八年级数学上册12分式和分式方程教学案新版冀教版

1、第十二章分式和分式方程1.了解分式的概念,掌握分式的基本性质,并能用其进行约分和通分.2.理解和掌握分式加、减、乘、除的运算法则,会进行简单的分式的加、减、乘、除的运算.3.了解分式方程的概念,会解一些简单的可化为一元一次方程的分式方程,懂得解分式方程可能产生增根,理解检验的必要性,并会进行检验.4.通过与分数的类比,学习分式的性质及其运算;能建立分式方程模型解决有关的实际问题.1.在判断分式的过程中,让学生会区分整式和分式.2.在了解分式的基本性质的基础上,掌握分式的约分和通分法则.3.能按照分式的四则运算法则进行分式的加、减、乘、除及混合运算,掌握计算的方法和技巧,会解分式方程并进行检验.

2、1.在认识分式的过程中,让学生体验知识之间的必然联系,体会类比思想的运用,激发学生爱数学、学数学的兴趣.2.培养学生养成认真仔细计算的良好习惯,认识数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.3.结合分析和解决实际问题,讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法,体会解方程中的化归思想.本章主要内容是通过现实情境建立分式的概念,探索分式的基本性质,进行分式的加、减、乘、除运算,建立分式方程并解分式方程.分式的运算实质是转化为整式的运算来进行的,分式的通分与约分一般需要分解因式,因此,分式的运算是整式的运算及多项式因式分解的综合运用和进一步发展,也是学习分式方程、函数等内容的重要基础.本

3、章内容呈现方式及特点:(1)突出了模型的建立过程.教材通过用代数式表示现实问题中的数量关系,并对代数式进行分类、比较,建立起分式的概念;在与已学过的方程进行比较的过程中,抓住了知识的“生长点”,建立了分式方程的概念.本章突出了模型思想和建立模型的过程,降低了概念过分形式化的要求.(2)突出了“类比”过程,类比是合情推理的重要方式之一,是“发现”和“创新”的重要手段,也是解决问题的常用方法.本章让学生充分经历了与分数类比、提出猜想、获得分式的基本性质和运算法则的过程.(3)突出了“转化”过程,转化是解决问题常用的思想方法,教材在异分母分式的加减运算和解分式方程中都突出了转化的过程,进一步使学生感

4、悟数学思想,积累解决问题的经验.【重点】1.能用分式的基本性质进行约分和通分,会进行分式的混合运算.2.能解可化为一元一次方程的分式方程.3.能用分式方程解决一般的实际问题.【难点】1.对分式概念及其基本性质的理解.2.能进行分式的约分、通分,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.1.让学生充分经历概念的形成过程,学生获得知识必须建立在数学思考的基础上,因此,对于分式、分式方程和分式方程的增根等概念,要创设情境,向学生提供充足的素材,促进数学思考的发展.教学中,还可以补充一些更具有现实性和挑战性的问题.2.分式的通分、约分和运算的教学,实际上是分式基本性质、运算法则的运用,应通过适当的运

5、算让学生进一步理解运算的意义,掌握算法,在理解算理的基础上选择适当的算法,不要追求训练的数量和技巧,不要增加繁难的计算题.3.解分式方程时,要理解去分母的目的和由此产生增根的原因,从而体会去分母的意义和对根进行检验的必要性.能解可化为一元一次方程的分式方程即可,不必增加难度和进行大量的训练.总之,本章的知识是传统的代数基本知识,但在知识的呈现方式上作了较大的改进,在教学要求上也有所不同.在教学过程中,不要认为知识太简单而不留给学生探索与思考的时间和空间,“一讲到底”.对每一个新知识的教学,要有与学生一起思考的活动,要有与学生一起探索的过程,要有与学生一起分享成功的喜悦.本教材内容严格按照课程标

6、准的要求,切实改变繁难偏旧的状况,教学时要把握教材的要求,不要随意增加例题和习题的难度,不要随意拔高要求,以免增加学生不必要的负担.12.1分式2课时12.2分式的乘除2课时12.3分式的加减2课时12.4分式方程1课时12.5分式方程的应用2课时回顾与思考1课时12.1分式1.了解分式的概念,明确分式中分母不能为0是分式成立的条件.2.了解分式的基本性质,掌握分式的约分法则.经历与分数类比学习分式的过程,学会与他人合作,并获得代数学习的一些常用方法:类比转化、合情推理、抽象概括等.1.认识和体会特殊与一般的辩证关系,提高数学运用能力.2.通过类比分数、分数的基本性质及分数的约分,推测出分式、

7、分式的基本性质及分式的约分,在学生已有数学经验的基础上,提高学生学数学的乐趣.【重点】分式的意义、分式的基本性质、最简分式和约分.【难点】分式的特点及要求;分子、分母是多项式的分式约分.第课时1.使学生了解分式的概念,明确整式和分式的区别,能用分式表示现实情境中的数量关系.2.明确分式中分母不能为0是分式成立的条件.3.使学生能求出分式有意义的条件.4.使学生初步掌握分式的基本性质,并能用它进行分式的约分.启发学生学会观察、分析、寻找解题的途径,提高分析问题、解决问题的能力.1.通过丰富的数学活动,获得成功的经验,体验数学活动充满着探索和创新,体会分式的模型思想.2.通过分数与分式的比较,培养

