xe1，0.ee12令函数h(x)x(e1)lnx1，e1x当x(0，e1)时，h(x

13、)0，故h(x)是(0，e1)上的单调减函数；当x(e1，)时，h(x)0，故h(x)是(e1，)上的单调增函数所以h(x)在(0，)上的最小值是h(e1)注意到h(1)h(e)0，所以当x(1，e1)(0，e1)时，h(e1)h(x)h(1)0.当x(e1，e)(e1，)时，h(x)h(e)0.所以h(x)0对任意的x(1，e)成立2当ae时，ea1ae1；当a(e，)(e1，)时，h(a)h(e)0，即a1(e1)lna，故ea1ae1.2时，ea1ae1.7(2017北京高考)已知函数f(x)excosxx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；2解：(1)因为f(x)e

14、xcosxx，所以f(x)ex(cosxsinx)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cosxsinx)1，则h(x)ex(cosxsinxsinxcosx)2exsinx.2所以h(x)在区间0，上单调递减所以对任意x0，有h(x)h(0)0，所以函数f(x)在区间0，上单调递减因此f(x)在区间0，上的最大值为f(0)1，最小值为f.CDP的面积为240cos(4040sin)连结OG，令GOK0，则sin0，00，.当0，时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sin的取值范围是，1.122即f(x)0.2222

15、8(2018江苏高考)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD，大棚内的地块形状为CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上设OC与MN所成的角为.(1)用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin的取值范围；(2)若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43.求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大解：(1)如图，设PO的延长线交MN于点H，则PHMN，所以OH10.过点O作OEBC于点E，则OEMN，所以COE，故OE40cos，EC40sin，则矩形ABCD的面积为240cos(40sin10)800(4sincoscos)，121600(cossincos)过点N作GNMN，分别交圆弧和OE的延长线于点G和K，则GKKN10.14624答：矩形ABCD的面积为800(4sincoscos)平方米，CDP的面积为1600(cossincos)平方米，sin的取值范围是，1.8000k(sincoscos)，0，.