8、学生良好的类比习惯和思想方法,并培养学生严谨的科学态度.【重点】1.分式的概念,分式有意义的条件.2.分式的基本性质.【难点】分式有意义的条件,分式的值为0的条件及分式的基本性质.【教师准备】相关课件.【学生准备】复习小学学过的分数和初中学习过的整式.导入一:某种商品,原来每盒售价为p元,现在每盒的售价降低了2元.用500元钱购买这种商品,现在比原来可多买多少盒?怎样用代数式表示现在比原来可多买多少盒?盒.设计意图通过教材章前图,引导学生列出分式,感知分式的特点,为学习本课时做认知准备.导入二:如果在一条公路上,同向行驶且前后相邻的两辆车的车头与车头之间的平均距离为d(米/辆),车辆的平均速度

9、为v(m/s),那么(辆/秒)叫做这条公路的同向行驶的车流量.问题:如果知道中两个字母所代表的数量,你能求出此时的车流量吗?设计意图通过教材中习题的车流量的情境,帮助学生感受用“分式”表示生活中数量关系的方便性和准确性.导入三:面对日益严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前4个月完成原计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷?如果设原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要个月,实际完成一期工程用了个月.让学生讨论并填空:生:原计划完成一期工程需要个月,实际完成一期工程用了个月.设计意

10、图通过土地沙化问题,进一步丰富问题的实际背景,激发学生的求知欲望,让学生探索问题中的数量关系,并且体会保护人类生存环境的重要性.活动一:做一做感知分式过渡语(针对导入一)刚才我们列出的式子是不是整式呢?接下来我们就一起探究这个问题.(一)出示教材第2页做一做1.一项工程,甲施工队5天可以完成.甲施工队每天完成的工程量是多少?3天完成的工程量又是多少?如果乙施工队a天可以完成这项工程,那么乙施工队每天完成的工程量是多少?b(b0,分子与分母异号时,分式的值为负数,即x-20,x2.学生小组合作,并交流解析过程.故填2.设计意图尽管有一定的难度,但学生通过小组合作交流,没有畏惧感,发挥了学生解决问

11、题的主动性,使每个学生在探究中有所收获.下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?,-,-,x2+y,解析区分整式与分式的标准就是看分母,分母中不含字母的是整式,分母中含有字母的是分式.解:整式有:,x2+y.分式有:,-,-.解题策略注意辨析一些特殊的代数式,如中是常数,故是整式;-容易看出是分式,是整式,类比“一个整数减去一个分数结果是分数”得出-是分式.x取什么值时,分式有意义?解:x-1且x-2时,分式有意义.解题策略要使分式有意义,应使分式的分母不为零,对(x+1)(x+2)0来说,欲使其成立,必须x-1,同时x-2,即x-1且x-2.方法提示只要分式中的分母不等于0,分式就有意义.第课时

12、1.类比分数的约分,理解分式约分的意义.2.会用分式的基本性质进行约分,掌握分式约分的方法与步骤.通过类比分数的约分,探索分式的约分法则,学会运用类比转化的思想研究数学问题.1.通过研究解决问题的过程,培养学生合作交流的意识与探究精神.2.通过对分式约分的探究,让学生充分参与到数学学习的过程中来,使他们体验到成功的乐趣.【重点】运用分式的基本性质正确地进行分式的约分.【难点】约分时,最简公因式的确定.【教师准备】课件111.【学生准备】复习分数的约分和分式的基本性质.导入一:【课件1】怎样把分数,约分?你做这些题目的依据是什么?与相等吗?为什么?学生将,约分后,仿照分数约分的方法,根据分式的基

13、本性质,约去分式的分子与分母的公因式2mn,得到.【教师点拨】分式化为,这样的分式变形过程就是分式的约分.导入二:【课件2】下面的等式中右式是怎样从左式得到的?这种变换的理论根据是什么?(1);(2).解:(1)式中的左边,分式的分子与分母都除以2a2b2,得到右式,这里a0,b0.(2)式中的左边,分式的分子与分母都除以(x+y),得到右式,这里(x+y)0.这种变换的根据是分式的基本性质:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.【课件3】化简:(1),(2),并说出这是什么运算?运算的依据是什么?解:(1).(2).这种运算是分数的约分,运算的依据是分数的基本性质

14、.师:什么是分数的约分?约分的方法是什么?约分的目的是什么?生:把一个分数化为与它相等,但是分子、分母都比较小的分数,这种运算叫做分数的约分.对于一个分数进行约分的方法是:把分子、分母都除以它们的公约数(1除外).约分的目的是把一个分数化为最简分数.师:分式的约分和分数的约分类似,下面讨论分式的约分.导入三:同学们,想一想,对分数怎样化简?【课件4】思考:下列分式是怎样从左边变形到右边的?(1)(y0);(2);(3).反过来,把一个分式的分子、分母都除以公因式之后,就完成了约分.下面我们先来看看分式的约分.(板书课题)设计意图按由特殊到一般的思路让学生回忆有关内容,为学习新知识做好铺垫.在这

15、个活动中,首先激活学生原有的知识,体现了学习是在原有知识的基础上自我生成的过程.活动一:分式的约分和最简分式过渡语怎样进行分式的约分?分式的约分的依据是什么?思路一1.分式的约分分式能不能化简?如果能,那么化简的依据是什么?化简的结果又是什么?教师指导学生将分式的分子和分母先因式分解,然后再约分.展示【课件5】教师根据学生化简的过程进行讲解.归纳:(1)分式约分的依据是根据分式的基本性质.(2)约分:依据分式的基本性质,把分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.思考:若分子、分母都是单项式时,如何找公因式?当分子、分母都是多项式时,又如何找公因式?生讨论回答后总结:约分的步骤:先找分子与

16、分母中的公因式.分子与分母同时除以公因式.公因式的确定方法:当分子与分母都是单项式时,所分离出的公因式的系数应是分子系数与分母系数的最大公约数,字母因式是分子、分母相同字母的最低次幂的乘积.当分子与分母都是多项式时,应先分别进行因式分解,再找出它们的公因式.进一步理解以上几句话【课件6】找出下列分式中分子与分母的公因式(口答):(1);(2);(3);(4);(5).2.最简分式学生思考并交流:如果几个分式约分后,分别得到了,这几个分式有什么特点?还能继续约分吗?生交流讨论后回答:不能再约分了.师总结:这几个分式的分子与分母,除1以外没有其他的公因式,不能继续约分了,这样的分式叫最简分式.即分

17、子和分母(除1以外)没有公因式的分式叫做最简分式.【课件7】在化简分式时,小颖和小明的做法出现了分歧:小颖:;小明:.你对他们俩的解法有何看法?说说看!引导学生分析得出小颖在化简时,没有化成最简分式,她的做法是错误的.思路二【课件8】我们观察:(1)(b0);(2)(a+b0).这一过程由左到右是怎样变形的?根据的是什么?(小组讨论回答)生:(1)式分子与分母同乘3b,(2)式分子与分母同乘(a+b),根据的是分式的基本性质.师:将以上两个式子倒过来,又是怎样变形的?根据的是什么?生:(1)式分子与分母同除以3b,(2)式分子与分母同除以(a+b),根据的是分式的基本性质.我们把以上两式由右到

18、左的变形过程叫分式的约分.(1)中的3b与(2)中的(a+b)分别是分子与分母的公因式.由以上的学习过程,学生总结约分的定义(小组讨论回答):利用分式的基本性质,把分式中分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.强调:分式约分的依据:分式的基本性质.分子、分母(除1以外)没有公因式的分式,叫做最简分式.【课件9】是最简分式.这种说法对吗?为什么?解:不正确.因为分式的分子和分母还能约分,即分子与分母中含有公因式a,所以不是最简分式.知识拓展分式的化简,就是把复杂的分式化为整式或最简分式,分式的约分是根据分式的基本性质,约去分子、分母中的公因式,最终变为整式或最简分式.活动二:例题讲解过渡语掌握了

19、分式约分和最简分式的概念,明确了分式约分的目的就是把分式化成最简分式或整式.下面我们来做几道例题,共同来巩固一下约分的方法.【课件10】约分:(1);(2);(3).教师引导学生发现:确定分子与分母的最大公因式:各项系数的最大公约数和相同因式的最低次幂的积;分式约分的最后结果应为最简分式或整式,即分子、分母(除1以外)没有公因式.学生先练,教师再根据情况指导.解:(1).(2).(3).方法归纳(1)如果分式的分子、分母都是单项式,那么直接约去分子与分母的公因式;(2)如果分式的分子、分母是多项式,那么能因式分解的先因式分解,由此找出公因式,再进行约分.(3)约分后,分子与分母(除1外)不能再

20、有公因式.【课件11】教材第6页“做一做”指导学生分别用直接代入求值和化简后代入求值这两种方法解答,并比较哪种方法简单.【拓展延伸】约分,为了把上述分式约分,应该先确定分式的分子与分母的公因式,那么分式的分子与分母的公因式是什么?师:因为分式的分子与分母都是单项式,所以取分子、分母中相同因式的最低次幂和分子、分母的系数的最大公约数,把它们的积作为这个分式的分子与分母的公因式.解:=-=-.师:分子或分母的系数是负数时,一般先把负号移到分式本身的前边,这就同时改变了分式本身与分子或分母的符号,所以分式的值不变.设计意图通过具体实例让学生归纳出约分的具体步骤,明确在进行分式约分时,关键是确定分子和

21、分母的公因式.1.约分:(1)分式约分的结果一定要化成最简.(2)如果分式的分子或分母是多项式,可先考虑把它分解因式,得到因式乘积形式,再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式,此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.2.最简分式:判断一个分式是不是最简分式,关键是确定其分子和分母(除1以外)是否有公因式.3.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式或整式.分式约分时要注意正确运用乘方的符号法则,如x-y=-(y-x),(x-y)2=(y-x)2,(x-y)3=-(y-x)3.1.化简的结果是()A.B.C.D.解析:.故选A.2.下列约分正确的是()A.=x3B.

22、=0C.D.解析:A.=x4,故A选项错误;B.=1,故B选项错误;C.,故C选项正确;D.,故D选项错误.故选C.3.下列分式是最简分式的是()A.B.C.D.解析:A.不能约分,是最简分式,B.,C.,D.=-1.故选A.4.下列各式中,正确的是()A.=2B.=0C.=1D.=-1解析:A.=2,故此选项正确;B.,故此选项错误;C.=-1,故此选项错误;D.=1,故此选项错误.故选A.5.将下列分式约分.(1);(2);(3);(4).解析:(1)根据分式的基本性质,分子、分母同时除以5a2bc;(2)约去分子、分母的公因式(a+b)即可;(3)先把分子中的(a-x)2转变成(x-a)

23、2,再约分即可;(4)根据平方差公式和完全平方公式进行因式分解,再约分即可.解:(1)=-.(2)=-.(3).(4).6.在给出的三个多项式:x2+4xy+4y2,x2-4y2,x2+2xy中,请你任选出两个分别作为分子和分母组成分式,并进行化简运算.解析:任意选出两个多项式,一个作为分子,另一个作为分母,进行因式分解,再约分即可.解:(本题答案不唯一)选x2+4xy+4y2作分子,x2-4y2作分母,则.第2课时活动一:分式的约分和最简分式(1)把分式中分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分.(2)分式的分子、分母(除1以外)没有公因式的分式叫做最简分式.活动二:例题讲解例题一、教材作业【

24、必做题】1.教材第6页练习第1,2题.2.教材第6页习题第1题.【选做题】教材第6页习题第2,3题.二、课后作业【基础巩固】1.下列式子是分式且不能再约分的是()A.B.C.D.2.下列各式不成立的是()A.=-bB.C.=2ab2D.=a+b3.化简的结果是()A.B.C.D.4.下列各分式变形正确的是()A.B.=a+bC.=1-aD.【能力提升】5.当x0时,的化简结果是()A.x2-1B.x2+1C.-x2-1D.-x2+16.约分.(1);(2);(3);(4).7.若,求2a-3b的值.【拓展探究】8.将分式约分,再讨论x取哪些整数时,能使分式的值是正整数?【答案与解析】1.C(解

25、析:A.=x,能约分;B.不是分式;C.分式的分母与分子中除1以外没有公因式,不能进行约分;D.=x+y,能约分.)2.A(解析:A.原式=a-b,此选项错误.)3.D(解析:.)4.C(解析:A.,故本选项错误;B.是最简分式,不能化简为a+b,故本选项错误;C.正确;D.=-,故本选项错误.)5.C(解析:因为xb),则第1次余下的面积为;第2次余下的面积为;第3次余下的面积为;于是,第n次后余下的面积为,即为,同时可以得出,因此,.引导学生归纳分式乘方法则:分式乘方等于分子、分母分别乘方.计算.(1);(2).解:(1).(2)=-.解题策略(1)分式乘方时,一定要把分式加上括号,不要把

26、写成,还应把分子、分母分别看成一个整体,如.(2)分式乘方时,要首先确定乘方结果的符号,负数的偶次方为正,负数的奇次方为负.(3)在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法时,应先算乘方,再算乘法,有多项式时应先分解因式,再约分.第课时1.理解和掌握分式的除法法则.2.能通过类比的方法,得到分式的除法法则,并能正确加以计算.1.经历分式除法转化为分式乘法的过程,体会转化的思想在数学中的应用.2.培养学生解决问题的能力.通过分式除法的教学,进一步培养学生克服困难的精神,树立学好数学的自信心.【重点】分式的除法法则的掌握.【难点】能应用分式的除法法则正确加以计算.【教师准备】课件15.【学生准备】复习分

27、式的乘法法则.导入一:【课件1】大拖拉机m天耕地a平方千米,小拖拉机n天耕地b平方千米,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?学生讨论先分别得出大拖拉机的工作效率是平方千米天,小拖拉机的工作效率是平方千米天,进一步得出大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的倍.从上面的问题可知,实际问题中有时需要运用分式的除法.本节课我们就一起来研究分式的除法运算.设计意图通过实际情境,让学生感受分式除法在实际生活中的应用,使学生认识到数学来源于生活,又应用于生活,体现了知识生成的过程.导入二:复习提问:1.分数的除法法则是什么?计算.2.什么是倒数?学生计算并回答问题,教师及时纠正出现的错误.我们

28、在小学学习了分数的除法,对于分式如何来进行计算呢?这就是我们这节要学习的内容.设计意图温故而知新,通过复习分数的除法导入分式的除法,体现出了类比学习法的重要性.活动一:观察与思考探究分式的除法法则过渡语我们知道小学学过的分数的除法法则,它是将分数的除法转化为分数的乘法进行计算的.思路一【课件2】观察下列运算:.说明:一个分数除以一个分数,是将除数的分子与分母颠倒位置后,与被除数相乘.猜一猜:=?教师提出问题.学生思考后在小组内交流.经观察、类比发现:.与同伴交流,根据分数的除法法则,你能总结一下分式的除法法则吗?进一步归纳分式的除法法则:分式的除法法则:分式除以分式,把除式的分子与分母颠倒位置

29、后,与被除式相乘.教师适时板书,并引导学生用字母表示.知识拓展根据法则我们知道,分式的除法需转化为乘法,转化的过程实际上是“一变一倒”的过程,即除号变乘号,除式的分子和分母颠倒位置.设计意图通过观察、猜想和小组讨论,归纳得出分式除法的法则.思路二师:请大家试一试:.生:2=.师:现在我们大家来试一试:.生:.师:如果上述的分式乘法改为除法,你会做吗?生:.师:你能参照上面我们完成的分式的除法计算,猜想一下:=?生:.(教师书写学生的答案)师:同学们有不同的答案吗?你能用语言来叙述分式的除法运算法则吗?生:除以一个分式等于乘这个分式的倒数.师:说得很好,分式和分数一样,除以一个分式等于乘这个分式

30、的倒数,也就是把除式的分子和分母的位置颠倒后再与被除式相乘,然后再按照乘法运算来进行计算,大家来看一下多媒体上的分式除法法则.多媒体出示分式除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后,与被除式相乘.设计意图让学生类比分数的除法法则,自己总结出分式的除法法则,实现学生主动参与,探究新知的目的,也体现了知识的迁移和转化的思想.活动二:例题讲解应用新知过渡语根据上面我们的观察,可以知道分式的除法运算是转化为分式的乘法运算来进行的.所以在进行分式除法运算时,只要将分式的除法运算转化为分式的乘法运算,然后再按照分式的乘法法则进行计算即可.【课件3】计算下列各式:(1);(2);(3).引导学生

31、分析:运用,注意多项式能因式分解的先因式分解,运算结果应化为最简分式或整式.解:(1)=10y.(2)=2x+4.(3).说明:学生独立完成练习,教师关注学生能否准确、熟练地完成任务,适时加以指导.归纳:分式的除法都是转化为分式的乘法进行计算的,(1)分式的分子、分母是单项式,直接根据分式的除法法则进行计算;(2)分式的分子、分母是多项式时,转化为乘法后,先要分解因式,然后再进行计算.过渡语下面来看一个分式的除法应用问题.【课件4】八年级(一)班的同学在体育课上进行长跑训练,小芳跑完1000 m用了t s,小华用相同的时间跑完了800 m.这次训练,小芳的平均速度是小华的平均速度的多少倍?解析

32、小芳的平均速度是 m/s,小华的平均速度是 m/s,列式为.解:小芳的平均速度为 m/s,小华的平均速度为 m/s.=1.25.答:这次训练,小芳的平均速度是小华的平均速度的1.25倍.【课件5】(补充例题)如图所示,“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m(a1)的正方形去掉一个边长为1 m的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形,两块试验田的小麦都收获了500 kg.(1)哪种小麦的单位面积产量高?(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?学生先独立思考,分小组讨论再交流.【教师点拨】因为a1,所以(a-1)2-(a2-1)=(a2-2a+1)

33、-(a2-1)=-2(a-1)0,即(a-1)21,所以(a-1)20,a2-10.易得(a-1)2a2-1.所以.所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高.(2).所以“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的倍.设计意图通过具体的问题,让学生自主探索,教师引导、探究,并进行充分的讨论,最后统一认识、总结、归纳出进行分式除法计算的具体步骤.1.分式的除法法则:语言叙述:分式除以分式,把除式的分子与分母颠倒位置后,与被除式相乘.字母表示:.2.注意事项:(1)运用法则时,注意符号的变化;(2)因式分解在分式除法中的应用;(3)步骤要完整,结果要化最简.最后结果中的分子、分母既

34、可保持乘积的形式,也可以写成一个多项式的形式.1.化简的结果是()A.B.C.D.解析:原式=.故选B.2.计算a的结果是()A.aB.a2C.D.解析:原式=a.故选D.3.计算-的结果为()A.B.-C.-D.-n解析:原式=-=-n.故选D.4.化简的结果是()A.mB.C.m-1D.解析:原式=m.故选A.5.化简(ab+b2)的结果是()A.B.C.D.解析:原式=b(a+b).故选A.6.计算的结果是()A.B.C.D.解析:原式=.故选C.7.abcd等于()A.aB.C.D.ab2c2d2解析:原式=a.故选B.8.计算.(1);(2).解析:将分式的除法转化为分式的乘法,然后

35、按照分式的乘法法则进行计算.解:(1).(2).9.由甲地到乙地的一条铁路全程为v km,火车全程运行时间为a h;由甲地到乙地的公路全程为这条铁路全程的m倍,汽车全程运行时间为b h.那么火车的速度是汽车速度的多少倍?解析:根据路程除以时间等于速度分别表示出火车与汽车的速度,即可得出所求.解:火车速度为 km/h,汽车速度为 km/h,则,即火车的速度是汽车速度的倍.第2课时活动一:观察与思考探究分式的除法法则活动二:例题讲解例1例2例3一、教材作业【必做题】1.教材第10页练习.2.教材第11页习题A组第1,2题.【选做题】教材第11页习题B组第1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.化简结

36、果为()A.B.C.D.2.计算(x2+y)的结果是()A.B.x2+yC.D.3.化简,其结果是()A.B.2C.-2D.4.若=3,则a4b4的值是()A.6B.9C.12D.815.下列运算正确的是()A.(a+b)=1B.=a+1C.=a-1D.2ab=3b4【能力提升】6.兵兵、芳芳、婷婷和杨辉在做课外作业时,对于“计算下列分式:;,其结果是分式的有哪些?”得到下面四种不同的结果.兵兵:只有;芳芳:只有;婷婷:;杨辉:.你认为结果正确的是()A.兵兵B.芳芳C.婷婷D.杨辉7.式子有意义,则x应满足的条件是()A.x2且x-B.x-2且x-C.x2且x-D.以上都不对8.下面的计算正

37、确的是()A.8a2=4a2b2B.(a-b)(a-b)2=a-bC.(a-b)(a-b)2=(a-b)5D.15a29.化简.10.计算.11.计算x(x-2)时,小虎给出了他的解答过程如下:解:x(x-2)=x=x1=x.试说明小虎的求解过程是否正确,如果不正确,请你指出错误之处,并写出你认为正确的解答过程.【拓展探究】12.当x取何值时,代数式的值为负数?【答案与解析】1.B(解析:原式=.)2.A(解析:原式=(x2+y).)3.C(解析:原式=-=-2.)4.B(解析:因为=a2b2=3,所以a4b4=(a2b2)2=32=9.)5.C(解析:A.(a+b)=,所以A选项不正确;B.

38、,所以B选项不正确;C.=a-1,所以C选项正确;D.2ab=2ab,所以D选项不正确.)6.B(解析:,为整式;,是分式;,是整式;,为整式.故是分式的只有.)7.A(解析:根据分式的意义:分母不为0,除数不为0,可得x+20,x-20,且2x+30.即x2且x-.)8.C(解析:A.原式=8a2,故A选项错误;B.原式=(a-b)(a-b)2(a-b)2=(a-b)5,故B选项错误,C正确;D.原式=15a2=5ab,故D选项错误.)9.解:原式=.10.解:原式=.11.解:不正确,错误之处在于先算了乘法,再算除法.正确的解答过程是原式=x.12.解:原式=(x+2)(x-2)=,由代数

39、式的值为负数,得3x+30,解得x-1,当x-2时,原代数式有意义.所以当x0,n0,mn,试比较分式与分式的大小.【拓展探究】12.某同学在学习过程中,遇到这样的问题:求A=48的整数部分,百思而不得其解,于是向数学老师求教.数学老师进行了深入浅出的讲解:观察算式中每个分母中减数都是4,且被减数都在递增.先看一般情形:再看特殊情形:当a=3时,;当a=4时,.老师讲解到这里时,该同学说:“老师我知道怎么做了.”(1)请你通过化简,说明一般情形-=的正确性;(2)请你完成该同学的解答.【答案与解析】1.A(解析:利用同分母分式的减法法则进行计算即可得到结果.原式=1.)2.C(解析:-,故A选

40、项错误;-,故B选项错误;-=a+b,故C选项正确;D.-=-,故D选项错误.)3.D(解析:将分母化为同分母,再将分子因式分解、约分.原式=-=x.)4.A(解析:先通分,然后计算减法.原式=0.)5.1(解析:根据同分母分式相加,分母不变分子相加可得答案.原式=1.)6.(解析:将原式通分,并利用同分母分式的加法法则进行计算即可得到结果.原式=.)7.-2(解析:先把所给等式的左边通分,再相减,可得,可得ab=-2(a-b),再利用等式性质易求=-2.)8.解:原式=-=-.9.解:原式=1.10.解:原式=+a+2=a-2+a+2=2a.11.解:把两分式作差,得-.因为m0,n0,mn

41、,所以0,即.12.解:(1)因为左边=-=,所以左边=右边,即原式成立.(2)因为,所以A=481+-+=121+-=25-12.因为12”“1且n为整数);(3)请你对(2)中的猜想说明理由.【答案与解析】1.C(解析:A.应该等于,故不对;B.应该等于,故不对;C.正确;D.原式=a(a-1)=(a-1)2,故不对.)2.B(解析:先计算括号里的,再计算除法即可.原式=.)3.C(解析:根据题意得(n2+n)n-n=n+1-n=1,则输出答案为1.)4.D(解析:把所给式子化简,看整数解的个数即可.原式=(x-2)2=1-,要使原式的值是整数,则必须是整数2,-2,1,-1,所以x的值是

42、0,1,3,4,共4个.)5.(解析:先计算乘方,再计算乘除,最后计算减法.原式=-.)6.(解析:先将括号里面的分式的分子、分母分解因式,再通分进行分式减法计算后,最后进行分式的除法计算就可以得出结果.原式=-.)7.解:原式=a(a-2).当a=-1时,原式=-1(-1-2)=3.8.解:原式=-.因为,所以.所以原式=-2=-.9.解:因为a2+1=3a,所以a+=3,所以两边平方得a2+2=9,所以a2+=7.10.解析:(1)因为,所以;因为,所以;因为,所以.解:(1)1且n为整数,所以0,所以.本节课先让学生进行分母是多项式的异分母分式的加减运算,然后通过计算,让学生发现分式混合

43、运算的方法,学生对运算顺序掌握较好,初步达到了教学目标,突出了重点,层层推进,突破难点.以学生为中心,为重心,给足充分的时间让学生去演算,去“暴露”问题,让他们留下深刻的印象.(1)对于问题的探究过程没有完全放手让学生自主探讨,担心课堂时间紧迫,教学任务难以完成,这也是在新课程教学中经常会出现的问题.(2)对于分式的混合运算,学生计算得还是不够准确,没有养成认真检查的良好习惯.(1)整节课以练习为主,放手让学生自学,教师根据学生的典型错误点评,有针对性地讲解.(2)加强练习,使学生逐步掌握运算方法,提高运算的准确度,提升学生的计算能力.练习(教材第16页)1.解:(1)原式=.(2)原式=-=

44、-.(3)原式=.(4)原式=x-1.2.解:原式=,当x=时,原式=8.习题(教材第17页)A组1.解:(1)原式=.(2)原式=.(3)原式=.(4)原式=.(5)原式=.(6)原式=-(x+y)=-+1=1.2.解:(1)原式=1+a=1+a+b.当a=-3,b=-5时,原式=1-3-5=-7.(2)原式=-.当x=-3,y=2时,原式=.B组1.解:(1)原式=-=0.(2)原式=0.2.解:(1)原式=-=-.(2)原式=1-+1+1-1-=2-=-.整个教学过程先通过巩固分式的加减运算,同时也让学生感受到分式运算的应用,在此基础之上,引导学生进入分式混合运算的探讨和学习.在课内探讨

45、过程中,以自学和小组合作的形式呈现给学生例题,让学生去感受体验,去发现分式混合运算的运算顺序,而不是把现成的结论提供给学生.学生兴趣高涨,每一个层次的练习完成之后让学生去总结一下在解题过程中的收获,在此基础上引导学生发现解题技巧,把学生的认知提升到一个高的层面上,通过分析题目的显著特点,来灵活运用方法技巧解决问题.同时把时间和空间留给学生,让他们多一些练习,多一些巩固.先化简:,再任选一个你喜欢的数x代入求值.解析本题考查分式的化简求值,先把分式进行化简后再用选取的x的值代入求值.解:=x-2.由题意知所以x1且x2.本题答案不唯一,如当x=0时,原式=0-2=-2.解题策略(1)分式化简时,

46、为便于化简,分子、分母是多项式的应先因式分解,分式的乘除法运算要统一为分式的乘法运算;(2)代入求值时,字母的取值一定要使所有的分式都有意义,还要注意除式不能为0的情况.12.4分式方程1.理解分式方程的概念及意义.2.了解解分式方程的基本思路和解法.3.理解解分式方程时可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根方法.1.能将实际问题中的相等关系用分式方程表示,体会分式方程的模型.2.在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上,使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法,使学生熟练掌握解分式方程的技巧.通过学习分式方程的解法,使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整

47、式方程,把未知问题转化成已知问题,从而渗透数学的转化思想.【重点】可化为一元一次方程的分式方程的解法.【难点】理解解分式方程时可能无解的原因.【教师准备】课件19.【学生准备】复习一元一次方程的有关知识.导入一:【课件1】小红家到学校的路程为38 km.小红从家去学校总是先乘公共汽车,下车后再步行2 km,才能到学校,路途所用时间是1 h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍,求小红步行的速度.教师提出问题:(1)上述问题中有哪些等量关系?(2)根据你所发现的等量关系,设未知数并列出方程.(3)如果设小红步行的时间为x h,又应该怎么列方程?在活动中教师要关注:(1)学生是否能将实际问题转化

48、为数学问题;(2)大部分学生能否将这个问题很好地分析出来?能否列方程?(3)基础较差的学生对于该题的理解是否有困难?如何适当加以个别引导?设计意图先通过一个行程问题,引导学生从分析入手,列出含有未知数的式子表示有关的量,并进一步根据等量关系列出方程,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.另外以生活中的实际问题为背景,让学生感到数学贴近生活,激起了探究新知识的欲望.导入二:【课件2】西天取经路上,唐僧给徒弟们出了一道天竺国的数学题目:某项工程要在规定的期限内完成,甲队单独做正好能够按期完成,乙队单独做则需要延期3天完成.现在这两个队合作2天后,再由乙队单独做,也正好按期完成.如果设规定的期限是x

49、天,工程总量为1,如何列方程呢?三个徒弟都给出了自己的答案:孙悟空:=1;猪八戒:=1;沙和尚:2+=1.师傅表扬了徒弟积极动脑,并说道:有一位徒弟的结论是错误的,你知道谁的错了吗?同学们分析这个问题列出的方程还是整式方程吗?该如何解呢?设计意图创设故事情境导入,将所出现的方程与整式方程比较,为探索分式方程及分式方程的解法做准备.探究一:分式方程及其解法思路一1.分式方程【课件3】一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?教师提出问题.学生独立思考,根据“两次航行所用的时间相等”这一相等关系建

50、立方程.解析设江水的流速为v千米/时,则轮船顺流航行的速度为(30+v)千米/时,逆流航行的速度为(30-v)千米/时,顺流航行90千米所用的时间为小时,逆流航行60千米所用的时间为小时.可列方程.教师提问:刚才我们所接触的方程=9,=1,与以前所学的整式方程有何不同?学生思考,议论后在全班交流.归纳:该类方程分母含有未知数.教师讲解并板书:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.知识拓展(1)理解分式方程要明确两点:是方程;分母中含有未知数(也可以看成方程中含有分式).(2)整式方程和分式方程统称为有理方程.2.分式方程的解法【课件4】如何解分式方程=9和=1呢?在同学讨论的基础上分析:由于我们

51、比较熟悉整式方程的解法,所以要把分式方程转化为整式方程,其关键是去掉含有未知数的分母.引导学生进一步分析:把方程的两边乘最简公分母可将分式方程化为整式方程,解这个整式方程可得方程的解.说明:教师提出问题后,鼓励学生寻求解决问题的方法,引导学生将分式方程转化为整式方程,学生自然会想到“去分母”来实现这种转变,求出方程的解,并要求验根.在活动中教师要关注:(1)学生能否从所列方程中观察到它与整式方程的区别在于“分母中含有未知数”;(2)学生能否有利用“转化思想”解决问题的意识;(3)学生是否能够认真倾听别人的见解,从中获取知识.过渡语通过解上面的分式方程,你明白该如何解分式方程了吗?归纳:解分式方

52、程的基本思路是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边乘最简公分母,这是解分式方程的一般方法.设计意图怎样解分式方程?这是本节的核心问题.这里又一次让学生运用“转化”思想,把待解决或未解决的问题,通过转化,划归到已经解决或比较容易解决的问题中去,最终使问题得到解决.思路二1.分式方程=9,=1有什么特点?学生观察,回答:(1)分母含有未知数,(2)是方程.教师引导学生概括:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解(也叫做分式方程的根).提问:你还能举出一个分式方程吗?【课件5】判断下列各式哪个是分式方程.(1)x+y=5;(2)

53、;(3);(4);(5)+2x=5.根据相关定义可得:(1)(2)是整式方程,(3)(4)是分式,(5)是分式方程.2.分式方程的解法过渡语如何解分式方程呢?我们一起回顾几个问题:(1)解一元一次方程时是怎样去分母的?从中能否得到一点启发?(2)有没有办法可以去掉分式方程中的分母?把它转化为整式方程呢?学生自主探索,并尝试选分式方程求解.【课件6】解方程.解:两边同乘最简公分母2(x+5)得:2(x+1)=5+x,2x+2=5+x,x=3.检验:把x=3代入原方程左边=,右边=,左边=右边.所以x=3是原分式方程的解.学生尝试去分母,将分式方程转化为整式方程,再求整式方程的解.结合解一元一次方

54、程时检验的方法,教师提醒学生解完分式方程后进行检验.【课件7】如何解课件3中所列出的分式方程?解:方程的两边同乘(30+v)(30-v),得90(30-v)=60(30+v),解得v=6.检验:将v=6代入分式方程中,左边=,右边=,左边=右边,因此v=6是原分式方程的解.师生共同分析、求解,进一步归纳:解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般方法.【拓展延伸】分式方程与整式方程的定义区分:特点说明举例整式方程方程里所有的未知数都出现在分子上,分母只是常数而没有未知数有“元”和“次”的说法3x+=-x是一元一次方程;

55、2x+y=3是二元一次方程分式方程方程里分母中含有未知数x-=2,+1=y探究二:分式方程的增根过渡语刚才我们学习了分式方程和分式方程的解法,知道解分式方程时要验根.那么为什么一定要验根呢?学习了下面的知识,同学们一定会迎刃而解.【课件8】解分式方程+1.教师提出问题,让学生解方程.解:方程两边同乘x-1,得x+1=-(x-3)+(x-1),解这个整式方程,得x=1.师:x=1是方程的解吗?为什么?说明:学生先独立解决,然后提出自己的看法,进行小组讨论.在学生讨论期间,教师应到学生中,参与学生的数学活动,鼓励学生勇于探索、实践,解释产生这一现象的原因,并懂得在解分式方程时一定要进行验根.归纳:

56、在解分式方程时,通过去分母将分式方程转化为整式方程,并解这个整式方程,再将整式方程的根代入分式方程(或公分母)中检验.当分母的值不等于0时,这个整式方程的根就是分式方程的根;当公分母的值为0时,分式方程无解,我们把这样的根叫做分式方程的增根.【课件9】解方程:-=3.解:方程两边同乘x+2,得2-(2-x)=3(x+2),解这个整式方程,得x=-3,经检验,x=-3是原分式方程的根.知识拓展(1)检验的方法有两种:把未知数的值代入所乘最简公分母中,最简公分母为0是增根,舍去.最简公分母不为0的未知数的值就是原分式方程的解.把未知数的值代入原方程,若左右两边的值相等,则这个未知数的值就是原方程的

57、根;若某个分式的分母为0,则这个未知数的值就是增根,舍去.(2)解分式方程时,必须注意以下几点:若分式方程中的分母是多项式,应先对各分母因式分解,再寻求最简公分母;将一个分式方程的两边同时乘最简公分母时,每一个式子都应乘到,不要漏乘,特别是不要漏乘没有分母的项;解含字母系数的分式方程时,字母系数应视为具体数处理;解分式方程时,检验这一步必不可少,它是解分式方程的一个重要步骤.解分式方程的一般步骤:1.在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化为整式方程.2.解这个整式方程.3.把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零;使最简公分母为零的根不是原方程的根,必须舍去.设计意图学生通过回顾,自己总

58、结,实现了自我评价,让对本节知识学得不是很好的学生有所收获.1.下列方程:2x+=10;x-=2;-3=0;=0.属于分式方程的是()A.B.C.D.解析:2x+=10是整式方程;x-=2是分式方程;-3=0是分式方程;=0是整式方程.所以属于分式方程的是.故选B.2.分式方程-1=的解是()A.x=1B.x=-1C.x=2D.无解解析:在方程的两边同乘最简公分母(x-1)(x+2),变为整式方程为x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,解得x=1,检验:当x=1时,(x-1)(x+2)=0,所以原分式方程无解.故选D.3.方程=3的解是x=.解析:去分母得4x-12=3x-6,解得x=6,经

59、检验x=6是分式方程的解.故填6.4.若代数式和的值相等,则x=.解析:根据题意,得,方程两边都乘最简公分母(x-2)(2x+1),得2x+1=3x-6.解得x=7.经检验,x=7是原方程的解.故填7.5.解方程.(1)-=0;(2).解析:把方程的左右两边同时乘最简公分母,化成整式方程进行计算,注意检验.解:(1)去分母,得3x+6-2x=0,解得x=-6.经检验,x=-6是原方程的解.(2)方程两边都乘最简公分母x(x-2),得5x=3(x-2).解这个一元一次方程,得x=-3.检验:把x=-3分别代入原方程的左边和右边,得左边=-1,右边=-1,左边=右边,因此,x=-3是原分式方程的解

60、.6.当m为何值时,去分母解方程=1-会产生增根?解析:增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的公分母为0的根.有增根,那么最简公分母3(x-2)=0,所以增根是x=2,把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值.解:方程两边都乘3(x-2),得4x+1=3x-6+3(5x-m),即3m=14x-7.分式方程若有增根,则公分母必为零,即x=2,把x=2代入整式方程3m=14x-7有:3m=142-7,解得m=7,所以当m=7时,去分母解方程=1-会产生增根.12.4分式方程探究一:分式方程及其解法例1例2探究二:分式方程的增根例3一、教材作业【必做题】1.教材第20页练习第1,2题.2.